1、1.3 逆矩阵逆矩阵 一、概念的引入一、概念的引入 质质二、逆矩阵的概念和性二、逆矩阵的概念和性 三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法 四、小结、思考题四、小结、思考题 , 1 11 aaaa , IBAAB 则矩阵则矩阵B称称 为为 的的逆矩阵逆矩阵或逆阵或逆阵. A 一、概念的引入 在数的运算中，在数的运算中， 当数当数 时，时， 0 a有有 a a 1 1 a其中其中 为为 的倒数，的倒数， a （或称（或称 的逆）；的逆）； 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中， I单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1， A那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵如果存在一个
2、矩阵B, 使得使得 二、逆矩阵的概念和性质 . 1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作 例例 设设 , 2121 2121 , 11 11 BA , IBAAB .BA 是 的逆矩阵 定义：定义：对于矩阵对于矩阵A，如果有一个矩阵，如果有一个矩阵B,满足满足 AB=BA=I 则称矩阵则称矩阵A是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵B称为称为A的的逆矩阵逆矩阵. 说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的. AA 证明证明：若设：若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵， BCA则有则有 ,ICAACIBAAB 可得可得 IBB BCA ABC .CCI 所以所以 的
3、逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即 A . 1 ACB 例例 设设 , 01 12 A.的逆阵的逆阵求求A 解解 设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵, dc ba BA 则则 dc ba AB 01 12 10 01 10 0122 ba dbca 利用待定系数法利用待定系数法 , 1 , 0 , 02 , 12 b a db ca . 2 , 1 , 1 , 0 d c b a 又因为又因为 01 12 21 10 01 12 21 10 , 10 01 所以所以 . 21 10 1 A ABAB .,2 1 11 AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若 逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 .
4、,)1(IBAIABA 则必有则必有可逆，且可逆，且如果矩阵如果矩阵 证证 IIAAAABA BAAABAIBA 11 1 )( )()( , 0,3且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,4ABBA 1111 ABBAABAB 1 AIA, 1 IAA . 11 1 ABAB 证明证明 1 AB B 1 A . 1 1 1 AA 111111 ()B AABBA A BB IBB BI 1 TT T AAAA 11 T I , I . 1 1T T AA 证明证明 . 1 2 1 2 AA推广推广 1 A m A 1 m A 1 1
5、 A T1 .,5AAAA T 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若 T1 11 ( ) TT TT AAAAII 又： 证明证明, 02 2 IAA由由 IAIAIAA2 得得A IA I IA A 22 .,2, :, 02 2 并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆 证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵 IAA IAAA 例例1 1 1 A 三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法 . 2 1 1 IAA 1 A 02 2 IAA又由又由 0432 IIAIA IIAIA 3 4 1 2 IAIA3 4 1 2 1 . 4 3AI 1 2 IA 71 41 21 ,6 1 ABAABAA且且
6、o o .B求求 ABABAA6 1 ABAIA6 1 IBIA6 1 .6 1 1 IAB 解解 :,满足关系满足关系设三阶矩阵设三阶矩阵BA例例2 2 可逆，且可逆，且依题意，显然依题意，显然A 7 4 2 1 A 1 100 010 001 700 040 002 6 1 600 030 001 6 6100 0310 001 6. 100 020 006 1 1 6 IAB 即即 3例例）均为可逆阵，）均为可逆阵，、（、（、已知同阶方阵已知同阶方阵BABA 111 ）则（则（BA AABBA)()( 11 BABAC)()( 11 ABABB 1 )()( BBAAD 1 )()( 解
7、解 11111111 ABABBAIBIABA 11 )( BBAA ABABBBAABA 1111111 )()()( . ）（故而选择故而选择 B 同理，同理， 111111 IAIBABBA 111111 )( ABABBABAAB BBAABA 1111 )()( . ）（故而也可选择故而也可选择 D 说明：说明： .到了加法的交换律到了加法的交换律满足交换律！而是使用满足交换律！而是使用 法法），并不能说明矩阵乘），并不能说明矩阵乘、选择（选择（DB ，叫做，叫做逆阵乘积的形式的技巧逆阵乘积的形式的技巧 表示成一矩阵与其表示成一矩阵与其并将并将称适当乘上单位阵称适当乘上单位阵II .
8、单位阵技巧单位阵技巧 思考题? 我们知道可逆矩阵的逆矩阵具有唯 一性,上题中的B,D选项是否相等? 四、小结 1、逆矩阵的概念及运算性质、逆矩阵的概念及运算性质. 2、逆矩阵的计算方法：、逆矩阵的计算方法： ;1 待定系数法待定系数法 节介绍）节介绍）（本章第（本章第初等变换法初等变换法5.2 对待具体矩阵，有对待具体矩阵，有 ，有，有对待抽象矩阵对待抽象矩阵A ;)()(1法法凑凑IAA 积的方法积的方法表示成已知可逆矩阵乘表示成已知可逆矩阵乘将将A2 思考题 ? ? , 1 1 BAY BYABAX BAXA 是否有唯一解是否有唯一解矩阵方程矩阵方程 是否有唯一解是否有唯一解那么矩阵方程那么矩阵方程可逆可逆若若 思考题解答 1 的唯一性决定的的唯一性决定的这是由于这是由于是的是的 A答答:
