1、 1 专题专题 一元一次方程一元一次方程章末重难点题型章末重难点题型 【考点考点 1 一元一次方程的定义】一元一次方程的定义】 【方法点拨】【方法点拨】一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式一元指方程仅含有一个未知数，一次指 未知数的次数为 1，且未知数的系数不为 0 【例 1】（2020 春巴州区校级期中）下列方程中：2x+46，x1= 1 ，3x 22x，5x7，3x 2y2，x3，其中是一元一次方程的有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【分析】利用一元一次方程定义进行解答即可 【解答】解：2x+46 是一元一次方程； x1= 1 是分式方程； 3x22x 不是方程，是
2、代数式； 5x7 是一元一次不等式； 2 3x2y2 是二元一次方程； x3 是一元一次方程； 一元一次方程共 2 个， 故选：D 【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式一元 指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为 1，且未知数的系数不为 0 【变式 1-1】（2020 春蓬溪县期末）下列方程：yx7；2x2x6；2 3m5m； 2 ;1 =1； ;3 2 =1，6x0，其中是一元一次方程的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可 【解答】解：一元一次方程有2 3m5m， ;3 2 =1，6
3、x0，共 3 个， 故选：B 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义的内容是解此题的关键 【变式 1-2】 （2020 春贵阳月考）已知方程（m2）x|m| 1+70 是关于 x 的一元一次方程，则 m 【分析】利用一元一次方程的定义得出关于 m 的方程，求出即可 【解答】解：方程（m2）x|m| 1+70 是关于 x 的一元一次方程， m20 且|m|11， 解得 m2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义以及绝对值的意义，正确列出关于 m 的方程是解题关键 【变式 1-3】（2020 春唐河县期末）方程（a+2）x2+5xm 323 是一元一次方程
4、，则 a+m 【分析】根据一元一次方程的定义，分别得到关于 a 和关于 m 的一元一次方程，解之，代入 a+m，计算 求值即可 【解答】解：根据题意得： a+20， 解得：a2， m31， 解得：m4， 3 a+m2+42， 故答案为：2 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键 【考点考点 2 等式性质的应用】等式性质的应用】 【方法点拨】【方法点拨】等式的性质： 等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等； 等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等. 【例 2】 （2019 秋无为县期末）宁宁同学拿了一
5、个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同， 每颗糖果的质量都相同）做了一下试验第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡； 第二次，左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放 10 克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右 盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（ ） A左盘上加 2 克砝码 B右盘上加 2 克砝码 C左盘上加 5 克砝码 D右盘上加 5 克砝码 【分析】根据第一个等式，可得 1 饼干与糖果的关系，根据第二个等式，可得 1 糖果的质量，1 饼干的 质量，再根据等式的性质，可得答案 【解答】解：2 饼干3 糖果， 1 饼干1.5 糖果， 1 饼干+1 糖果
6、10 砝码， 把 1 饼干1.5 糖果代入，得 1.5 糖果+1 糖果10 砝码， 1 糖果4 砝码， 1 饼干1.5 糖果1.546 砝码， 4 砝码+2 砝码6 砝码， 1 糖果+2 砝码1 饼干， 故选：A 【点评】本题考查了等式的性质解题的关键是掌握等式的性质，先分别求出 1 饼干 1 糖果的质量，再 根据等式的性质，可得答案 【变式 2-1】（2019 秋新泰市期末）下列判断错误的是（ ） A如果 ab，那么 acdbcd 4 B如果 ab，那么 2:1 = 2:1 C如果 x3，那么 x23x D如果 axbx，那么 ab 【分析】根据等式的性质一一判断即可 【解答】解：A、如果
7、ab，那么 acdbcd，正确，故选项不符合题意； B、如果 ab，那么 2:1 = 2:1，正确，故选项不符合题意； C、如果 x3，那么 x23x，正确，故选项不符合题意； D、当 x0 时，不一定成立，故选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查等式的性质，记住：性质 1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质 2、 等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式 【变式 2-2】（2020 春射洪市期末）设，分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持 平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（ ） A B C D 【分析】根据第一个天平可得 2+，根据
8、第二个天平可得+，可得出答案 【解答】解：根据图示可得： 2+， +， 由可得2，3， 则+52+3 故选：A 【点评】本题考查了等式的性质，根据图示得出、的数量关系是解题的关键 【变式 2-3】（2020永年区一模）设“、”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2）所示， 天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“”的个数为（ ） 5 A6 个 B5 个 C4 个 D3 个 【分析】首先根据图示可知，2+（1），+（2），据此判断出、与的关系，然 后判断出结果 【解答】解：根据图示可得， 2+（1）， +（2）， 由（1），（2）可得， 2，3， +2+35，
9、故选：B 【点评】此题主要考查了等量代换问题，判断出、与的关系是解答此题的关键 【考点考点 3 一元一次方程的解】一元一次方程的解】 【方法点拨】【方法点拨】一元一次方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能 代入”。 【例 3】（2020 春仁寿县期中）已知 x1 是方程(;2) 2 :3 6 = 4 3k 的解，则 k 的值是（ ） A4 B 1 4 C1 4 D4 【分析】把 x1 代入方程，即可得出一个关于 k 的一元一次方程，求解即可 【解答】解：把 x1 代入方程得： 1 2k +3 6 = 4 3k， 去分母得：4k38k， 解得：k= 1 4 故选
10、：B 【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，属于基础知识的考查，比较简单 【变式 3-1】（2019 秋仁怀市期末）若 x1 是方程2mx+n10 的解，则 2019+n2m 的值为（ ） A2018 B2019 C2020 D2019 或 2020 【分析】把 x1 代入方程求出 2mn 的值，原式变形后代入计算即可求出值 6 【解答】解：把 x1 代入方程得：2m+n10， 整理得：2mn1， 则原式2019+n2m 2019（2mn） 2019（1） 2019+1 2020， 故选：C 【点评】此题考查了一元一次方程的解，利用了整体代入的思想，方程的解即为能使方程左右两边相
11、等 的未知数的值 【变式 3-2】已知方程 3x32x 的解为 a+2，求关于 x 的方程 3x2（xa）3a 的解 【分析】根据方程 3x32x 的解为 a+2，求出 a 的值，再把 a 的值代入方程 3x2（xa）3a，求解 即可 【解答】解：方程 3x32x 的解为 a+2， 3（a+2）32（a+2）， 解得，a1， 当 a1 时，方程 3x2（xa）3a 可变为 3x2（x1）3， 解得 x1， 答：关于 x 的方程 3x2（xa）3a 的解为 x1 【点评】本题考查一次方程（组）的应用，理解方程解的意义是正确解答的前提，代入是常用的方法 【变式 3-3】（2020 春方城县期中）小
12、明解方程2;6 5 +1= + 2 时，由于粗心大意，在去分母时，方程左 边的 1 没有乘以 10，由此得到方程的解为 x1，试求 a 的值，并正确地求出原方程的解 【分析】 将错就错去分母， 把 x1 代入计算求出 a 的值， 把 a 的值代入方程计算， 求出正确的解即可 【解答】解：按方程左边的 1 没有乘以 10，去分母得：2（2x6）+15（x+a）， 把 x1 代入得：2（8）+15+5a， 解得：a2， 把 a2 代入原方程，得2;6 5 +1= 2 2 ， 去分母得：2（2x6）+105（x2）， 7 去括号得：4x12+105x10， 移项合并得：x8， 解得：x8， 答：a
13、的值是2，原方程的解为 x8 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值 【考点考点 4 解一元一次方程】解一元一次方程】 【方法点拨】【方法点拨】解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点， 灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向 x=a 形式转化 【例 4】（2020 春内乡县期中）解方程： （1）3（2x+5）2（4x+3）+1； （2）;3 2 2:1 3 =1 【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项
14、，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出解 【解答】解：（1）去括号得：6x+158x+6+1， 移项得：6x8x6+115， 合并得：2x8， 解得：x4； （2）去分母得：3（x3）2（2x+1）6， 去括号得：3x94x26， 移项得：3x4x6+9+2， 合并得：x17， 解得：x17 【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键 【变式 4-1】（2020 秋南岗区校级月考）解方程： （1）2;1 3 :5 6 =2x+1； （2）1 3x 1 2（x1）= 2 3（x2） 【分析】（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出
15、解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出解 8 【解答】解：（1）去分母得：2（2x1）（x+5）12x+6， 去括号得：4x2x512x+6， 移项合并得：9x13， 解得：x= 13 9 ； （2）去括号得：1 3x 1 6（x1）= 2 3（x2）， 去分母得：2x（x1）4（x2）， 去括号得：2xx+14x8， 移项合并得：3x9， 解得：x3 【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键 【变式 4-2】（2019 秋潍坊期末）解方程 （1）（x4） (4)1 2 =3 (4)+2 3 （2）;0.2 0.4 0.37:
16、1 0.2 =1 【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解 【解答】解：（1）去分母得：6（x4）3（x5）182（x2）， 去括号得：6x243x+15182x+4， 移项合并得：5x31， 解得：x6.2； （2）方程整理得：10;2 4 37:100 20 =1， 去分母得：50 x1037x10020， 移项合并得：13x130， 解得：x10 【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【变式 4-3】（2019 秋嘉祥县期末）解方程： （1）1
17、5（3x1）2= 1 10（3x+2） 1 2（2x3）； （2）0.3;0.5 0.3 +1.5= 0.5+0.4 0.6 9 【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解 【解答】解：（1）去分母得：2（3x1）20（3x+2）5（2x3）， 去括号得：6x2203x+210 x+15， 移项合并得：13x39， 解得：x3； （2）方程整理得：3;5 3 +1.5= 4+5 6 ， 去分母得：6x10+94x+5， 移项合并得：2x6， 解得：x3 【点评】此题考查了解一元一次
18、方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【考点考点 5 同解方程】同解方程】 【方法点拨】【方法点拨】如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个 方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 【例 5】（2020 春太仓市期中）如果关于 x 的方程 4x2m3x+2 和 x2x3 的解相同，那么 m 【分析】先求出方程 x2x3 的解，再把方程的解代入方程 4x2m3x+2 中，求出 m 【解答】解：方程 x2x3 的解为 x3， 方程 4x2m3x+2 和 x2x3 的解相同， 方程 4x2m3x+2 的解为 x3， 当 x3 时，122m9+2， 解得
19、 m= 1 2 故答案为：1 2 【点评】本题考查了一元一次方程的解法及方程的同解的含义理解同解方程是解决本题的关键 【变式 5-1】（2019 秋路南区期中）已知，关于 x 的方程 2（x1）+3x 与 3（x+m）m1 有相同的解， 则以 y 为未知数的方程1 2y 2 3y+m6y 的解为（ ） A5 B6 C5 D6 【分析】根据方程 1 可直接求出 x 的值，代入方程 2 可求出 m，把所求 m 和 x 代入方程 3，可得到关于 y 的一元一次方程，解答即可 10 【解答】解：解方程 2（x1）+3x 得：x1 将 x1 代入 3（x+m）m1 得：3（1+m）m1 解得：m1 将
20、m1 代入1 2y 2 3y+m6y，得 1 2y 2 3y+16y 解得 y6 故选：B 【点评】考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于 x 的方程，根据同解的定义建立方程 【变式 5-2】（2019 秋东湖区期末）已知关于 x 的方程 3x2（x 3）4x 和 3: 4 1;5 8 =1 有相同的 解，求这个解 【分析】根据题意分别用含 a 的式子表示出两个方程的解，再求出 a 的值，进而可得结果 【解答】解：因为关于 x 的方程 3x2（x 3）4x 和 3: 4 1;5 8 =1 有相同的解， 所以 3x2（x 3）4x 的解为： x= 2 7 ， 3: 4 1;5 8 =1 的
21、解为： x= 92 11 ， 所以2 7 = 9;2 11 ， 解得 a= 7 4， 将 a= 7 4代入第二个方程， 2（3x+a）（15x）8， 11x92a， 11x92 7 4， 解得 x= 1 2 【点评】本题考查了同解方程，解决本题的关键是根据题意先求出 a 的值 11 【变式 5-3】（2019 秋开福区校级期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程例如：方程：2x6 与 方程 4x12 的解都为 x3，所以它们为同解方程 （1）若方程 2x311 与关于 x 的方程 4x+53k 是同解方程，求 k 的值； （2）若关于 x 的方程 3x2（x 3）4x 和 3: 12 1;5
22、8 =1 是同解方程，求 k 的值； （3）若关于 x 的方程 2x3ab2和 4x+a+b23 是同解方程，求 14a2+6ab2+8a+6b2的值 【分析】（1）根据方程 2x311 与关于 x 的方程 4x+53k 是同解方程，即可求出 k 的值； （2）根据方程 3x2（x 3）4x 和 3: 12 1;5 8 =1 是同解方程，用含 k 的式子表示 x，即可求 k 的值； （3）根据方程 2x3ab2和 4x+a+b23 是同解方程，利用整体思想将得出的 7a+3b23，代入到 14a2+6ab2+8a+6b2即可求值 【解答】解：（1）方程 2x311 与关于 x 的方程 4x+5
23、3k 是同解方程， 2x311，解得 x7， 把 x7 代入方程 4x+53k，解得 k11， 所以 k 的值为 11； （2）方程 3x2（x 3）4x 和 3: 12 1;5 8 =1 是同解方程， 3x2（x 3）4x 解得，x= 2 7 ， 3: 12 1;5 8 =1 解得，x= 1 21（272k）， 2 7 = 1 21（272k）， 解得 k= 27 8 ； 所以 k 的值为27 8 ； （3）方程 2x3ab2和 4x+a+b23 是同解方程， 2x3ab2即 4x6a2b2， 4x6a+2b2， 4x+a+b23， 6a+2b2+a+b23， 即 7a+3b23， 12 1
24、4a2+6ab2+8a+6b2 2a（7a+3b2）+7a+3b2+a+3b2 6a+3+a+3b2 7a+3b2+3 3+3 6 所以 14a2+6ab2+8a+6b2的值为 6 【点评】本题考查了同解方程，解决本题的关键是理解题意进行准确计算 【考点考点 6 解含绝对值的一元一次方程】解含绝对值的一元一次方程】 【例 6】 （2020 春南召县月考） 若关于 x 的方程 x+22 （mx） 的解满足方程|x 1 2|1， 则 m 的值是 （ ） A1 4或 13 4 B1 4 C5 4 D 1 2或 5 4 【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情
25、况讨论， 即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解 【解答】解：因为方程|x 1 2|1， 所以 x 1 2 =1， 解得 x= 3 2或 x= 1 2， 因为关于 x 的方程 x+22（mx）的解满足方程|x 1 2|1， 所以解方程 x+22（mx）得， m= 3+2 2 ， 当 x= 3 2时，m= 13 4 ， 当 x= 1 2时，m= 1 4 所以 m 的值为：13 4 或1 4 故选：A 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程 要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论 【变式 6-1】（2019 秋孝南区期末
26、）根据绝对值定义，若有|x|4，则 x4 或4，若|y|a，则 ya， 13 我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|5 解：方程|2x+4|5 可化为： 2x+45 或 2x+45 当 2x+45 时，则有：2x1，所从 x= 1 2 当 2x+45 时，则有：2x9；所以 x= 9 2 故，方程|2x+4|5 的解为 x= 1 2或 x= 9 2 （1）解方程：|3x2|4； （2）已知|a+b+4|16，求|a+b|的值； （3）在（2）的条件下，若 a，b 都是整数，则 ab 的最大值是 （直接写结果，不需要过程） 【分析】（1）解方程：|3x2|4； （2）
27、已知|a+b+4|16，求|a+b|的值； （3）在（2）的条件下，若 a，b 都是整数，则 ab 的最大值是 【解答】解：（1）解方程：|3x2|4 3x24 或 3x24 解得 x2 或 x= 2 3， 故方程|3x2|4 的解为 x2，x= 2 3； （2）已知|a+b+4|16， a+b+416 或 a+b+416 解得 a+b12 或 a+b20 所以|a+b|12 或 20， 答：|a+b|的值为 12 或 20； （3）在（2）的条件下，若 a，b 都是整数， a+b12 或 a+b20， 根据有理数乘法法则可知： 当 a10，b10 时， ab 取得最大值，最大值为 100 答
28、：ab 的最大值是 100 14 故答案为 100 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义 【变式 6-2】（2020 春襄汾县期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3） 例：解绝对值方程：|2x|1 解：讨论：当 x0 时，原方程可化为 2x1，它的解是 x= 1 2 当 x0 时，原方程可化为2x1，它的解是 x= 1 2 原方程的解为 x= 1 2和 1 2 问题（1）：依例题的解法，方程|1 2x|2 的解是 ； 问题（2）：尝试解绝对值方程：2|x2|6； 问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：|x2|
29、+|x1|5 【分析】（1）分为两种情况：当 x0 时，当 x0 时，去掉绝对值符号后求出即可 （2）分为两种情况：当 x20 时，当 x20 时，去掉绝对值符号后求出即可 （3）分为三种情况：当 x20，即 x2 时，当 x10，即 x1 时，当 1x2 时，去掉绝 对值符号后求出即可 【解答】解：（1）|1 2x|2， 当 x0 时，原方程可化为1 2x2，它的解是 x4； 当 x0 时，原方程可化为 1 2x2，它的解是 x4； 原方程的解为 x4 和4， 故答案为：x4 和4 （2）2|x2|6， 当 x20 时，原方程可化为 2（x2）6，它的解是 x5； 当 x20 时，原方程可化
30、为2（x2）6，它的解是 x1； 原方程的解为 x5 和1 （3）|x2|+|x1|5， 当 x20，即 x2 时，原方程可化为 x2+x15，它的解是 x4； 当 x10，即 x1 时，原方程可化为 2x+1x5，它的解是 x1； 当 1x2 时，原方程可化为 2x+x15，此时方程无解； 15 原方程的解为 x4 和1 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思 想 【变式 6-3】（2020 春重庆期末）阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数 x 对应的点与原点的距离；即|x|x0|；这个结论可以推广为|x1 x2|表示在数轴
31、上数 x1，x2对应点之间的距离绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用： 例 1：解方程|x|4 容易得出，在数轴上与原点距离为 4 的点对应的数为4，即该方程的 x4； 例 2：解方程|x+1|+|x2|5 由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与1 和 2 的距离之和为 5 的点对应的 x 的值在数 轴上，1 和 2 的距离为 3，满足方程的 x 对应的点在 2 的右边或在1 的左边若 x 对应的点在 2 的右 边，如图 1 可以看出 x3；同理，若 x 对应点在1 的左边，可得 x2所以原方程的解是 x3 或 x 2 例 3：解不等式|x1|3 在数轴上找出|x1|3 的解，即到
32、1 的距离为 3 的点对应的数为2，4，如图 2，在2 的左边或在 4 的右边的 x 值就满足|x1|3，所以|x1|3 的解为 x2 或 x4 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x+3|5 的解为 ； （2）方程|x2017|+|x+1|2020 的解为 ； （3）若|x+4|+|x3|11，求 x 的取值范围 【分析】（1）根据例 1 的方法，求出方程的解即可； （2）根据例 2 的方法，求出方程的解即可； （3）根据例 3 的方法，求出 x 的范围即可 【解答】解：（1）方程|x+3|5 的解为 x2 或 x8； 故答案为：x2 或 x8； （2）方程|x2017|+|x+1|2
33、020 的解为 x2 或 x2018； 16 故答案为：x2 或 x2018； （3）|x+4|+|x3|表示的几何意义是在数轴上分别与4 和 3 的点的距离之和， 而4 与 3 之间的距离为 7，当 x 在4 和 3 时之间，不存在 x，使|x+4|+|x3|11 成立， 当 x 在 3 的右边时，如图所示，易知当 x5 时，满足|x+4|+|x3|11， 当 x 在4 的左边时，如图所示，易知当 x6 时，满足|x+4|+|x3|11， 所以 x 的取值范围是 x5 或 x6 【点评】此题考查了含绝对值的一元一次方程，弄清题意是解本题的关键 【考点考点 7 与一元一次方程有关的新定义问题】
34、与一元一次方程有关的新定义问题】 【例 7】（2019 秋抚州期末）我们规定，若关于 x 的一元一次方程 axb 的解为 xba，则称该方程为 “差解方程”例如：2x4 的解为 x2，且 242，则该方程 2x4 是差解方程 （1）判断：方程 3x4.5 差解方程（填“是”或“不是”） （2）若关于 x 的一元一次方程 4xm+3 是差解方程，求 m 的值 【分析】（1）检验方程的解是否是常数项与未知数的之差，进而进行判断便可； （2）先解含已知字母方程得出方程的解，再根据差解方程的定义列出关于 m 的方程，进行解答便可 【解答】解：（1）方程 3x4.5 的解为 x1.54.53， 方程 3
35、x4.5 是差解方程， 故答案为：是； （2）方程 4xm+3 的解是 x= +3 4 ， 又方程 4xm+3 是差解方程， :3 4 =m+34， m= 7 3 【点评】本题是一个新定义题，主要考查了新定义，一元一次方程的解法与应用，关键是根据新定义， 把题目转化为常规题进行解答 【变式 7-1】（2020 春长春期末）我们规定，若关于 x 的一元一次方程 axb 的解为 a+b，则称该方程为 “合并式方程”，例如：3x= 9 2的解为 3 2，且 3 2 = 3 9 2，则该方程 3x= 9 2是合并式方程 17 （1）判断1 2x1 是否是合并式方程并说明理由； （2）若关于 x 的一元
36、一次方程 5xm+1 是合并式方程，求 m 的值 【分析】（1）求出方程的解，再根据合并式方程的意义得出即可； （2）根据合并式方程得出关于 m 的方程，求出方程的解即可 【解答】解：（1）1 2x1， x2， 1 2 +12， 1 2x1 不是合并式方程； （2）关于 x 的一元一次方程 5xm+1 是合并式方程， 5+m+1= +1 5 ， 解得：m= 29 4 故 m 的值为 29 4 【点评】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解合并式方程的意义是解此题的关键 【变式 7-2】（2019 秋新昌县期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个 方程的解，则称这个方
37、程为妙解方程例如：方程 2x+40 中，242，方程的解为 x2，则方 程 2x+40 为妙解方程请根据上述定义解答下列问题： （1）方程 2x+30 是妙解方程吗？试说明理由 （2）已知关于 x 的一元一次方程 3x+m0 是妙解方程求 m 的值 （3）已知关于 x 的一元一次方程 2x+ab0 是妙解方程，并且它的解是 xb求代数式 ab 的值 【分析】（1）根据题中的新定义判断即可； （2）利用题中的新定义确定出 m 的值即可； （3）根据题中的新定义确定出 a 与 b 的值，即可求出所求 【解答】解：（1）方程 2x+30 中，一次项系数与常数项的差为：231， 方程的解为 x1.5，
38、 11.5， 方程 2x+30 不是妙解方程； 18 （2）3x+m0 是妙解方程， 它的解是 x3m， 3（3m）+m0， 解得：m4.5； （3）2x+ab0 是妙解方程， 它的解是 x2（ab）， 2（ab）b， 解得：a2， 代入方程得：2b+2b0，得 b2 ab4 【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键 【变式 7-3】（2020 秋如东县期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程 为“兄弟方程” 如方程 2x4 和 3x+60 为“兄弟方程” （1）若关于 x 的方程 5x+m0 与方程 2x4x+1 是“兄弟方程”，求 m 的
39、值； （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为 8，其中一个解为 n，求 n 的值； （3）若关于 x 的方程 2x+3m20 和 3x5m+40 是“兄弟方程”，求这两个方程的解 【分析】（1）根据新定义运算法则解答； （2）根据“兄弟方程”的定义和已知条件得到：n（n）8 或nn8，解方程即可； （3）求得方程 2x+3m20 和 3x5m+40 解，然后由“兄弟方程”的定义解答 【解答】解：（1）方程 2x4x+1 的解为 x5， 将 x5 代入方程 5x+m0 得 m25； （2）另一解为n 则 n（n）8 或nn8， n4 或 n4； （3）方程 2x+3m20 的解为 = 3+2 2
40、 ， 方程 3x5m+40 的解为 = 54 3 ， 19 则;3:2 2 + 5;4 3 = 0， 解得 m2 所以，两解分别为2 和 2 【点评】考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义 【考点考点 8 一元一次方程的应用（数字问题）】一元一次方程的应用（数字问题）】 【例 8】（2020 秋大渡口区月考）一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与 个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小 27，求这个两位数 【分析】设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为 2x，原两位数为（102x+x），十位数字与个位 数字对调后的数为（10 x+2x）
41、，根据原数比十位数字与个位数字对调后得到的两位数大 27，即可得出关 于 x 的一元一次方程，解之即可得出 x 的值，再将其代入（102x+x）中即可求出结论 【解答】解：设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为 2x，原两位数为（102x+x），十位数字与 个位数字对调后的数为（10 x+2x）， 依题意，得：（102x+x）（10 x+2x）27， 解得：x3， 2x6， 102x+x63 答：这个两位数为 63 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 【变式 8-1】（2020 秋福田区期末）一个三位数，十位数字是 0，个位数字是百位数字的
42、 2 倍，如果将这 个三位数的个位数字与百位数字调换位置得到一个新的三位数，则这个新的三位数比原三位数的 2 倍少 9，设原三位数的百位数字是 x： （1）原三位数可表示为 ，新三位数可表示为 ； （2）列方程求解原三位数 【分析】（1）设原三位数的百位数字是 x，则个位数字是 2x，根据三位数百位上的数字100+十位上 的数字10+个位上的数字即可表示出原三位数；根据题意得出新的三位数的个位数字是 x，百位数字是 2x，进而表示出新三位数； （2）根据新的三位数比原三位数的 2 倍少 9 列出方程，求解即可 【解答】解：（1）设原三位数的百位数字是 x，则个位数字是 2x， 又十位数字是 0
43、， 20 原三位数可表示为 100 x+2x102x 新的三位数的个位数字是 x，百位数字是 2x，十位数字是 0， 新三位数可表示为 1002x+x201x 故答案为 102x，201x； （2）由题意，得 201x2102x9， 解得 x3 则 1023306 答：原三位数为 306 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，掌握三位数的表示方法是解题的关键 【变式 8-2】（2019 秋崇川区校级期末）小明参加启秀期末考试时的考场座位号是由四个数字组成的，这 四个数字组成的四位数有如下特征： （1）它的千位数字为 2； （2）把千位上的数字 2 向右移动，使其成为个位数字，那么所得
44、的新数比原数的 2 倍少 1478，求小明 的考场座位号 【分析】根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得原来的数，本题得以解决 【解答】解：设原来数字为 x， 2x1478（x2000）10+2 解得，x2315 答：小明的考场号是 2315 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相 应的方程 【变式 8-3】一个五位数，左边三位数是右边两位数的 5 倍，如果把右边二位数移到前面，则新的五位数比 原五位数的 2 倍多 75，求原来的五位数（用方程解） 【分析】可设右边两位数是 x，则左边三位数是 5x，根据等量关系：如果把右边二位数
45、移到前面，则新 的五位数比原五位数的 2 倍多 75，列出方程求解即可 【解答】解：设右边两位数是 x，则左边三位数是 5x，依题意有 1000 x+5x2（500 x+x）+75， 解得 x25， 21 5x125， 故原来的五位数是 12525 【点评】考查了一元一次方程的应用，此题关键是掌握数的表示方法，把右边二位数移到前面，相当于 把两位数扩大了 1000 倍 【考点考点 9 一元一次方程的应用（年龄问题）】一元一次方程的应用（年龄问题）】 【例 9】（2019 秋余杭区期末）今年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，5 年前父亲的年龄比儿子年龄的 4 倍 还大 1 岁，设今年儿子 x 岁，
46、则可列方程为（ ） A4x+1+53（x+5） B3x54（x5）+1 C3x+54（x+5）+1 D4x53（x5）+1 【分析】设今年儿子 x 岁，根据五年前父亲的年龄不变，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解 【解答】解：设今年儿子 x 岁， 依题意，得：3x54（x5）+1 故选：B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的 关键 【变式 9-1】（2019 秋咸丰县期末）爷爷快到八十大寿了，小莉想在日历上把这一天圈起来，但不知道是 哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑笑说：“在日历上，那一天的上下左右 4 个日期的和正好等于那天爷 爷
47、的年龄”那么小莉的爷爷的生日是在（ ） A16 号 B18 号 C20 号 D22 号 【分析】要求小莉的爷爷的生日，就要明确日历上“上下左右 4 个日期”的排布方法依此列方程求解 【解答】解：设那一天是 x，则左日期x1，右日期x+1，上日期x7，下日期x+7， 依题意得 x1+x+1+x7+x+780 解得：x20 故选：C 【点评】此题关键是弄准日历的规律，知道左右上下的规律，然后依此列方程 【变式 9-2】（2020 春蓬溪县期末）今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一，小李发现：12 年之后，他 的年龄变成爷爷的年龄三分之一求小李爷爷今年的年龄 【分析】设爷爷今年的年龄是 x 岁，则今年小李的年龄是1 5x 岁，根据 12 年之后小李的年龄变成爷爷的 年龄三分之一，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论 22 【解答】解：设爷爷今年的年龄是 x 岁，则今年小李的年龄是1 5x 岁， 依题意，得：1 5x+12= 1 3（x+12）， 解得：x60 答：爷爷今年 60 岁 【点评】本题考查了一元一
