1、 北京二中分校北京二中分校 金江洙金江洙一、教材地位一、教材地位 本章属于本章属于全日制义务教育教学课程标准（实验全日制义务教育教学课程标准（实验稿）稿）中的中的“数与代数数与代数”领域，整式的乘除运算和因式领域，整式的乘除运算和因式分解最基本而重要的代数初步知识，在后续的数学学习分解最基本而重要的代数初步知识，在后续的数学学习中有重要意义中有重要意义.本章内容建立在已经学习了有理数运算、列简单的本章内容建立在已经学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上基础上.本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及本
2、章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数因式分解，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具科学技术不可或缺的数学工具.二、二、教学目标教学目标了解整数指数幂的意义和基本性质了解整数指数幂的意义和基本性质.了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）指一次式相乘）.会推导乘法公式：了解
3、公式的几何背景，并能进会推导乘法公式：了解公式的几何背景，并能进行简单计算行简单计算.会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正数）次）进行因式分解（指数是正数）.1.1.使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算，使学生掌握单项式乘（或用它们熟练地进行运算，使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式、以及除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式、以及多项式乘多项式的法则
4、，并运用它们进行运算多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算.2.2.使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算行乘法运算.3.3.使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算公式简化运算.4.4.使学生理解因式分解的意义，并感受分解因使学生理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握提公因式法式与整式乘法是相反
5、方向的变形，掌握提公因式法和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤，分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤，能熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解能熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.三、知识结构三、知识结构整式乘法整式乘法乘法公式乘法公式整式除法整式除法因式分解因式分解逐逐 节节 分分 析析 经历探索同底数幂乘法运算性质的整个经历探索同底数幂乘法运算性质的整个过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力与有条理思考的能力与有条理思考的能力.了解同底数幂乘法的了解
6、同底数幂乘法的运算性质并能解决一些实际问题运算性质并能解决一些实际问题.经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力能力.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题并能解决一些实际问题.单项式乘以单项式、单项式乘以多项式和多项式单项式乘以单项式、单项式乘以多项式和多项式乘以多项式乘以多项式.但学习单项式乘以单项式是核心，注意但学习单项式乘以单项式是核心，注意让学生体会单项式乘以多项式，只有通过乘法对于加让学生体会单项式乘以多项式，只有通过乘法对于
7、加法的分配律转化为单项式乘以单项式，多项式乘以多法的分配律转化为单项式乘以单项式，多项式乘以多项式是先把其中的一个多项式看成一个整体（单项式）项式是先把其中的一个多项式看成一个整体（单项式）然后再按着单项式乘以多项式进行，最终转化为单项然后再按着单项式乘以多项式进行，最终转化为单项式乘以单项式式乘以单项式.这种由复杂变简单，不熟悉变为熟悉这种由复杂变简单，不熟悉变为熟悉的想法就是数学中最常用的的想法就是数学中最常用的转化与化归思想转化与化归思想.要要注意让学生在做中体会注意让学生在做中体会.1.1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感与推理能力学
8、生的符号感与推理能力.会推导平方差公式，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，了解平方差公式并能运用公式进行简单的计算，了解平方差公式的几何背景的几何背景.2.2.学生的认知现实分析学生已经学习了整式学生的认知现实分析学生已经学习了整式的乘法，特别是多项式乘以多项式，从知识储备的乘法，特别是多项式乘以多项式，从知识储备来说学生可以独立推导平方差公式来说学生可以独立推导平方差公式.教材通过一个具体的实际背景让学生经历教材通过一个具体的实际背景让学生经历完全平方和公式的探索过程（借助等积发现规完全平方和公式的探索过程（借助等积发现规律），发展学生的推理能力和数形结合能力律），发展学生的推理
9、能力和数形结合能力.要要求学生会推导完全平方公式，并会运用公式进求学生会推导完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算行简单的计算.了解完全平方和公式的几何背景了解完全平方和公式的几何背景.和平方差公式一样，完全平方公式也是多和平方差公式一样，完全平方公式也是多项式乘以多项式的一类特例，教学中要注意让项式乘以多项式的一类特例，教学中要注意让学生主动的获取公式，或用等积，或用多项式学生主动的获取公式，或用等积，或用多项式乘以多项式法则推导乘以多项式法则推导.注意公式中的字母的含义注意公式中的字母的含义以及公式中字母的运算关系以及公式中字母的运算关系.平方差公式的常见变形：平方差公式的常见变形：(1
10、)(1)位置变化：位置变化：(a+b)(-b+a)=(2)(2)符号变化符号变化：(-a-b)(a-b)=(3)(3)系数变化：系数变化：(3a+2b)(3a-2b)=(4)(4)指数变化：指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(5)(5)项数变化：项数变化：(a+2b-c)(a-2b+c)=(6)(6)连用变化：连用变化：(a+b)(a-b)(a2+b2)=完全平方公式的常见变形完全平方公式的常见变形:a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)(a+b)2-(a-b)2=4ab 经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，经历探索同底数幂
11、的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力达能力.了解同底数幂的运算性质，并能解决一些简单了解同底数幂的运算性质，并能解决一些简单的实际问题的实际问题.1.1.注重使学生经历用字母表示数量关系的过程，注重使学生经历用字母表示数量关系的过程，进一步发展符号感进一步发展符号感.2.2.注重对运算法则的探索过程以及对算理的理注重对运算法则的探索过程以及对算理的理解，发展有条理的思考与表达解，发展有条理的思考与表达.3.3.注重在代数学习中发展学生的推理能力注重在代数学习中发展学生的推理能力.4.4.保证基本的运算技能，避免繁
12、杂的运算保证基本的运算技能，避免繁杂的运算.对于整式的除法教材中为学生设置了较高的对于整式的除法教材中为学生设置了较高的问题情景，教师要引导学生回忆数的除法的意义问题情景，教师要引导学生回忆数的除法的意义以及数的除法与乘法的内在联系以及数的除法与乘法的内在联系.使学生通过类使学生通过类比学习整式的除法，以帮助学生理解整式除法的比学习整式的除法，以帮助学生理解整式除法的算理，把握运算法则算理，把握运算法则.经历从分解因数到分解因式的类比过程经历从分解因数到分解因式的类比过程;了了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系解分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系;感受分解因式在解决相关问题中的作用感
13、受分解因式在解决相关问题中的作用.学习分解因式的作用主要是为后继学习方程学习分解因式的作用主要是为后继学习方程与多项式的恒等变形作准备，虽然内容简单，课与多项式的恒等变形作准备，虽然内容简单，课时也较少，但是，分解因式问题的提出，实际上时也较少，但是，分解因式问题的提出，实际上是对整式乘法的逆过程的思考并运用，逆向思考是对整式乘法的逆过程的思考并运用，逆向思考的方法也是我们处理一般问题的一个重要方法，的方法也是我们处理一般问题的一个重要方法，而且也是人们发现问题的重要方法而且也是人们发现问题的重要方法.（发现问题（发现问题比解决一个问题更重要）比解决一个问题更重要）经历探索多项式各项公因式的过
14、程公因式法把多经历探索多项式各项公因式的过程公因式法把多项式分解因式项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情多项式中的字母指数仅限于正整数的情况况)；进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思；进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法维并渗透化归的思想方法.对于提公因式法教师不必归类解析，要尽可能地对于提公因式法教师不必归类解析，要尽可能地调动学生积极主动地思考，探究相信学生不管是通过调动学生积极主动地思考，探究相信学生不管是通过类比提公因数，或者是运用乘法对加法的分配律的逆类比提公因数，或者是运用乘法对加法的分配律的逆应用，都能找到公因式，并且将它提出来应用，
15、都能找到公因式，并且将它提出来.教材中不仅教材中不仅仅是为了引仅是为了引 出提公因式的概念，更重要的是调动思维，出提公因式的概念，更重要的是调动思维，说明算理说明算理.教学过程中，教师不宜增加难度，关键是让教学过程中，教师不宜增加难度，关键是让学生理解提公因式的意义与原理学生理解提公因式的意义与原理.经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；运用公式法发展学生的逆向思维和推理能力；运用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正（直接用公式不超
16、过两次）分解因式（指数是正整数）在运用公式法分解因式的两节课中，教师整数）在运用公式法分解因式的两节课中，教师要有意识的引导学生再熟悉乘法公式的来历，以要有意识的引导学生再熟悉乘法公式的来历，以及乘法公式的结构，多注意培养学生认真观察地及乘法公式的结构，多注意培养学生认真观察地良好习惯良好习惯.在题目设置上不要过于复杂在题目设置上不要过于复杂.平方差公式：平方差公式：系数要平方、指数要成双、减号在中央系数要平方、指数要成双、减号在中央完全平方公式：完全平方公式：首平方、尾平方、积的首平方、尾平方、积的2 2倍加减在中央倍加减在中央因式分解：因式分解：首先提取公因式，然后考虑用公式，两种方法反首
17、先提取公因式，然后考虑用公式，两种方法反复用，提净、分完连乘式复用，提净、分完连乘式四、四、教学建议教学建议 （1 1）以）以“问题情境问题情境数学模型数学模型求解模型求解模型”为主为主要线索呈现整式及其运算的内容，注重从问题情境中要线索呈现整式及其运算的内容，注重从问题情境中寻求数量关系，运用符号进行表示的过程寻求数量关系，运用符号进行表示的过程.（2 2）以）以“观察观察归纳归纳类比类比概括概括”为主为主要线索呈现运算法则的探索过程，注重推理能力和表要线索呈现运算法则的探索过程，注重推理能力和表达能力的培养达能力的培养.（3 3）注重整式运算每一步的算理，重视幂的意）注重整式运算每一步的算
18、理，重视幂的意义、乘法分配律等的作用，渗透转化、类比等思想义、乘法分配律等的作用，渗透转化、类比等思想.（4 4）从面积的角度解释多项式乘法、平方差公）从面积的角度解释多项式乘法、平方差公式、完全平方公式等内容，并从直观上理解这些内容，式、完全平方公式等内容，并从直观上理解这些内容，渗透数形结合思想渗透数形结合思想.（5 5）注重使学生经历探究因式分解的方法）注重使学生经历探究因式分解的方法的过程，进一步发展学生的观察、发现、归纳、的过程，进一步发展学生的观察、发现、归纳、总结等能力总结等能力.探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过
19、程中，教师要借助学的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生提供丰富生已有的整式乘法运算的基础，给学生提供丰富有趣的问题情境，并给他们留下充分探索与交流有趣的问题情境，并给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程，并能用符号合理的表解的这种互逆变形的过程，并能用符号合理的表示出因式分解的关系式示出因式分解的关系式.（6 6）注重学生对因式分解的理解，发展学）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力生分析问题的能力和推理能力.标准标准中要求学生中要求学生“能
20、通过观察、实验、能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出理由或举出反例能清晰、有条理地表达自给出理由或举出反例能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理，落笔有据；在与己的思考过程，做到言之有理，落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言，合乎逻辑他人交流的过程中，能运用数学语言，合乎逻辑的进行讨论与质疑的进行讨论与质疑”上述要求在上述要求在“整式的运算整式的运算”等代数知识的教与学的过程中，已做了大量的落等代数知识的教与学的过程中，已做了大量的落实工作，在因式分解这一章的教学中，教师仍要实工作，在因式分解这一章的
21、教学中，教师仍要有意识的培养学生的推理能力有意识的培养学生的推理能力.二、分类讨论思想二、分类讨论思想若若x2+2(a+4)+25是完全平方式，求是完全平方式，求a的值的值.三、化归思想三、化归思想已知已知ax=2，ay=3，az=6，求，求a3x+2y-z的值的值.四、建模思想四、建模思想计算计算1110110001的值的值.五、逆向思维法五、逆向思维法计算计算1.23452+2.4690.7655+0.76552的值的值.一、整体思想一、整体思想已知已知a+b=2，求，求a2+b2+2ab的值的值.（1 1）本章内容丰富，方法多、技巧性强）本章内容丰富，方法多、技巧性强.数学课程标准数学课
22、程标准对因式分解的要求有严格的界对因式分解的要求有严格的界定，因此本章的教学教师不要随意增加内容，切定，因此本章的教学教师不要随意增加内容，切实掌握本章内容的深度和广度实掌握本章内容的深度和广度.教师可以根据实教师可以根据实际情况，对学有余力的学生作适当补充，不要求际情况，对学有余力的学生作适当补充，不要求全体学生掌握全体学生掌握.（2 2）分组分解，十字相乘，进行因式分解，）分组分解，十字相乘，进行因式分解，在教材中设有单独作为方法给出，但在我区形成在教材中设有单独作为方法给出，但在我区形成性测试性测试B B卷及部分练习册中有这方面的应用，在不卷及部分练习册中有这方面的应用，在不同的人学习不同的数学上作可以一些尝试同的人学习不同的数学上作可以一些尝试.本章教学时间约需本章教学时间约需134课时，分配如下：课时，分配如下：15.1整式的乘法整式的乘法（41课时）课时）15.2乘法公式乘法公式（2课时）课时）15.3整式的除法整式的除法（2课时）课时）15.4因式分解因式分解（31课时）课时）教学活动小结教学活动小结（2课时）课时）
