1、 4-0 引言引言1 求解导热问题的三种基本方法：求解导热问题的三种基本方法：(1)理论分析法；理论分析法；(2)数值计算数值计算 法；法；(3)实验法实验法 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；的解称之为分析解，或叫理论解；数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建
2、立起来的关于这些值的代数方程，从而获得定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值，并称之为数值解；离散点上被求物理量的值，并称之为数值解；实验法。实验法。就是在传热学基本理论的指导下，采用对就是在传热学基本理论的指导下，采用对所所 研究对象的传热过程进行实验求量的方法；研究对象的传热过程进行实验求量的方法；2 三种方法的特点三种方法的特点 (1)分析法分析法 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；算提供比较依据；局限性很大，对复杂的问题无法求解；局限性很大，对复杂的问题无法求解；分析解具有普遍性，各种情
3、况的影响清晰可见分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 (2)数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点。数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点。适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低；与实验法相比成本低；(3)实验法实验法:是传热学的基本研究方法。是传热学的基本研究方法。适应性不好；适应性不好；费用昂贵；费用昂贵；常用的数值解法包括：常用的数值解法包括：有限差分法（有限差分法（finite-difference）、）、有限元法（有限元法（finite-element）、边界元法（边界元法（boundary-element）、）、分子动
4、力学模拟（分子动力学模拟（MD）4-1 导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立及内部节点离散方程的建立1建立控制方程及定解条件2确定节点（区域离散化）3建立节点物理量的代数方程4设立温度场的迭代初值5求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初场是否物理问题的数值求解过程物理问题的数值求解过程0tyf3thf2thf1thx二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题2 例题条件例题条件xyxynm(m,n)MN3 3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步
5、长二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题4 4 建立离散方程的常用方法：建立离散方程的常用方法：(1)(1)TaylorTaylor（泰勒）级数展开法（泰勒）级数展开法；(2)(2)多项式拟合法；多项式拟合法；(3)(3)控制容积积分法；控制容积积分法；(4)(4)控制容积平衡法控制容积平衡法(也称为也称为热平衡法热平衡法)（1）TaylorTaylor（泰勒）级数展开法（泰勒）级数展开法若取上面式右边的前三项，并将式若取上面式右边的前三项，并将式和式和式相加相加移项整理即得二阶导数的中心差分：移项整理即得二阶导数的中心差分：同理可得：同理可得：)
6、(222,1,1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm截断误差截断误差未明确写出的级数余项未明确写出的级数余项中的中的X X的最低阶数为的最低阶数为2 2 对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：微分方程为：其节点方程为：其节点方程为：0ytxtv22220ytt 2txtt 2tj,i,v21j,ij,i1j,i2j,1ij,ij,1i(2)控制容积平衡法控制容积平衡法(热平衡法热平衡法)基本思想：基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，
7、从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和恒和Fourier导热定律即可。导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热成热 流出控制体的总热流量控制体内能的量流出控制体的总热流量控制体内能的量即：即：单位：单位：oviWvoi)(ovi即：从所有方向流入控制体的总热流量即：从所有方向流入控制体的总热流量 控制体内热源生成热控制体内热源生成热 控制体内能的增量控制体内能的增量注意：上面的公式
8、对内部节点和边界节点均适用注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用01,1,1,1nmnmnmnm稳态、无内热源时：稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热流量从所有方向流入控制体的总热流量0内部节点：内部节点：0右左下上(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)x x y y(m,n+1)此时：此时：0v右左下上xtyxtAdddd左1,mnm nttdttdxxx0limxdttdxx 注意：各项热流量都以导入元体（注意：各项热流量都以导入元体（m,n）的方向为正。）的方向为正。用差分代替微分用差分代替微分，有，有（）xttyxtynmnm,1dd左节点越多，节点越多
9、，越小，越小，越接近越接近 。xttynmnm,1右yttxnmnm,1,上yttxnmnm,1,下内热源：内热源：yxVv1,mnm nttxdtdxx(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)x x y y(m,n+1)二维导热区域为单位厚度二维导热区域为单位厚度0v右左下上0,1,1,1,1yxyttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnmyx时：时：042,1,1,1,1xtttttnmnmnmnmnmxtttttnmnmnmnmnm21,1,1,1,4xtttttnmnmnmnmnm21,1,1,1,4若无内热源，则由上式若无内热源，则由上式可得：可
10、得：1,1,1,1,4nmnmnmnmnmttttt说明：所求节点的温度前的系数等于其他所有说明：所求节点的温度前的系数等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但不包括热流于边界节点。但不包括热流(或热流密度或热流密度)前的前的系数。系数。4-2 4-2 边界节点离散方程的建立及代数边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解方程的求解对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散
11、方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。能求解。为了求解方便，我们将第二类边界条件及第三类边界条件为了求解方便，我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表示边界上的热流密度或热流密度表达式
12、。用表达式。用表示内热源强度。表示内热源强度。1.1.边界节点离散方程的建立：边界节点离散方程的建立：qwxyqw(1)平直边界上的节点平直边界上的节点2,1,1,1,224xttqxttnmnmnmwnmnm0222,1,1,1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyx(2)外部角点外部角点2222,1,1,xqxtttnmwnmnmnm0222222,1,1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmyxxyqw(3)内部角点内部角点)22322(6122,11,1,1,wnmnmnmnmnmqxxttttt0432222,1,1,1,1yxqxyttxyt
13、txqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnmyxxyqwQ Qw w 的情况：的情况：(1)(1)第二类边界条件：将第二类边界条件：将 ，带入上面各式即可，带入上面各式即可 （绝热或对称边界条件）？绝热或对称边界条件）？(2)(2)第三类边界条件：将第三类边界条件：将 ，带入上面各式即可带入上面各式即可 constqw)(,nmfwtthq作业：作业：（1 1）将）将 带入外部角点的温度离带入外部角点的温度离散方程，并化简到最后的形式散方程，并化简到最后的形式（2 2）(4-6)(4-6)；(4-9)(4-9)(,nmfwtthq(3)辐射边界条件：辐射边界条件：)(4,4nmfwTTqconstqw
