1、一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数:xxfxxfxfx)()(lim)(0当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分微分:xxfxfd)()(d 关系关系:可导可微(思考 P125 题1)连续的在点可导是在点00)()(xxfxxf.条件可导的在点连续是在点00)()(xxfxxf.条件条件。可导的 0 x在点等是的左右导数都存在且相在点)()(0 xfxxf条件可微的在点可导是在点 )()(00 xxfxxf充分必要充分必要充分必要P125.1 应用应用:(1)利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限
2、1)推出三个最基本的导数公式及求导法则xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.例例1.1.设)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解:原式=xxfxxxfx )()(lim02002)(xx2)(xx)(0 xf 例例2.2.若0)1(f且)1(f 存在,求.tan)1(e)cos(sinlim20 xxxfxx解解:1)cos(sinlim20 xxx原式=220)cos(sinlimxxxfx且0)1(f联想到凑导数的定义式22
3、0)1cossin1(limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx)1(f)1(f)211()1(21f x例例3.3.设)(xf在2x处连续,且,32)(lim2xxfx求.)2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3思考思考:书P125 题3P87.17设函数1.,1 ,)(2xbaxxxxf应取什么值？、处连续且可导，在为了使函数baxxf1)(解：连续在1)(xxf)1()1()1(fff)1()(lim)(lim11fxfxfxx即21lim xx)(lim1baxx11ba可
4、导在1)(xxf)1()1(ffhfhfhfhfhh)1()1(lim)1()1(lim00即1.,1 ,)(2xbaxxxxfhhh1)1(lim20hbabhah)()1(lim022lim20hhhhahahh0lim2a1ba12ba例例4.4.设1eelim)()1()1(2xnxnnbaxxxf,试确定常数a,b.)(xf 解解:)(xf1x,bxa 1x,)1(21ba1x,2x,1时x;)(axf时，1x.2)(xxf)1()1()1(fff)1()1(ff得处可导，在利用1)(xxf即ba1)1(21ba2a使 f(x)处处可导,并求,1,2ba2)1(f1,21,2)(xx
5、xxf)(xf 是否为连续函数?判别判别:,1时x,)(axf时，1xxxf2)(ba1)1(21ba2a存在)1(f)(xf设0)(,xxf在讨论解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0例例5.所以 )(xf0 x在处连续.即)(xf0 x在处可导.xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性.xxxx120sinlim0)0(f二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则 2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数求导
6、法(3)参数方程求导法极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼茨公式.导出导出例例1.设 yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x例例2.设,)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f)(xf)(xf 其中)(xf可导,求.y求.y,求01sine232ytttxy.dd0txy解解：方程组两边同时对 t 求导,得 txddyetydd0ddtxy例例3.设26 ttyddtsin0ddtytycosettyysine1coset
7、xtydddd0)26)(sine1(cosetyyttt2e0t例4.已知,)1sinarcsin(2xy 求.d y解解：因为 y所以yd22)1(sin11xx1sin2x1cos)1(2xxy dxxxxd222)1(sin12sin已知,eyxxy求.d y解解:方程两边求微分,得xyyxddyd例5.)d(deyxyxedex yx yyxx习题课 精品课件精品课件！精品课件精品课件！作业作业 下周一处理第一章大作业，课代表本周下周一处理第一章大作业，课代表本周五将大作业及答案取回。周一时将大作业五将大作业及答案取回。周一时将大作业带来备用！带来备用！独立完成大作业。独立完成大作业。
