1、 附录附录I11 面积矩与形心位置面积矩与形心位置 附录附录I12 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩 附录附录I13 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理 附录I 截面的几何性质 附录附录I14 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩 附录附录 I I1 1- -1 1 面积矩与形心位置面积矩与形心位置 一、面积（对轴）矩：一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 是面积与它到轴的距离之积。 P n P n W M GI M A N max max max max ; ; yASxdd xAS y dd
2、 AA yy AA xx AxSS AySS dd dd dA x y y x 二、形心：二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。) )(:正负面积法公式累加式 A Ay y A Ax x ii ii iix iiy yAyAS xAxAS dA x y y x 等厚 均质 m my y m mx x m m d d 质心： A S A Ayt At Ayt A S A Axt At Axt xAA y AA dd dd 等于形心坐标 x y 21 21 21 AA AxAx A Ax x ii 3 .20 108011010 1101035 7 .34 108011010 1101060 y
3、 例例1 试确定下图的形心。 解 ： 组合图形，用正负面积法解之。 1.用正面积法求解，图形分割及坐标 如图(a) 80 120 10 10 x y C2 图(a) C1 C1(0,0) C2(-35,60) 2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b) 3 .20 1107080120 )11070(5 图(b) C1（0,0） C2（5,5） 21 21 21 AA AxAx A Ax x ii C2 负面积 C1 x y 附录附录 I1-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、惯性矩：一、惯性矩：(与转动惯量类似）与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。 A
4、y A x AxI AyI d d 2 2 dA x y y x 二、极惯性矩：二、极惯性矩： 是面积对极点的二次矩。 yx A IIAId 2 dA x y y x 三、惯性积：三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 A xy AxyId 如果如果 x 或或 y 是对称轴，则是对称轴，则Ixy =0 附录附录 I1-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似） C C yby xax 以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图 0 CxC yAS AbbSI Abbyy Aby AyI xCxC C A C
5、 A C A x 2 22 2 2 2 d)2( d)( d AbII xCx 2 dA x y y x a b C xC yC 注意注意: C点必须为形心点必须为形心 AbII xCx 2 AaII yCy 2 abAII xCyCxy AbaII C 2 )( 例例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。 B 建立形心坐标如图,求图形对形 心轴的惯性矩。 642 4 dI II P yx 64 5 464 444 2 ddd AdII xAB A d x y O xyx III d I2 32 4 圆 附录附录 I1
6、-4 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩 cossin sincos 1 1 yxy yxx 一、一、 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理 dA x y y x x1 y1 x1 y1 2sin2cos 22 1 xy yxyx x I IIII I 2sin2cos 22 1 xy yxyx y I IIII I 2cos2sin 2 11 xy yx yx I II I yxyx IIII 11 二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0
7、时；恰好有 0)2cos2sin 2 ( 00 00 xy yx yx I II I 与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主 轴之惯性矩主惯性矩。 yCxC xCyC II I 2 2tg 0 22 ) 2 ( 2 0 0 xy yxyx y x I IIII I I 主惯性矩： 2.形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之 惯性矩，称为形心主惯性矩 yCxC yCxC II I 2 2tg 0 22 ) 2 ( 2 0 0 xCyC yCxCyCxC yC xC I IIII I I 形心主惯性矩： 3.求截面形心主惯性矩的方法 建立坐
8、标系 计算面积和面积矩 求形心位置 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC 求形心主轴方向 0 求形心主惯性矩 A Ay A S y A Ax A S x ii x iiy 22 ) 2 ( 2 0 0 xCyC yCxCyCxC yC xC I IIII I I yCxC xCyC II I 2 2tg 0 例例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d) 解： 建立坐标系如图。 求形心位置。 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy d d d dd A Ay y AA Ax x ii ii 177.0 4 3 42 0 0 2 2 2 d b 2d x y O xC yC x1 d b 2d x y O xC yC x1 )5 . 0( 2 1 2 ydAIyAIIII xxxCxCxC 圆圆矩矩圆矩 42 24 22 3 685. 0)177. 05 . 0( 464 )177. 0(3 12 )2(5 . 1 ddd dd dd dd 4 43 513. 0 6412 2)5 . 1 ( d ddd III xCxCyC 圆矩 便是形心主惯性矩 轴便是形心主轴 yCxC C xCyC II yx I 、 C 0
