1、微分几何微分几何主讲人：周小辉主讲人：周小辉第第 一一 章章 曲曲 线线 论论1、向量函数、向量函数 向量函数的极限、连续、微商、积分向量函数的极限、连续、微商、积分2、曲线的概念、曲线的概念 曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。3、空间曲线、空间曲线 3、1 空间曲线的密切平面空间曲线的密切平面 3、2 空间曲线的基本三棱形空间曲线的基本三棱形 3、3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 3、4 空间曲线在一点邻近的结构空间曲线在一点邻近的结构 3、5 空间曲线的基本定理空间曲线的基本定理 3、6 一般螺线一般
2、螺线 内内 容容 提提 要要回顾向量代数回顾向量代数 一、向量的概念一、向量的概念 1、向量的定义。2、向量的表示 3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量）4、向量的坐标。,221122112211222111321yxyxxzxzzyzyzyxzyxeeeba,212121zzyyxxba,zyxa212121),cos(zzyyxxbababa成右手系垂直与,),sin(bababababa 二、向量的运算二、向量的运算 （几何意义）（几何意义）1、加减法：2、数乘：3、内积：4、外积：5、混合积：6、二重向量积：7、Lagrange恒等式 8、模：方向余弦：333222111)
3、()(zyxzyxzyxcbacbaacbbcacba)()()(222zyxacos,cos,cosdbcbdacadcba)()(0baba0/baba0)(,cbacba共面 四、运算规律、几个充要条件 1、2、3、三、几种运算的几何意义第一节 向量函数 向量函数的概念向量函数的概念：给出一点集G，如果对于G 中的每一个点 ，有一 个确定的向量 和它对应，则说在 G上给定了一个向量函数，记作 例如 设G是实数轴上一区间 ，则得一元向量函数 设G是一平面域，则得二元向量函数 设G是空间一区域，得三元向量函数,),(Gxxrrrx,0tt).(trrGvu),().,(vurrGzyx),(
4、),(zyxrra)(tr0000ttatr)(0tt)(traatrtt)(lim0 1、定义、定义 设 是所给的一元函数，是常向量，如果对任给的 ，都存在数 ，使得当 时,有 成立，则说当 时，向量函数 趋向于极限 ，记作 1、1 向量函数的极限向量函数的极限2、向量函数的性质、向量函数的性质命题1如果 和 是两个一元函数，是一个实函数，并且 当 时，有 则有)(tr)(ts)(t0tt mtbtsatr)(,)(,)(.)()(batstr.)()(amtrt.)()(batstr.)()(batstr（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。（2）数乘向量的极限等于极限的乘积。（
5、3）数量积的极限等于极限的数量积。（4）向量积的极限等于极限的向量积。1、2 向量函数的连续性向量函数的连续性).()(lim00trtrtt 1、给出一元向量函数 ，当t t0 时，若向量函数 ,则称向量函数 在 t0 点是连续的。也有)(tr)(0tr)(tr)(tr)(tr)(tr 2、如果 在闭区间t1,t2的每一点都连续，则称 在区间t1,t2上是连续的。3、命题命题2 如果 和 是在点t0连续的向量函数，而 是点 t0连续的实函数，则向量函数 和实数 也都有在t0点连续（把命题中的点t0改为区间t,t0时，命题也成立）。)(t)()(),()(),()(tstrtrttstr)(t
6、r)(ts()()r ts t 1、3 向量函数的微商向量函数的微商),(210ttt ttrttrt)()(lim000)(tr).(0trtdtrd或)(tr)(tr 1、设 是定义在区间t1,t2上的向量函数，设 ，如果极限 存在，则称 在t0点是可微分的，这个极限称为 在 t0 点的微商（或导矢）。记为 即 如果 在某个开区间的每一点都有微商存在，则说 在此区间内是可微的或简称向量函数 是可微的，它的微商记为ttrttrtrdtrdtt)()(lim)(00000)(tr)(tr)(tr)(tr 2、命题、命题3 设 分别是可微的向量函数，是可微 的实函数，则 都是可微函数，并且),(
7、)(tstr),()(tstr),()(tstr)(),(),(tutstr)(),(),(tutstr)(t),()(trt,)(,)(,)(srsrsrsrsrrrr),(),(),(),(,)(usrusrusrusrsrsrsr).()(trn,)(tr)(tr)(tr )(tr)(tr)(tr)(tr 3、向量函数 的微商 仍为 t 的一个向量函数，如果函数 也是连续和可微的，则 的微商 称为 的二阶微商。类似可定义三阶、四阶微商。如5、任一向量函数 与三个实函数 一一对应，即有)(tr)(),(),(tztytx321)()()()(etzetyetxtr1)()(etrtx321
8、)()()()(etzetyetxtr1ekCkC1e)(tr)(),(tztykC 证明证明 将 两边点乘 得 由于 是常向量，而 是 类的，所以x(t)是 类函数 同理，是 类函数。kCkC)(tr,21tt,21tt)(),(),(tztytx 命题命题4 如果向量函数 在 上是 类函数，则向量函数所对的三个实函数 在 上是 类函数。4、在区间 t1,t2上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次可微函数或 类函数，连续函数也称为 类函数，无限可微的函数记为 类函数。解析函数记为 类函数。CC0CkC),(),(),()(),(),(tztytxrtztytxr1、4 向量函数的
9、泰勒公式向量函数的泰勒公式 2、当 时，我们可以把它展成泰勒级数 3、如果 ，则上述泰勒级数是收敛的。)(!)()(!2)()()()(0)(02000trnttrttr ttrttrnnCtr)(Ctr)()(tr,00ttt1nC),()()!1()()(!)()(!2)()()()(00)1()1(0)(02000tttrnttrnttrttr ttrttrnnnn 0t.0),(0tt 1、定理、定理 设向量函数 在 上是 类函数，则有泰 勒展开式其中 时),()()!1()()(!)()(!2)()()()(010)1()1(0)(02000tttxnttxnttxttx ttxtt
10、xnnnn),()()!1()()(!)()(!2)()()()(020)1()1(0)(02000tttynttynttytty ttyttynnnn),()()!1()()(!)()(!2)()()()(030)1()1(0)(02000tttznttznttzttz ttzttznnnn 证明证明1、5 向量函数的积分向量函数的积分 1、定义、定义 如果向量函数 是可积的，则有niiiibanttrdttr11)(lim)()(trbabababadttzedttyedttxedttr)()()()(321)(trbabadttrmdttrm)()(,)()(babadttrmdttrm
11、babadttrmdttrm)()().()(xrdttrdxdxabccabadttrdttrdttr)()()(badttr)(m 2、命题、命题5 如果向量函数 是区间a,b上的连续函数，则积分 存在，并且 （1）当acb时有 （2）m 是常数时有 （3）如果 是常向量，则有 （4）)(tr)(tr)(tr)(tr)(tr.0rr.0),(rrr常数22)()(trtr 3、命题、命题6 (1)向量函数 具有固定长的充要条件是对于 t 的每 一个值，都与 垂直。(2）有固定方向的充要条件是 （3）平行于固定平面的充要条件是 证明证明 因为x(t),y(t),z(t)为连续函数，所以在a,
12、b上可积，由它对应 的向量函数也可积，且有123()()()()bbbbaaaar t dtex t dtey t dtez t dt 4、旋转速度、旋转速度：定义 为向量函数 对于变量 t 的 旋转速度。tt0lim)(ttr)(tr)(trO)(ttr)(trOMM)(tr)(tr MMMMttrttrMMMMtMMtMMt)()()(lim0trtt 命题命题7 单位向量函数 对于 t 的旋转速度 等于其微商的模 证明证明 如图 所以 第二节第二节 曲线的概念曲线的概念 2、1 曲线的概念曲线的概念 2、曲线、曲线 一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的，双方连续的在上的映射 f（
13、拓扑映射或同胚）下的象叫简单曲线段。1、映射、映射 给出两个集合E，法则f，如果通过 E 中每个点（或元素）x，有 中唯一的点 与之对应，则说 f 为从 E 到 的映射，为象，x为原象。一一映射（单射）：不同元素的象不同。在上映射（满射）：中元素都有原象。双方连续的：一个映射以及它的逆映射都连续。ExEExExyzoM321sincos,sin,cos)(ebte tae tabttatatr 3、曲线的参数方程、曲线的参数方程 坐标式 bta)()()(tzztyytxx 例书中的开圆和圆柱螺线。-101-101024321)()()()(etzetyetxtr向量式cossinxatyat
14、(0,2)t 例例1 1、开圆弧btzttaytax.,sincos 例例2 2、圆柱螺线或2、2 光滑曲线光滑曲线 曲线的正常点曲线的正常点kC1C 1、光滑曲线、光滑曲线 如果曲线的参数表示式中的函数是 k 阶连续可微的函数，则把这曲线称为 类类曲线曲线。类的曲线又称为光滑曲线。光滑曲线。321)()()()(etzetyetxtr.0)(0 tr 2、正常点、正常点 曲线上满足一阶微商不为零的点叫曲线的正常点正常点。即若t0 为曲线的正常点，则由于所以 中至少有一个不为零321)()()()(etzetyetxtr321)()()()(etzetyetxtr)(),(),(000tzty
15、tx0)(0 tr 例如例如 圆柱螺线 由于b不为0，由z=bt 得t=z/b，代入 x=acost,y=asint 得 x=acos(z/b)y=asin(z/b)。这是圆柱螺线的另一种表示法。,cos,sin)(,sin,cos)(btatatrbttatatr3、正则曲线正则曲线 若曲线上任一点都是正常点，则此曲线称为正则曲线正则曲线。0)(0 tx).(,)(xzxy 由 中至少有一个不为零 不妨设 ,则在曲线的正常点的充分小的邻域里，x=x(t)在 t0 邻近有连续可微的反函数 t=t(x),代入 y=y(t),z=z(t)，即得 这是曲线的另一种表示方法。)(),(),(000tz
16、tytx0)(0 tr2、3 曲线的切线和法面曲线的切线和法面)(0ttQ)(0tPRO2、切线的方程切线的方程（设曲线上的点都有是正常点）设切线上任一点的径矢为 则 设 则(,)X Y Z)()()(/)(0000trtrtrtr,)(),(),()(0000tztytxtr)(),(),()(0000tztytxtr)()()()()()(000000tztzZtytyYtxtxX 3、例例 求圆柱螺线上一点处的切线。00000()()()limlimttr ttr tr tPQt 1、切线切线 割线的极限 切向量切向量4、法面、法面 经过切点且垂直于 切线的平面。)(0tP)(0trO5
17、、法面的方程、法面的方程 设 是法面上任一点，则 或(,)X Y Z0)()(00trtr.0)()()()()()(000000tztzZtytyYtxtxX例题例题 求圆柱螺线的法面方程2、4 曲线的弧长曲线的弧长 自然参数自然参数)(00tP)(11iitP)(iitP)(nntP 给出 类曲线（C）：作分点 Pi 得折线，长为得弧长若用 表 a 到 t 的弧长，则 这里的积分上限大于下限，所得的曲线的弧长总是正值。1C.,)(btatrrniiinPP11dttrbann)(lim)(tdttrtta)()(弧长公式为dttztytxdttrttata222)()()()()(bta现
18、在定义一新函数 s(t)为：s(t)=0 ,t=a,得 而且s(t)是 t 的单调增加函数（），它的反函数存在设为 t=t(s)，代入曲线方程得到以 s 为参数的曲线方程或 x=x(s),y=y(s),z=z(s),s 称为自然参数。记对 s(t)微分得.,)(att,)(att()()tass tr x dx0)()(trts).(srr rr,.)(222222222dzdydxrddsrddtrdsdttrds 此外还有 ，因此 为单位切向量。练习练习10 将圆柱螺线化为自然参数表示。1)(dsrdsr)(sr 3、1 空间曲线的密切平面空间曲线的密切平面1、定义、定义 过空间曲线上 P
19、 点的切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P时，平面 的极限位置 称为曲线在 P 点的密切平面。第三节第三节 空空 间间 曲曲 线线O)(0tP)(0ttQ)(0trR 对于 类的曲线上任一正常点处的密切平面是最贴近于曲线的切平面。2c 2、密切平面的方程、密切平面的方程 给出 类的曲线（C）：2C)(trr2021000)()()()(ttrttrtrttrPQ 因为向量 和 都在平面 上，所以它们的线性组合 也在平面 上。两边取极限得 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此只要 这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。密切平面方程为 )(0trPQ)()(0
20、022trttrPQt)(0tr 0)()(trtr0)(),(),(000 trtrtrRO)(0tP)(0ttQ)(0trR用 表示 P 点的密切平面上任一点的向径，则上式表示为如果曲线用自然参数 s 表示，则将上式中的撇改成点。,ZYXR 0)()()()()()()()()(000000000 tztytxtztytxtzZtyYtxX例题 求圆柱螺线上任一点的密切平面。平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。1、给出 类曲线 得一单位向量 ，称为曲线（C）上 P 点的单位切向量单位切向量。（注意到 ）称 为曲线在 P 点的主法向量主法向量,它垂直于单位切向量。称 为曲线在 P 点的副法
21、向量副法向量。把两两正交的单位向量 称为曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。2C)(srrdsrdrrr 1,3、2 空间曲线的基本三棱形空间曲线的基本三棱形P2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。),(trr3、对于曲线（C）的一般参数表示 有rrrrrrrrrrrrrrr )()(,4、例题例题 P34P密切平面从切平面法平面密切平面：,0Rr 法平面：0Rr从切平面：0Rr3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式2、曲率的几何意义曲率的几何意义是曲线的切
22、向量对于弧长的旋转速度。曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的弯曲程度。设空间曲线（C）为 的，且以 s 为参数。3C1 1、曲率曲率 定义（C）在 P 为的曲率为 有 （一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）ssks0lim)()(sk)(s)(ssP1P3、挠率挠率 与曲率类似有 ss0lim)(ss)(ss)(s)(skrr )()(,)(sksk./)1.(,定义定义 曲线（C）在 P 点的挠率为挠率的绝对值是曲线的副法向量对于弧长的旋转速度。)(s,异向和当.,同向和当 4、由定义可得 又 于是有 这个公式称为空间曲线的伏雷内（伏雷内（Frenet)公式公式。它的
23、系 数组成一反称方阵)(s)()()()()(ssksks)(s)()(ssk)(sk0)(0)(0)(0)(0sssksk5、曲率和挠率的一般参数表示式、曲率和挠率的一般参数表示式给出 类的曲线（C）：所以因此由此得到曲率的一般参数的表示式3C.,)(rdtdsdtdsrdtdsdsrdrtrr,)(22222222dtsdrdtdsrdtsdrdtdsdsrddtsdrdtdsrr ,3222 dtdsrrdtsdrdtdsrdtdsrrr ),1(sin33rrrrkdtdsrrrr 3rrkr 由0262)(),(),(1)1)(1()1)1()1()1()(rrrrrrrrrrrrr
24、 可得挠率公式为2(,)()r r rrr PCk16、密切圆（曲率圆）密切圆（曲率圆）过曲线（C）上一点 P 的主法线的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以C 为圆心，以1/k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线在 P 点的密切圆或曲率圆，圆的中心叫曲率中心，圆的半径叫曲率半径。7、几个例题几个例题例1 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数。例2 曲率恒为零的曲线是直线。例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。例4 求曲率为 4，挠 率为 5 的曲线方程。2222454,5,.4141abababab,sin,cosbaar 445cos,sin,414141r解解 由题意，可设曲线为园柱
25、螺线 因此得所求园柱螺线为3、4 空间曲线在邻近一点的结构空间曲线在邻近一点的结构给定给定 类曲线类曲线 及其上一点及其上一点 有有3C)(srr)(0sr)()(00srssr23112!3!00021200023160000000()()()()()()()()r ssr ssr sssss 300061200210)()(sss 取取 为新坐标系，并取为新坐标系，并取 为计算弧长的始点，为计算弧长的始点，则有则有 。设。设 为曲线上点为曲线上点 的邻近点的新坐的邻近点的新坐标，则有标，则有)(0sr,);(0000srsss,00)(0sr,300612021sssO)(0sr)(0ss
26、r近似曲线在三个平面上的投影分别为近似曲线在三个平面上的投影分别为；，半立方抛物线即在法平面上的投影为3020292,0；物线在从切平面上为立方抛,61,0300。在密切平面上为抛物线,21,020-202012-202xyz-101012-202yxz-202-101-202yxz-202012-101zyx001-202012-202xyz-101012-202yxz-202-101-202yxz-202012-101zyx001,1 通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状：在一点邻近的近似形状：1、曲线穿过法平
27、面与密切平面，但不穿过从切平面。、曲线穿过法平面与密切平面，但不穿过从切平面。2、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的几何意义。几何意义。3、挠率的符号对曲线的影响见表。、挠率的符号对曲线的影响见表。3、5 空间曲线论的基本定理空间曲线论的基本定理 曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关，曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关，但与刚体运动和坐标变换无关。我们把但与刚体运动和坐标变换无关。我们把 称为称为空间曲线的自然方程。空间曲线的自然方程。)(),(sskk空间曲线论基本定理空间曲线论基本定理)(),(s
28、sk,0)(s)(s)(s)(s 给出闭区间给出闭区间s0,s1上的两个连续函数上的两个连续函数 ,则除了空则除了空间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得参数间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得参数 s 是曲线是曲线的自然参数，并且的自然参数，并且 和和 分别为曲线的曲率和挠率，即曲分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程为线的自然方程为3、6 一般螺线一般螺线 1、定义：切线和固定方向作固定角的曲线称为一般螺线。定义：切线和固定方向作固定角的曲线称为一般螺线。2、性质：性质：（1）主法线与一个固定方向垂直。）主法线与一个固定方向垂直。（2）、副法线与一个固定方向作固定角。）、副法线
29、与一个固定方向作固定角。证明：设证明：设 是固定方向上的一个单位向量。它与切向量作固是固定方向上的一个单位向量。它与切向量作固 定角定角 ，有，有 微商微商 pcos p000pppp （3）曲率与挠率之比为一个常数。）曲率与挠率之比为一个常数。)(tan0sincos0)(00常数ppp 可以证明，上面的结论也是充分的。可以证明，上面的结论也是充分的。3、一般螺线的一种标准方程、一般螺线的一种标准方程 设柱面的母线平行于设柱面的母线平行于 z 轴，则可令轴，则可令 再设一般螺线的再设一般螺线的方程为方程为 若令若令 z=0,s=0,则则 于是一般螺线的方程为于是一般螺线的方程为coscos1
30、,0,0,coscos3dsdzdsdzdsdydsdxep3ep)(srrcossz cos),(),(ssysxr 广义螺线000(cos()cos(),(cos()sin,sin()ravttbvtt vt,a b22221xyab0vmin(,)a b若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为椭圆中常数,的常数,为自转速率.则该轨线为椭圆螺线椭圆螺线.000(cos()sec,(cos()tan,sin()ravtt bvtt vt,a b22221xyab0vmin(,)a b若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为双曲线中常数,的常数,为自转速率.则该轨线为双曲螺线双曲螺线.2000(2co
31、s(),(2cos(),sin()rpvt tpvt t vtp0v,2,A Ap若一质点的运动轨迹的参数方程是其中为抛物线中常数,为自转速率.则该轨线为抛物螺线抛物螺线.22ypx第二章第二章 曲面论曲面论 内内 容容 提提 要要1 1、曲面的概念、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）2 2、曲面的第一基本形式、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、第一基本形式、曲线的弧长、正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）3 3、曲面的第二基本形式、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的第二基
32、本形式、曲面曲线的 曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）4 4、直纹面和可展曲面、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面）（直纹面、可展曲面）5 5、曲面论的基本定理、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理）（基本方程、基本定理）6 6、曲面上的测地线、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯（测地曲率、测地线、高斯波涅波涅 公式、曲面上向量的平行移动）公式、曲面上向量的平行移动）7 7、常高斯曲率曲面、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗 氏几何）氏几何）第一节第一节 曲面的概念曲面的概念 1、1 简单曲面及其参数表示 一、初
33、等区域一、初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线约当曲线。约当曲线将平面分成两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的，另一个是无限的，有限的区域称为初等区域。约当曲线的内部称为初等区域初等区域。如矩形的内部、圆的内部等。如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在上的、双方连续的映射（拓扑映射），则把三维空间中的象称为简单曲面。今后我们所用的都是简单曲面或曲面。如：一矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的圆柱面。如果它是橡皮膜，还可变成圆环面。二、简单曲面二、简单曲面-2-1012-202-1-0.500.511.5-202-202-101-202-202-101三、
34、曲面的方程三、曲面的方程 初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)，它的拓扑象为曲面S，其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，故有 x=f1(u,v),y=f2(u,v),z=f3(u,v),(u,v)G称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲纹坐标。习惯上写作 x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)G例：圆柱面；球面；旋转面。四、坐标曲线；曲纹坐标网四、坐标曲线；曲纹坐标网。曲面上一点 P 的直角坐标为（x,y,z），它的曲纹坐标为（u,v）。现在取v=常数而 u 变化时的曲线叫 u-曲线(u线）u=常数而 v 变化时的曲线叫 v-曲线（v线）面上构
35、成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一点 P，两族曲线中各有一条经过它。两族坐标曲线在曲2(2cos(),(2cos(),sin()rpvt tpvt t vtp22ypx是常数其中为相应抛物线中常数,向量函数形式：抛物螺面抛物螺面抛物螺线抛物螺线2000(2cos(),(2cos(),sin()rpvt tpvt t vtp22ypx是常数其中为相应抛物线中常数,向量函数形式：1 1、2 2 光滑曲面、曲面的切平面和法线光滑曲面、曲面的切平面和法线 一、光滑曲面、正常点、正规坐标网一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)或
36、r=r(u,v)中的函数 有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面阶正则曲面或 类曲面类曲面。类的曲面又称为光滑曲面光滑曲面。kc1c 2、过曲面上一点(u0,v0)有一条u-曲线：r=r(u,v0)和一条v曲线：r=r(u0,v),该点处这两条坐标曲线的切向量 为 如果它们不平行，即 ru rv在该点不为零，则称该点为曲面 的正常点。),(),(,),(),(00000000vuvrvurvuurvurvu 3、正规坐标网正规坐标网 由ru，rv 的连续性，若 ru rv在(u0,v0)点不为零，则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru rv不为零，于是在这片曲面上，有一族
37、u 线和一族 v 线，它们不相切，构成一正规坐标网正规坐标网。4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示，即有 z=z(x,y),事实上，由3，ru rv在(u0,v0)点不为零，则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru rv不为零，故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0，即 由隐函数定理，x=x(u,v),y=y(u,v)在 U 中存在唯一的单值连续可微函数 u=u(x,y),v=v(x,y),代入得 z=z u(x,y),v(x,y)=z(x,y)。vyvxuyuxvuyx),(),(二、曲面的切平面二、曲面的切
38、平面 设曲面曲线为(c)：u=u(t),v=v(t),或 r=r u(t),v(t)=r(t)，这条曲线在曲面上(u0,v0)处的切方向称为曲面在该点的切方向曲面在该点的切方向或方向，它平行于其中 分别是在(u0,v0)点处的两条坐标曲线的切向量。以下切方向几种表示通用：du:dv,(d)和 。或dtdvrdtdurtrvu)(vurr,)()(vurdvdurdtdvtr)(tr1、切平面的定义 可以看出，切向量 与 共面，但过(u0,v0)点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有)(trvurr,dtdvrdtdurtrvu)(由vurr,命题命题2：曲面上正常点处的所有切方
39、向都在过该点的坐标 曲线的切向量 所确定的平面上。这个平面我们称作曲面在该点的切平面。3 3、切平面的方程、切平面的方程 设面上一点为 P0(u0,v0)，R(X,Y,Z)为平面上任一点，则有 或写成坐标表示式0),(),(),(000000vurvurvurRvu0),(),(),(),(),(),(),(),(),(000000000000000000vuzvuyvuxvuzvuyvuxvuzZvuyYvuxXvvvuuu 如果用显函数 z=z(x,y)表示曲面时，有 ),(,yxzyxr,1,0,1,0,0,1,0,1qrpryzyxzx0100100000qpzZyYxX三、法方向与法
40、线三、法方向与法线 1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方 向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。由定义，曲面的法方向为 单位法向量为vurrNvuvurrrrn 2、法线的方程 设曲面上任一点 r(u,v)的径矢为 R(u,v)则法线的方程为 用坐标表示为 )(),(vurrvurRvvuuvvuuvvuuyxyxvuzZxzxzvuyYzyzyvuxX),(),(),(1),(yxzZqyYpxX若用 z=z(x,y)表示曲面，则有四、参数变换四、参数变换,uvruurrvuu 如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标 ：则得到曲面关于新曲纹坐标 的方程 对 求
41、导：),(vu),(),(),(,),(vuvvuurrvuvvvuuu),(vu),(vurr vu,vvrvurrvuv因此),(),()(vuvuNuvvuvvuurrrrNvuvu（1），则两个法向量平行。0),(),(vuvu0),(),(vuvu（2），所有参数法向量的正向保持不变，称这个方向为曲面的正向。（3）交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。1 1、3 3 曲面上的曲线簇和曲线网曲面上的曲线簇和曲线网 设光滑曲面上的曲线为(c)：u=u(t),v=v(t),或者 r=r u(t),v(t)=r(t),消去 t，可得曲面上曲线的方程为0),(,)(,)(vufuvvu或或1
42、、一阶线性微分方程 表示曲面上的一簇曲线曲线簇，设 则有 解之得 特别 当 A=0 或 B=0 时，有 d u=0 或 d v=0 此时为坐标曲线 u=c 或 v=c 。0),(),(dvvuBduvuA0A),(),(),(vuFvuAvuBdvdu),(cvu2、二阶微分方程0),(),(2),(22dvvuCdudvvuBduvuA0),(),(),(2vuCvuAvuB若 则表示曲面上的两簇曲线 曲线网。设 分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲面上的曲线网。特别有 它们表示坐标曲线。22120,()2()0(,)(,)duduAABCdvdvduBBACF u vF u
43、vdvA则得或,0,0dudvCA时第二节第二节 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式2、1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 1、给出曲面S：r=r(u,v)，曲面曲线(c)：u=u(t),v=v(t),或 r=r u(t),v(t)=r(t)，若 s 表示弧长有 所以 称为曲面的第一基本形式。其中称为第一类基本量。或dtdvrdtdurtrvu)(dvrdurdrvu222222222)(GdvFdudvEdudvrrdudvrrdurrdvrdurdrdsvvvuuuvuvvvuuurrGrrFrrE,2、曲线(C)上两点 A(t0),B(t1)间的弧长为：dtdtdvGdtdvdt
44、duFdtduEdtdtdsstttt10102223、用显函数 z=z(x,y)表示的曲面的第一基本形式222222)1(2)1(1,1.,1,0,0,1),(,dyqpqdxdydxpqrrGpqrrFprrEyzqxzpqrpryxzyxryyyxxxyx4、第一基本形式是正定的。事实上，也可从 直接得到。.0)(,0,0222222vuvuvuuurrrrFEGrGrrrE2ds例2：正螺面22222)(,sin,cosdvaududsavzvuyvux例题1：求球面的第一基本形式sin,sincos,coscosRRRr 2、2 曲面上两方向的交角曲面上两方向的交角 1、把两个向 量
45、 和 间的交角称为方向（）和（）间的角。dvrdurdrvuvrurrvudvdu:vu:2、设两方向的夹角为 ，则22222222)()(cosvGvuFuEGdvFdudvEduvGdvudvvduFuEdurdrvrurdvrdurrdrrdrvuvu3、特别 （1）（2）对于坐标曲线的交角，有故坐标曲线正交的充要条件为 F=0。0)()()(vGdvudvvduFuEdudEGFrrrrrdrrdrvuvucos2 2、3 3 正交曲线簇和正交轨线正交曲线簇和正交轨线 设有两曲线 如果它们正交，则 或 即0,0AduBdvC uD v0)(vGdvudvvduFuEdu0)(uvdud
46、vGuvdudvFE0)(DCBAGDCBAFE 若另给出一簇曲线 则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程 是 即,0BdvAdu0)()(uvBAGuvBAFEAGBFAFBEuv2、4 曲面域的面积),(vuP),(vduu),(dvvu),(dvvduudurudvrv 如图,用坐标曲线把曲面分成若干小块,每块的面积为DDvuDvuvududvFEGdudvrrddudvrrdvrdurd2其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，0)()(22222FEGrrrrrrvuvuvu定义：仅由第一基本形式出发所建立的几何性质（量）称为曲面的内在性质（量）或内蕴性质（量）
47、。如曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的交角，曲面域的面积。2、5 等距变换等距变换 1)曲面 S 到 S1 的变换 给定两曲面：S：S1：如果其对应点的参数之间存在一一对应关系：，其中 连续，有连续的偏导数，且这种一一对应关系称为曲面 S 到 S1 的变换。),(vurr),(1111vurr),(11vuuu),(11vuvv),(),(11vuvvuu0),(),(11vuvu 由于这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数。),(),(),(),(:111111111vurvuvvuurvurrS2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意曲
48、线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。定理：两个曲面上的一一变换是等距变换的充要条件是经过适当选取参数后，它们有相同的第一基本形式。由这个定理可知：仅由第一基本形式所确定的性质(内蕴性质)在等距变换下不变，因此曲线的弧长，交角，面积等都是等距不变量。例 正螺面悬链面 cos,sin,ruv uv av coshcos,coshsin,ttraataasinhtuaav令则 它是正螺面与悬链面的等距变换。2、6 保角变换（共形变换）1）定义：两曲面之间的一个变换，如果保持曲面上曲线的交 角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）2）定理：两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们
49、 的第一基本形式成比例。特别：等距变换是它的特例。例 球极投影22 sin cos cos2 sin cos sin2 sinxRuuvyRuuvzRu 球面2tan cos2tan sin0 xRuvyRuvz平面第三节第三节 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式3.1 3.1 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式一、上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面积等，都是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面在空间如何弯曲。为了更好地研究曲面的形状，有必要知道在曲面上任意一点 P 邻近曲面是否弯曲，往什么方向弯曲，弯曲的程度，而这个程度可用 P 点邻近的点 Q 到 P 点的切平面的垂直距离来表示，这
50、个距离的主要部分就是曲面的第二基本形式。在第五节我们将看到，曲面的第一、二基本形式完全决定的曲面的形状。2222dvrndudvrndurndsrnvvuvuu 22222NdvMdudvLdurdndsrn 它称为曲面的第二基本形式,它的 L、M、N系数称为曲面的第二类基本量。上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻划了曲面在空间中的弯曲性。注意：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向法向量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负。二、曲面的第二基本形式三、第二类基本量的计算2),(FEGrrrrrrrrnrLvuuuvuvuuuuu
