1、4.2 分离对称性，宇称或空间反演 n上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如宇称，晶格平移和时间反演。n宇称或空间反演操作将r变为-r，而右手坐标系变为左手坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不是坐标系的变换。对称操作的两种等价方式：主动与被动一、宇称算符的基本性质n对|，用幺正算符表示宇称算符，|。n 要求位置算符的期望值变号，即n则有n位置本征态|x在宇称作用下变为本征值为-x的态：n故n由于用作用两次体系必恢复原状，故2=1n=-1=+，是厄米的。n对的本征态|,因|=2|，知=1
2、xx 0 xxxxx 或，即 与 反对易xxx xx(x)iixe-xe1.,通常取二、算符在宇称操作下的变换n由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：n有n或p,=0.该关系与p=dx/dt的预期相同。n对轨道角动量L=xxp，可预期L,=0.n对一般角动量，考虑到R(宇称)=-I，宇称和转动操作对易，故量子力学中的相应幺正算符也对易：D(R)=D(R),J=0.,)xd(T)xd(Tip dxip dx(1)1,pp 三、矢量和赝矢量n在转动下x和J以相同方式变换，两者都是矢量，或一阶球张量，但x和p与反对易，而J与对易。n与宇称反对易的矢量称为极性矢量，而与宇称对易的矢量叫做轴矢量
3、或赝矢量。n类似的有标量算符（与宇称算符对易）和赝标量算符（与宇称算符反对易）。nLS、xp是标量：+LS=LSn赝标量的例子包括Sx、Lx等：等：xL)x(LxLxL四、波函数在宇称操作下的变换n若|为宇称本征态，|=|,则=,故有n“+”对应偶宇称，“-”对应奇宇称。当然，只有与对易的算符之本征态才可能有确定的宇称。如动量算符不与对易，其本征态即平面波并非的本征态，而轨道角动量的本征态则可为的本征态：(x)x,x-x(-x)的波函数为)x()x(21)()!x,()(,)()()(cos)4()!mmmimllllmlmRrRrPelm,(),llmlm (,)五、能量本征态与宇称n若H,
4、=0,而|n是H的本征值为En的非简并非简并本征态，则|n是宇称本征态。n证：H|n=En|n,由非简并性得|n=ei|n.n作为应用，考虑简谐振子本征态。由于基态为高斯函数，|0=|0,而|1=a+|0=-|1。类似可推得|n=(-)n|nn注意:非简并性对得出|n是的本征态是非常重要的。若有简并，如氢原子体系，Cp|2p+Cs|2s是H本征态，但并非的本征态。又如动量本征态也是自由粒子 H本征态，但|p 和|-p简并,|p并非的本征态.n当然，我们可以通过组合H的简并本征态而得到的本征态，如|=|p|-p便是和H的共同本征态n(1+)|n和(1-)|n总是宇称本征态六、对称双势阱 nH与对
5、易，EA=H|A ES=H|S，EA-ES随势垒增高而减少。n取|R|S+|A，|L|S-|A,在作用下|R和|L对调.|R和|L不是或H的本征态，但有相同能量期望值.|R和|L是非定态,若t0=0处于|R，则t时状态为n该态在|R和|L间震荡，震荡角频率为n该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典物理禁止的区域隧穿而震荡于两态间。如势垒无穷高，则EA=ES，从而=0，不再震荡。n注：对无穷高势垒，|R和|L均是H的本征态，但非的本征态。即H所具有的宇称不一定反映在其本征态上，这是简并与对称破缺的一个简单例子。该现象在自然界相当普遍(铁磁、糖与氨基酸的手性等)。七、宇称选择定则 n若 即奇宇
6、称的x将相反宇称的态相联系。n该讨论可推广到其他算符。如算符为奇宇称，则其只有在不同宇称的状态间有不为零的矩阵元。偶宇称算符则在同宇称态间矩阵元才可能不为零。n如果H,=0，能量非简并态必无偶极矩：=0n当然，对简并态，则不一定为零。n宇称不守恒：宇称不守恒：若H与对易，则宇称守恒，否则宇称不守恒。基本粒子间的弱作用H与宇称不对易，故过程宇称不守恒。李杨最早发现弱相互作用宇称不守恒而获诺奖。11xx=(-x)0,则除非,1,4.3 分立对称性：晶格平移 n晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重要的应用。n对一维周期势，+(a)V(x)(a)=V(x+a)=V(x),a为晶格常数。H,(a)=0
7、,(a)和H可同时对角化.n在H和(a)的共同本征矢中，由于幺正而非厄米，的期待值为复数且模为1。n为求出(a)的本征态，先考虑无限高势垒的情形。此时电子只能局域于某格点附近。设相应能量本征态为|n,H|n=En|n,n表示格点位置,不同|n简并。n虽然|n是H的本征态,且H与(a)对易，|n不是(a)的本征态。将不同|n线性叠加,可得到(a)的本征态:,innen00EnEeHnin()1,H()ininaenea是 和的共同本征态n有限高势垒时，|n并不完全局域于格点n，而是主要集中于格点n而随与n的距离而衰减。n以|n为基构造|，|仍为本征值为e-i的本征态n由于n设 ，有n取k=/a，
8、则n可见晶格平移算符的本征态|之波函数可写成平面波与具有晶格周期性的函数之乘：n n且 ，k空间范围称为(第一)Brillouin Zone)(u)a(ukkxxBloch定理定理()(),ikxkkxeux)(u)a(ukkxx,kaaa)(xuexkikxiexaxax)()()(axueaxkaxik能量本征值n可见不同k=/a的态能量本征值不同.,()0()()00ininnn nini n nnnininnnininnninininnnnHeH nenn H nenen H nenen H nnenen a Hn a neneH neH n能量本征值n紧束缚近似:=E0,n原来简并的
9、能级被消简并，形成能量范围为 E0-2到E0+2的能带。n非紧束缚：能带概念相似，形状复杂些n多电子、多原子晶胞：不同能带原则上可交叉01,0(1)0HH n n 0inneH nkaEnHeEninkakcos2004.4 时间反演分立对称性 一、牛顿力学的时间反演变换n经典力学情形：一受保守力场作用的粒子其轨迹如图n若x(t)是牛顿方程的解，令t=-t,有nx(-t)也是牛顿方程的解(时间反演:xx,dx/dt-dx/dt)n可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。)()(22txVdttxdm2222()()()()d xtd xtmmV xtdtdt 二、电动力学的时间反演变换
10、nMaxwell方程：nLorentz力：n对t-t变换,若n则Maxwell方程和Lorentz力形式不变。n即若n上述讨论表明，经典物理中的时间变换为：nt-t，xx,v-v(p-p),n,EE,j-j,B-B1()Fe EvBc(),(),(),(t)(),(),(),(t)E tB tj tEtBtjt是解，则也是解三、薛定谔方程的时间反演变换n对薛定谔方程，n作时间反演：n 可见(x,-t)与(x,t)满足不同的方程n对上式取复共轭，得：n可见对解(x,t)，有相应解*(x,-t)n因(x)=，时间反演波函数由*给出*(,H*(,xtixtt）22(,)()(,)2x tiV xx
11、ttm 22(,)()(,)2xtiV xxttm 四、反幺正算符 n若一对称操作使 ，从前遇到的情况为内积不变，相应对称操作以幺正算符表征n对时间反演,波函数变为复共轭,应有n定义：对变换 ,如果n称为反幺正算符n后一式所定义的算符称为反线性算符。,*,:*;1212()*),cccc n一般而言，反幺正算符可写成=UK，U为幺正算符，K为复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即n n若|不是基矢,可展开为以|a为基矢的矢量:nK的作用效果依赖于基矢的选取（因而U也必与基矢的选取有关）n是反幺正的说明：n 是反线性的n 是反幺正的*Kcc KK.若为基矢，则K*aaaaCaCa,则1212()
12、*UK*UK,cccc*UK U,aaaaaa Uaaa U U*aaaaaa 五、时间反演算符n时间反演态（运动反演态）：|n如由上面讨论知,动量本征态|p的时间反演态:n|p=|-pn时间反演算符的基本性质n假设态矢具有时间反演对称性：n n得：-iH=iH，应为反幺正算符nH=H六、时间反演算符的运算n仅考虑从左边作用于右矢，和利用n 及左右矢的对偶对应关系n重要等式：n这是因为对 有n故*n对厄米算符A，有n若A-1=A，称A在时间反演下具有偶(奇)对称n由此，n可得A在时间反演态的期望值：n由 ，知 p-1=-pn类似地,nx-1=x,|x=|xn从 可知J-1=-J七、厄米算符的时
13、间反演对称性八、波函数的变化n由 知：n对球谐函数：n可见：n定理：若H在时间反演下不变，且能量本征态非简并非简并，则相应波函数是实的。n证:H|n=H|n=En|n,|n与|n相同,n故=*n注意：时间反演态的动量空间波函数为*(-p p)九、自旋1/2体系的时间反演 n因n (时间反演的效果)n得n由于n有 n所以：n对无自旋体系2=1n两者很不相同！2()mlmlmlm 十、一般角动量体系的时间反演n由 ,得n而n故对任意|:n此外：n一般地可有：n需要指出：最方便的相位约定依所处理的物理问题而定，但2=1与相位约定无关。十一、球张量的时间反演性质n对n若A是 的分量，由于Wigner-
14、Eckart定理n只要考虑q=0的分量即可。n对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定：n ；n由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对jm的本征态=0，这对非宇称本征态亦成立)(kqT()();21kkqj Tjj m Tjmjk mq jk j mj ()1()()000AkkkqqqTTT.对，有十二、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并 n电荷在静电场中，V(x)=e(x),H,=0n由于,U(t,t0)0,不存在量子数的时间反演守恒。但H,=0对无自旋粒子导致非简并态波函数为实数n更重要的推论是Kramers简并。由于|n与|n同为H的本征态，若非简并，|n=ei|n.n对j半整数体系，则-|n=|n=ei|n=|n,故|n与|n不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度。因此，具有不同奇偶电子的晶体在外电场中的行为很不相同。n有外外磁场时,H含 n在时间反演下是奇的,H0,不存在Kramers简并,().,S B p AA pBAp S 由于作业n4.6、4.7、4.8、4.10
