1、1第三章 误差的合成与分配第一节 函数误差第二节 随机误差的合成第三节 系统误差的合成第四节 系统误差与随机误差的合成第五节 误差分配第六节 微小误差取舍准则第七节 最佳测量方案的确定2 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各环节一系列误差因素共同作用的结果。正确分析与综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响。第一节 函数误差 间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。3在间接测量中
2、，函数主要为多元初等函数，其表达式为：12(,.,)nyf x xx式中：各个直接测量值；12,.,nx xxy间接测量值。函数增量为：1212.nnfffdydxdxdxxxx 若已知各直接测量值的系统误差 ，由于这些误差较小，可用来代替上式中的微分量，得：12,.,nxxx1212.nnfffyxxxxxx（函数系统误差公式）式中：为各个直接测量值的误差传递系数。(1,2,.,)ifx in一.函数系统误差的计算4 有些情况下，函数公式较简单，如：则：，误差传递系数 为常数。1 122.,nnya xa xa x1122.nnyaxaxaxia 在间接测量中，常遇到角度测量，以等形式出现。
3、sin,cos,tan,cot 以正弦三角函数 为例：三角函数的系统误差：12sin(,.,)nf x xx1212sin.nnfffxxxxxx对正弦函数微分：sincosdd sincosdd以系统误差代替微分量或sincos1212.nnfffyxxxxxx5代入即得正弦函数的角度系统误差公式为：1211211(.)coscosnniiniffffxxxxxxxx同理可得其他三角函数的角度系统误差公式：对于 ，角度系统误差为：12cos(,.,)nf x xx11sinniiifxx 对于 ，角度系统误差为：12tan(,.,)nf x xx对于 ，角度系统误差为：12cot(,.,)n
4、f x xx21cosniiifxx21sinniiifxx P56-57：例3-1；3-26二.函数随机误差计算 函数随机误差计算：就是研究函数 的标准差与各测量值 的标准差之间的关系。y12,x x.,nx函数一般形式：12(,.,)nyf x xx假设对各测量值皆进行 N 次等精度测量，其相应的随机误差为：对 ：对 ：对 ：1x2xnx11121,.,Nxxx21222,.,Nxxx12,.,nnnNxxx随机误差标准差取值的分散程度函数的随机误差取值的分散程度标准差以各测量值的随机误差x1,x2,.xn代替dx1,dx2,dxn只能得到函数的随机误差y,得不到y711121112.nn
5、fffyxxxxxx21222212.nnfffyxxxxxx1212.NNNnNnfffyxxxxxx则 的随机误差为：y将上式各方程平方后再相加得：222222212111211.(.)NNfyyyxxxx2222212222(.)Nfxxxx222212.(.)nnnNnfxxxx112()nNimjmijmijffxxxx 8将上式各项除以 N 得：1222222221112.2()nNimjmnmyxxxijnijxxfffffxxxxxN 定义：1NimjmmijxxKNijijijxxK 或ijijijxxK 可得：122222222112.2()nijnyxxxijxxijni
6、jfffffxxxxx 该式即为函数随机误差公式，其中 为第 个测量值和第 个 测量值之间的误差相关系数,为各测量值的误差传递系数。ijijifx9若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，有：0ij10NimjmmijxxKN则误差公式变为：12222222212.nyxxxnfffxxx1222222212.nyxxxnfffxxx令iifax1122222222.nnyxxxaaa（较常使用）122222222112.2()nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx 10 当各个测量值的随机误差为正态分布时，上式中的标准差用极限误差代替，得函数的极限误差公式：1222
7、2222lim1lim2limlim.nyxxnxaaa 通常 ，且函数形式较简单，即1ia 12.nyxxx则函数标准差为：12222.nyxxx函数的极限误差为：12222limlimlimlim.nyxxx 极限误差的定义：？1122222222.nnyxxxaaa 11 那么，三角函数的标准差公式？假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为12,.,nxxx可得相应的角度标准差公式。（1）对于 有：12sin(,.,),nf x xx12222222121.cosnxxxnfffxxx（2）对于 有：12cos(,.,),nf x xx12222222121.sinnxxxnfffx
8、xx1212222222212cos.nxxxnfffxxx12222222212sin.nxxxnfffxxx（4）对于 有：12cot(,.,),nf x xx（3）对于 有：12tan(,.,),nf x xx13三.误差间的相关关系和相关系数1.误差间的线性相关关系即线性依赖关系，有强弱之分。2.相关系数 当两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反映，所以在误差合成时，先求得相关系数再计算出相关项大小。由相关系数定义知：D 式中：误差间的协方差；两误差的标准差。D,14由概率论知：11 01当 时，正相关；10 当 时，负相关；当 时，完全正相关；1 当 时，完全负相关；1当
9、时，线性无关。0 注意：只能表示两误差间的线性关系的密切程度，当 很小甚至等于0时，两误差间不存在线性关系，但并不表示不存在其他函数关系。3.确定 的几种方法（1）直接判断法；根据误差可能有无联系、或联系强弱确定D 15 用多组测量的对应值 作图，并与图33（标准图）相比较，从而确定相关系数的近似值。(,)ii（3）简单计算法：将多组测量的对应值 在平面坐标上作图。(,)ii 1341cos()iinnn（2）观察法：16（5）理论计算法：有些误差的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求的。（4）直接计算法：根据定义22()()()()iiii 22()()(,)()()ikijkjkiji
10、kijkjkkxxxxx xxxxx17第二节 随机误差的合成 随机误差的合成：常采用标准差方和根的方法，同时要考虑各误差的传递系数和误差间的相关性影响。一.标准差的合成 设有q个单项随机误差，其标准差分别为 ，其相应的传递系数为 。根据方和根的运算方法，各标准差合成后的总标准差为：12,.,q 12,.,qa aa211()2qqiiijijijiijaa a 优点：简单方便，且不考虑各单项随机误差的概率分布。随机误差具有随机性，其取值不可预知，用测量的标准差或极限误差表征其取值的分散程度。18方和根法合成的总极限误差为：211()2qqiiijijijiijaa a 式中：各极限误差传递系
11、数；任意两误差间的相关系数。iaij 但一般情况下，各单项极限误差的置信概率可能不相同，不能按上式进行极限误差合成。应根据各单项误差的分布情况引入置信系数，先将误差转换为标准差，再按极限误差合成。二.极限误差的合成 若已知各单项极限误差为 ，且置信概率相同，则按12,.,q 19单项极限误差为：iiit 1,2,.,iq式中：个单项误差的标准差；各单项极限误差的置信系数。iit总的极限误差为：t 将总标准差公式代入上式得：211()2qqiiijijijiijtaa a 211()2qqjiiiijijiijiijata att t iiit 上式即为一般的极限误差合成公式。优点：具有明确的概
12、率意义。注意：公式中的各个置信系数不仅与置信概率有关，且与随机误差的分布有关。20 当各个单项随机误差均服从正态分布时，公式中的各置信系数完全相同，即：，则公式变为：12.qtttt211()2qqiiijijijiijaa a 一般情况下，则极限误差合成公式变为：0ij21()qiiia（较常使用）211()2qqjiiiijijiijiijata att t 21第三节 系统误差的合成 系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志。系统误差具有确定的变化规律。已定系统误差和未定系统误差。标准差标准差期望值期望值 均值均值 某次测得值某次测得值 奇异值奇异值 f x()_33+22一.已定系统误
13、差的合成误差大小与方向均已确切掌握了的系统误差。对于已定系统误差常按代数和代数和 的方法计算其合成误差。若在测量过程中，有r个单项已定系统误差，其误差值分别为 ，相应的误差传递系数为 ，则按代数和法合成的总的已定系统误差为：1,2,.,r12,.,ra aa 在实际测量中，已定系统误差应用修正值去消除。若由于某种原因未被消除，则应用代数和法合成。一般情况下，最后测量结果不应含有已定系统误差。1riiia23二.未定系统误差定义：未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，而未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围只能或只需估计出其不致超过某一极限范围
14、 的系统误差。的系统误差。ie1.未定系统误差的特征及其评定 未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而不具有抵偿性。所以利用算术平均值法不能减少它对测量结果的影响。这是它与随机误差的重要差别。但当测量条件改变时，由于未定系统误差的取值在某一极限范围内具有随机性，并服从一定的概率分布，这与随机误差相似，所以也可采用标准差或极限误差标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。24 对于某一单项未定系统误差，其概率分布取决于该误差源变化时所引起的系统误差的变化规律。现在对未定系统误差的概率分布均根据测量实际情况的分析和判断来确定的，并采用两种假设：一是按正态分布
15、处理，一是按均匀分布处理。对某一单项未定系统误差的极限范围是根据误差源具体情况的分析与判断而作出估计的。1.未定系统误差的特征及其评定表示符号：表示符号：极限误差：极限误差：e 标准差：标准差：u252.未定系统误差的合成（1）标准差的合成 设测量过程中有s个单项未定系统误差，其标准差分别为 其相应的传递系数为 ，合成后未定系统误差的的总标准差为：12,.,u u,su12,.,sa aa211()2ssiiijijijiijuaua a uu 当 时，有：0ij21()siiiuau26（2）极限误差的合成各单项未定系统误差的极限误差为：iiietu 1,2,.,is总的未定系统误差的极限误
16、差为：etu 可得：211()2ssiiijijijiijetaua a uu 或211()2ssji iiijijiijiijeaeeeta att t 当各单项未定系统误差均服从正态分布，且 时，上式可简化为：0ij21()si iieae 27第四节 系统误差与随机误差的合成测量过程中存在着不同性质的系统误差和随机误差将两种误差进行合成综合，用极限误差和标准差来表示一、按极限误差合成设有r个单项已定系统误差 s个单项未定系统误差 q个单项随机误差12,r 12,se ee12,q 22111qrsiiiiiiiietRtt 总ia假设误差传递系数 均为1，则总极限误差为：各个误差间协方差
17、之和28当各误差均服从正态分布，各个误差间互不关联，R=012itttt22111qrsiiiiiie 总对已定系统误差修正后：2211qsiiiie总对多次测量:随机误差 抵偿性 系统误差 固定不变22111qsiiiien 总292按标准差合成s个未定系统误差标准差q个单项随机误差标准差12,su uu12,q 误差传递系数均为1，且各个误差间协方差之和R为02211qsiiiiu对于多次重复测量：22111qsiiiiun只考虑未定系统误差与随机误差合成问题302按标准差合成312按标准差合成322按标准差合成332按标准差合成342按标准差合成352按标准差合成362按标准差合成37第
18、五节 误差分配单项误差 总误差总误差的允差 各个单项误差综合如：弓高弦长法测大直径D给定直径测量允许极限误差 ，求弓高h和弦长s的测量极限误差D,hs 已定系统误差通过修正方法消除，则只考虑未定系统误差和随机误差，且这两种误差分配时可同等看待，分配方法完全相同。38设误差因素皆为随机误差，且互不相关：2222221212222222112222212ynnnnnfffxxxaaaDDDiiiiifDax函数的部分误差iD22212ynDDD使得给定 ，则需确定yiD39一 按等作用原则分配误差12niDDDD22()yiiinDn a1yiian用极限误差表示为1iian22212ynDDD使
19、得给定 ，则需确定yiD402 各个部分误差一定，相应测量值误差与传递系数成反比，尽管各个部分误差相等，因传递系数不同而相应测量值误差并不等。二 按可能性调整误差因此必须根据具体情况进行调整 1 对难以实现测量的误差项，适当扩大 2 对容易实现测量的误差项，尽可能减小 3 其余误差项，不予调整1 有的测量值的测量误差不超出允许范围，难以满足要求，要保证测量精度，要用昂贵的高精度仪器，或者付出较大劳动。2222221212ynnfffxxx41二 按可能性调整误差42二 按可能性调整误差43二 按可能性调整误差44二 按可能性调整误差45第六节 微小误差取舍准则微小误差：测量过程包含多种误差，有
20、的误差对测量结果总误差影响较小，小到一定程度，计算测量结果总误差可不予考虑。2222221211ykkknDDDDDD取出部分误差kD222221211ykknDDDDD若 ，则 称为微小误差，可从总误差中舍去yykD已知测量结果的标准差为：46若舍去后满足 则对测量结果没影响 解得 (0.10.05)yyy(0.40.3)kyD取 13kyD对精密测量，取两位有效数字(0.01 0.005)yyy有110kyD原则：1.对于随机误差和未定系统误差，被舍去的误差必须小于或等于 测量结果的1/10-1/32.对于一定系统误差，被舍去的误差必须小于或等于 测量结果的1/100-1/1047第七节
21、最佳测量方案的确定 测量结果与多个测量因素有关，采用什么方法确定各个因素，使得测量结果的误差为最小，确定最佳测量方案。函数的标准差为2222221212ynnfffxxx使标准差为最小使标准差为最小，确定最佳测量方案，从以下两方面考虑：48间接测量中部分误差项数越少，函数误差越小则选取包含直接测量值最少的函数公式若不同函数公式包含直接测量个数相同则选取误差较小的直接测量值的函数公式如例38 直接测量数目相同（3个）的直接测量数目 （2个）的误差最小一 选择最佳函数误差公式49如例38 直接测量数目相同（3个）的直接测量数目 （2个）的误差最小一 选择最佳函数误差公式50一 选择最佳函数误差公式
22、51一 选择最佳函数误差公式52一 选择最佳函数误差公式53二 使误差传递系数等于零或为最小2222221212ynnfffxxx若 ，则 ，则测量值的误差 对函数没影响0ifx0iD i若 为最小，则减小 对函数误差的影响ifxiD54二 使误差传递系数等于零或为最小55二 使误差传递系数等于零或为最小56二 使误差传递系数等于零或为最小57若使 则s=0，无意义 使 尽可能小2h越大越好，s接近直径102sah2sh若使 满足s=2h,即测量直径，使得 不影响直径的精度，函数误差相应减小。222104sah h222222124Dshsshh如用弓高弦长法测直径D 直径误差公式为：224sDhh58作业：3-8，3-10，3-11
