1、第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合高考数学高考数学考点一集合及其关系考点一集合及其关系1.集合的含义与表示(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种:属于(用符号“”表示)和不属于(用符号“”表示).(3)常用数集及其符号表示(4)集合常用的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N+ZQR考点清单考点清单注意集合元素互异性的应用:(1)利用集合元素的互异性找到解题的切入点;(2)在解答完毕时,注意检查集合的元素是否满足互异性,以确保答案正确.2.集合间的基本关系表示关系定义
2、记法集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A=B子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素AB(或BA)真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素,且B中至少有一个元素A中没有A B(或B A)空集空集是任何集合的子集 B空集是任何非空集合的真子集 B(B)注意遇到形如AB的问题,要优先考虑A=是否满足题意.知识拓展知识拓展若A为有限集合,card(A)=n(nN*),则:A的子集个数是2n;A的真子集个数是2n-1;A的非空子集个数是2n-1;A的非空真子集个数是2n-2.考点二集合的基本运算考点二集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U,则集合
3、A的补集为UA图形表示意义x|xA或xBx|xA,且xB x|xU,且x A性质A=A;AA=A;AB=BA;AB=ABAA=;AA=A;AB=BA;AB=AABA(UA)=U;A(UA)=;U(UA)=A;U(AB)=(UA)(UB);U(AB)=(UA)(UB)考法一集合间基本关系的求解方法集合间基本关系的求解方法知能拓展知能拓展例例1(1)(2019湖北天门调研,1)集合M=x,N=,则()A.M=NB.M NC.N MD.M与N没有相同的元素(2)(2018中原名校联考,2)已知集合A=x|y=lg(x-x2),B=x|x2-cx0,若AB,则实数c的取值范围为()A.(0,1B.1,
4、+)C.(0,1)D.(1,+)k1,Z24xkk1,Z42x xk解题导引解题导引(1)化简两集合,观察两集合中元素的构成特征,再确定两个集合的关系,得出结果.(2)思路一:首先化简两集合,利用AB确定两集合端点值的大小关系,结合数轴得出实数c的取值范围.思路二:首先化简集合A,然后对c取特殊值,运用排除法,从而得出正确答案.解析解析(1)集合M=xx=(2k+1),kZ,N=xx=(k+2),kZ,当kZ时,2k+1是奇数,k+2是整数,又知奇数均为整数,而整数不一定为奇数,所以M N,故选B.(2)解法一:由题意知,A=x|y=lg(x-x2)=x|x-x20=x|0 x1,B=x|x2
5、-cx0=x|0 x0=x|0 x1,取c=1,得B=x|0 x1,则AB成立,可排除C、D;取c=2,得B=x|0 x2,则AB成立,可排除A,故选B.k1,Z24x xk14k1,Z42x xk14答案答案(1)B(2)B方法总结方法总结1.判断两集合的关系一般有两种方法:一是化简集合,从其中直接寻找两集合的关系;二是用列举法(或Venn图法)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系.2.已知两集合间的关系求参数的取值范围时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题时常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析.考法二集合运算问题的求解方法集合运算问题的
6、求解方法例例2(1)(2019湖南重点中学摸底联考,1)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,M=3,4,5,N=1,3,6,则集合2,7=()A.MNB.(UM)(UN)C.(UM)(UN)D.MN(2)(2019重庆(区县)调研,1)已知全集U=R,集合A=x|x2+x-20,B=x|x0,则(UA)B=()A.x|x-1B.x|-2x0C.x|x-2D.x|x-1解题导引解题导引(1)思路一:由已知集合,分别求出UM,UN,再验证选项.思路二:根据集合U,M,N的关系画出Venn图,从而确定结论.(2)先求出集合A,再求出UA,借助于数轴求出(UA)B.解析解析(1)解法一:U=1,2
7、,3,4,5,6,7,M=3,4,5,N=1,3,6,UM=1,2,6,7,UN=2,4,5,7,MN=3,MN=1,3,4,5,6,(UM)(UN)=2,7,(UM)(UN)=1,2,4,5,6,7,故选B.解法二:由集合M,N,U的关系画出Venn图(如图所示).由图可知U(MN)=(UM)(UN)=2,7,故选B.(2)A=x|x2+x-20=x|-2x1,U=R,UA=x|x1,又B=x|x0,借助数轴可知(UA)B=x|x-2.故选C.答案答案(1)B(2)C方法总结方法总结集合的基本运算包括集合的交、并、补运算,解决此类运算问题一般应注意以下几点:一是看集合的表示方法,用列举法表示
8、的集合,易用Venn图求解,用描述法表示的数集,常借助数轴分析得出结果,二是对集合进行化简,有些集合是可以化简的,通过化简集合,可使问题变得简单明了,易于解决.例例(2016北京文,16)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店:第一天售出但第二天未售出的商品有种;这三天售出的商品最少有种.实践探究实践探究解题导引解题导引“网购”是现代购物的重要方式之一,本题以售出商品的种类为背景,取材于人A必修113页的“阅读与思考集合中元素的个数”,考查了集合运算和Venn图等基本
9、知识,同时也涉及化归与转化、数形结合的数学思想.可以通过集合交、补运算确定元素个数;中“三天共售出的商品种类最少”应该是第三天与前二天售出的商品种类完全相同时,总的种类最少.解析解析设第一天售出的商品为集合A,则A中有19个元素,第二天售出的商品为集合B,则B中有13个元素.由于前两天都售出的商品有3种,则AB中有3个元素.如图所示,所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16(种).由知,前两天售出的商品为19+13-3=29(种),当第三天售出的18种都是前两天售出的商品时,这三天售出的商品种类最少,售出的商品最少为29种.答案答案1629方法总结方法总结本题实际上是把实际问题
10、用集合的符号语言及图形语言表示出来,体现数学的转化与化归思想,这与数学抽象,逻辑推理等学科核心素养是紧密关联的,在强调核心素养的大环境下,需关注此类问题,关键是灵活运用Venn图来分析、解决问题.1.2 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词高考数学高考数学考点一充分条件与必要条件考点一充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件(1)若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若pq,且q/p,则p是q的充分不必要条件.(3)若p/q,且qp,则p是q的必要不充分条件.(4)若pq,则p与q互为充要条件.(5)若p/q,且q/p,则p是q的既不充分也不必要条件.2.充分条件与必要条件的两
11、种判断方法考点清单考点清单条件定义法集合法:A=x|p(x),B=x|q(x)p是q的充分条件pqABp是q的必要条件qpABp是q的充要条件pq且qpA=Bp是q的充分不必要条件pq且q/pA Bp是q的必要不充分条件p/q且qpA Bp是q的既不充分也不必要条件p/q且q/pA B且A B考点二全称量词与存在量词考点二全称量词与存在量词1.全称量词和存在量词2.全称命题和特称命题名称常见量词符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等名称结构符号表示全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立xM,p(x)特称命题存在M中的一个x0,使p(x0)成立x0
12、M,p(x0)3.全称命题和特称命题的否定4.全(特)称命题真假的判断方法命题命题的否定xM,p(x)x0M,p(x0)x0M,p(x0)xM,p(x)全称命题特称命题真假真假真假方法一证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假方法二否定为假否定为真否定为假否定为真考法一充分条件与必要条件的判断方法充分条件与必要条件的判断方法知能拓展知能拓展例例1(1)(2019黑龙江哈尔滨六中二模,3)“0a1且0b0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018天津,4,5分)设xR,则“”是“x31”
13、的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1-2x12解析解析(1)充分性:因为0a1,所以y=logax在(0,+)上为单调递减函数,且恒过点(1,0).又因为0bloga1=0,故充分性成立.必要性:因为logab0,所以logabloga1,当a1时,b1,当0a1时,0b1.所以必要性不成立.故“0a1且0b0”的充分而不必要条件,故选A.(2)由得-x-,解得0 x1.由x31得x1.当0 x1时,能得到x1一定成立;当x1时,0 x1不一定成立.所以“”是“x31”的充分而不必要条件.1-2x121212121-2x12答案答案(1)A(2)
14、A方法总结方法总结判断充分、必要条件的常用方法:1.定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假;2.利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.考法二全全(特特)称命题真假的判断方法称命题真假的判断方法例例2(1)(2019江西师大附中月考,6)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()A.xR,f(-x)f(x)B.xR,f(-x)-f(x)C.x0R,f(-x0)f(x0)D.x0R,f(-x0)-f(x0)(2)下列4个命题:p1:x0(0,+),lox0;p3:x(0,+),lox;p4:x,
15、成立,故p1是假命题;对于p2,当x0=时,有1=lo=lolo成立,即lolo,故p2是真命题;对于p3,结合指数函数y=与对数函数y=lox在(0,+)上的图象(如图1)可以判断p3是假命题;012x013x1212g1213g1313g1212g1213g1212x12g对于p4,结合指数函数y=与对数函数y=lox在上的图象(如图2)可以判断p4是真命题.综上可知,真命题为p2,p4,故选D.12x13g10,3答案答案(1)C(2)D方法总结方法总结1.否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论.2.判定全称命题“xM,p
16、(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立.考法三与全与全(特特)称命题有关的参数的求解方法称命题有关的参数的求解方法例例3已知命题“xR,sinx-2a0”是真命题,则a的取值范围是.解析解析因为“xR,sinx-2a0”是真命题,所以a=-,则a的取值范围是.min1sin2x121-,-2答案答案 1-,-2方法总结方法总结解决与全称命题或特称命题有关的参数取值范围问题(本质是恒成立问题或有解问题,最终转化为最值问题)的主要方法是分离变量法.在使用该方法时一定要明确,在分离的过程中,把题目
17、中所求范围的量放在一边,其余的放在另一边,一定要注意这种分离过程是不是恒等变形.如何学好高中数学1、培养良好的学习兴趣。兴趣是最好的老师。在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢?(1)课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。(2)听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。(3)思考问题注意归纳，挖
18、掘你学习的潜力。(4)听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的?(5)把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生、极坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可靠，在应用概念判断、推理时会准确。2、建立良好的学习数学习惯。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习数学的过程中，要把
19、教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。3、有意识培养自己的各方面能力。数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上
20、几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。5、逐步形成“以我为主”的学习模式。数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神;正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质;在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。6、认真听好每一节。在新学期要上好每一节课，数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌握学习数学的方法。
