1、7.1 线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义一、线性空间的定义 二、线性空间的性质二、线性空间的性质 三、线性空间的子空间三、线性空间的子空间 四、小结、思考题四、小结、思考题 线性空间是线性代数最基本的概念之一，线性空间是线性代数最基本的概念之一， 也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的 推广推广 线性空间是为了解决实际问题而引入的，线性空间是为了解决实际问题而引入的， 它是某一类事物从量的方面的一个抽象，它是某一类事物从量的方面的一个抽象， 即把实际问题看作向量空间，进而通过研即把实际问题看作向量空间，进而通过研 究向量
2、空间来解决实际问题究向量空间来解决实际问题 一、线性空间的定义 若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯 一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的的积积， 记作记作 R V V 定义定义 设设 是一个非空集合，是一个非空集合， 为实数域如果为实数域如果 对于任意两个元素对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元，总有唯一的一个元 素素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的的和和，记作，记作 V , V VR RV ,;,设设 ;0 , 0)3( 都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VV ;)1( ;)2( 如果上述的两种运算满足以下八条运
3、算规律，那如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么么 就称为数域就称为数域 上的上的线性空间线性空间（或向量空间）（或向量空间） VR ; 0 ,)4( 使使的负元素的负元素都有都有对任何对任何VV ;1)5( ;)6( .)8( ;)7( 运算规律运算规律 2 线性空间中的元素不一定是向量线性空间中的元素不一定是向量 3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 说明说明: 1 凡满足
4、以上八条规律的凡满足以上八条规律的加法加法及及数乘数乘运算，称运算，称 为为线性运算线性运算定义了线性运算，且对线性运算封闭的定义了线性运算，且对线性运算封闭的 集合就称为集合就称为线性空间线性空间。 （）（）一个集合，如果定义的加法和数乘运一个集合，如果定义的加法和数乘运 算是通常的实数间的加、乘运算，则只需检验对运算是通常的实数间的加、乘运算，则只需检验对运 算的封闭性算的封闭性 例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm . m n R , nmnmnm CBA , nmnm
5、 DA .是一个线性空间是一个线性空间 nm R 线性空间的线性空间的判定方法判定方法 . , , , 0101 量空间量空间 向向数乘多项式的乘法构成数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法 即即记作记作的多项式的全体的多项式的全体次数不超过次数不超过 R aaaa x axa pxP xPn n n n n n 例2例2 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律算满足线性运算规律 )()( 0101b x bxba x axa n n n n )()()( 0011ba x baxba n nn xP n )(
6、 01a x axa n n )()()( 01a x axa n n xP n .对运算封闭对运算封闭xP n . 0, , 0 101 间间 空空和乘数运算不构成向量和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法 且且 次多项式的全体次多项式的全体 a R a aaa x axa pxQ n n n n n n 例3例3 p0000 x x n xQ n .对运算不封闭对运算不封闭xQ n 例例4 4 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法 及数乘运算为及数乘运算为 R ., RbaRaaabba 验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上
7、述加法与乘数运算构成线性空间 R （）（）一个集合，如果定义的加法和乘数运一个集合，如果定义的加法和乘数运 算不是通常的实数间的加、乘运算，则必需检验是算不是通常的实数间的加、乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律否满足八条线性运算规律 证明证明 ;, RabbaRba ., RaaRaR 所以对定义的加法与乘数运算封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭 下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律： ;)1(abbaabba );()()()(2(cbacabcabcba (3)1,RaR 中中存存在在对对任任何何零零元元素素有有 ;11aaa 1 (4),aRaR 负负元元
8、素素有有使使 ; 1 11 aaaa ;1)5( 1 aaa ;)6(aaaaa ; )7( aa aaaaaa baababba )()()8( 所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间 R . baba 1 1零元素零元素是唯一的是唯一的 证明证明 假设假设 是线性空间是线性空间V 中的两个零元中的两个零元 素，素， 21 0 ,0 12 0,0. 由于由于 ,0 ,0 21 V 所以所以 .000 ,000 121212 则对任何则对任何 ， V 有有 112212 000000 .进进而而 二、线性空间的性质 2 2负元素负元素是唯一的是唯一的 证明证明 假设假设
9、 有两个负元素有两个负元素 与与 ， 那么那么 . 0, 0 则有则有 0 0. 向量向量 的负元素唯一，记为的负元素唯一，记为 . . 00;1; 00. 3 证明证明 ,101010 . 00 , 0011111 .1 10 0 . 0 4如果如果 ，则则 或或 . 0 0 0 证明证明 假设假设 ,0 那么那么 0 11 . 0 . 11 又又 . 0 三、线性空间的子空间 定义定义2 2 设设 是一个线性空间，是一个线性空间， 是是 的一个非空子的一个非空子 集，如果集，如果 对于对于 中所定义的加法和中所定义的加法和数数乘两种运算乘两种运算 也构成一个线性空间，则称也构成一个线性空间
10、，则称 为为 的的子空间子空间 V L V V V L L 定理定理 线性空间线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分 必要条件是：必要条件是： 对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭 VL V L 解解 (1)不构成子空间不构成子空间. 因为对因为对 1 000 001 WBA ? 32 为什么为什么空间空间的下列子集是否构成子的下列子集是否构成子 R ;, 0 01 )1( 1 Rdcb dc b W ., 0 00 0 )2( 2 Rcbacba c ba W 例例5 5 有有 , 000 002 1 WBA 即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封
11、闭，不构成子空间. 1 W , 000 000 )2( 2 W 因因. 2非空 非空即即W 对任意对任意 2 2 22 1 11 00 0 , 00 0 W c ba B c ba A 有有 , 0 111 cba, 0 222 cba 于是于是 1212 12 0 . 00 aabb AB cc 满足满足 , 0 212121 ccbbaa 2 .ABW即即 有有对任意对任意Rk 1 11 00 0 kc kbka kA 且且 , 0 111 kckbka . 2 kAW 即即 . 32 2 的子空间的子空间是是故故 RW 线性空间的元素统称为线性空间的元素统称为“向量向量”，但它可以是，但
12、它可以是 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. . 线 性 空 间 线 性 空 间 是一个集合是一个集合 对所定义的加法及数乘运算封闭对所定义的加法及数乘运算封闭 所定义的加法及数乘符合线性运算所定义的加法及数乘符合线性运算 四、小结 线性空间是二维、三维几何空间及线性空间是二维、三维几何空间及 维向量维向量 空间的推广，它在理论上具有高度的概括性空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. . n 思考题 ? , 为什么为什么上的一个线性空间上的一个线性空间是否构成是否构成 数量乘法数量乘法对于通常的向量加法和对于通常的向量加法和的所有解向量的所有解向量 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组上的上的实数域实数域 R BAXnR 思考题解答 . 上的一个线性空间上的一个线性空间不能构成不能构成R答答 B X AB X A BAX n XX 21 21 , , , 则则的解向量的解向量 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组都是都是设设事实上事实上 BBBB X A X A XX A 2 )( 2121 但但 . , 21 不封闭不封闭向量的集合对加法运算向量的集合对加法运算 也就是说所有解也就是说所有解的解向量的解向量不是不是即即BAX XX . 空间空间因此不能构成一个线性因此不能构成一个线性
