1、微分方程数值解陈文斌MEuler方法atuTttutfu)(,),(00考虑常微分方程:方法有如下令EulerNmhttmmm,1,.,1,0,11atuuNmuthfuummmm)(1,.,1,0),(001Euler方法的三种解释z数值微分:用差商来代替导数z数值积分:把微分方程变成积分方程z幂级数展开:将u(t+h)在t 做Taylor展开)(,()()(tuthftuht)(,()(,()()(tuthfduftuhtuhtt)(,()(.)(!2)()()(2tuthftutuhthutuhtu单步方法和多步方法z单步方法:利用h,tm和um即可算出um+1z多步方法:要用到h,tm
2、,tm+1,tm+k-1和um,um+1,um+k-1才能求出 um+k);,(1huthuummmmkjkjjmjjmjfhu00显式和隐式方法z显式格式:um+1通过递推可以直接求得z隐式格式:um+1需要求解代数方程才能求得,例如改进的Euler方法atuuNmutfutfhuummmmmm)(1,.,1,0,),(),(200111局部截断误差和整体截断误差z局部截断误差Rm:假设第m步精确计算的前提下,计算解um+1和精确解u(tm+1)的误差z整体截断误差 :在考虑误差累积的效应下,计算解um+1和精确解u(tm+1)的误差mmmmutu)(相容性和相容的阶zq阶相容:若一个离散变
3、量方法的局部截断误差对任意m满足:)1()(1qhORqm收敛性与收敛的阶z收敛:对任意的 ,成立z若此时,整体截断误差满足 则称方法的收敛阶为p,简称为p阶的,(0Ttt)(lim00tuumtmhth)(pmhO稳定性z方法稳定性稳定性指对初始误差的连续依赖性,以线性k步方法为例,即为存在常数C和h00,使得当 时z这里常数C不依赖于h。通常这里定义的稳定性指 情况下的稳定性。mmkmmmNmkvuCvu10maxmax,0(0hh 0h绝对稳定性z绝对稳定性指对某类模型问题,对固定的 ,当 时计算是稳定的。z复平面上所有这样的 组成的区域称为这个方法绝对稳定区域thhhhuu记为复数域中
4、一个常数,,高阶单步方法-Taylor级数法qjjjjmmmmqmqqmmmmmtutfdtdjhhtutuhuthuuutftuhOtuqhthutuhtuTaylorqthtu1111011)()(,(!);(,0),;,(),()()()(!.)()()(1)((这里得到计算公式:表示,可以导数可以由满足微分方程,其各阶由于展开项处作在将高阶单步方法Runge-Kutta方法方法系数得到不同的注意这里可以通过调节(高阶逼近函数值来得到导数值的方法本质上是用多点的KuttaRungeNibakbhuhatfkutfkkchutKuttaRungeijijiijjijiiNiii,.,3,2
5、,),(),();,111111Runge-Kutta方法例z中点法(修正的Euler法):二阶方法z古典四阶Runge-Kutta方法),()2,2()2,2(),(3423121hkuhtfkkhuhtfkkhuhtfkutfkmmmmmm),(2,2(1mmmmmmutfhuhthfuuAdams方法z考虑微分方程的积分形式用f的k次Lagrange插值多项式来代替fhttduftuhtu)(,()()(kikjjmkimkijjjmimjmkmkmttkuftttttrtptutf00)2(0,)()!1()()()()(,(Adams-bashforth外插方法z在积分方程中取 可得
6、计算格式11)()()()(,1mmmmttttkmkmmmdrdptutu,1mmttt10,0,1)1()1()()(dikiibfbhtutuikikkiimikmmAdams-Moulton内插方法z类似取 ,可以得到注:这里的t在插值点的内部,所以叫内插方法,1mmttt01,0,*1)1()1()()(dikiibfbhtutuikikkiimikmmGear方法z类似Adams方法,如果用多项式来逼近u,则可以得到Gear方法0,0,0,/1,/kkkikikmkkiimikmcgcccfhgucu0,1)1(0,11,iikiijcikjik线性k步方法z结合上面的Adams方
7、法和Gear方法,我们可以有更一般的方法 如果需要q阶相容,用Taylor方法容易知道kjjmjkjjmjfhu00kjkjjnjnnkjjjnjncc001000)!1(1!10)2(k方法z在线性多步方法中z最高阶的两步方法四阶两步方法(Milne)为参数令02,1)51()1(8)5(12)1(1212mmmmmmfffhuuu)4(3122mmmmmfffhuu线性多步方法1,.,2,1,0),(,.,1,0,00knhsukNmfhunnkjjmjkjjmj线性多步方法的性态分析z收敛性:z相容性:计算格式的误差z稳定性:计算解对初始扰动的连续依赖性z绝对稳定性:对线性问题稳定的最大
8、步长)()(,0)()(00tututmhthatuhsmn是否有时,考虑当初始逼近线性多步方法相容的充要条件z定义第一特征多项式为z定义第二特征多项式为z相容的充要条件kjjj0)(kjjj0)()1()1(,0)1(例:相容不收敛2)(,23)()(),()2(23)(,0)0(2211001122相容:用线性两步方法真解为hsuhsuffhuuuttuutummmmm例:相容不收敛(续)),0()()(0)()()1()1(2)()()()(2)1(2221021010221tmhhthmhmhuhshshmmhshshshsuhmmccummmmm时,有当满足初值的特解为计算的通解为例
9、:相容不收敛(续)不收敛的特解为满足初值则通解为考虑右端的扰动)(不收敛且)当()()1(2)()(0)()()()1(2)()1(223)()(32lim2lim)()()(,0)(,0)(221022121200110hmhmmhhuhshshmhmmccuhmhuuuhOhmthhOhshshshsmmmmmmmqqmqmqqtmhhq线性多步方法的稳定性z定理定理:线性多步方法稳定充要条件是 满足根条件,即 的所有根均在复平面的单位园内,且在单位园周上的根为单根。)()(相容+稳定=收敛z收敛的线性多步方法必定相容并且稳定z相容且稳定,初始值 的线性多步方法必定收敛。若方法是q阶相容,且 ,则方法是q阶收敛)()(0tuhsn)()()()(0qnhOtuhs绝对稳定性z考虑试验方程z记 ,用线性多步法有z其稳定的条件是特征多项式的满足根条件1|)(|)()(),(hhhi根条件hhkjjmjkjjmjuhu00uu绝对稳定性z对指定的 ,如果特征多项式的根 按模都小于1,则称线性多步方法关于此 绝对稳定,所有这样的 组成的集合称为该方法的绝对稳定区域z利用边界轨迹法可以求得绝对稳定区域。h)(hihh0)()(),(iiiehehe