1、?偏好与效用偏好与效用?消费者基本问题消费者基本问题第一讲第一讲 偏好、效用与消费偏好、效用与消费1.1.消费集消费集 (1)(1)消费集的概念消费集的概念 商品向量（消费束），又称消费计划（用 表示）。商品空间：为有可能的商品向量的集合，用欧氏空间来表达（），每一个消费束是此空间中的一个点。消费集，又称选择集，用 来表示。则 xnRX12(,)nxx xxnRXnR一、偏好与效用一、偏好与效用(2)(2)消费集的性质消费集的性质 非空性：封闭性：包括所有的极限点（边界），因此，是连续的。凸集：一个消费集中任意两个消费计划的线性组合仍包含在该 消费集内。即，若 ,则对 下限性：，即选择不消费。
2、XnR0X111112(,)nxxxxX222212(,)nxxxx X12(1)xxX存在：01,一、偏好与效用一、偏好与效用 图11凸集的图解2x1x1x2x1x1x2x2x非凸集严格凸集非严格凸集一、偏好与效用一、偏好与效用2.2.偏好关系偏好关系 (1)(1)偏好关系的定义偏好关系的定义 指定义在消费集 中的二项关系，表明同一消费集中，两个消费束哪个更受消费者喜爱。设两个消费束 和 ，则有以下三种关系：若 ，则 和 无差异，表示没有差异；若 ，则 优于 ，表示严格偏好关系；若 ，则 至少与 一样好，表示弱偏好关系。X1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x一、偏好与效用
3、一、偏好与效用(2)(2)偏好关系的三个公理偏好关系的三个公理界定了消费者的理性状态 完备性：对于任何 中的 ，或者 或者 。自反性：对所有的 ，。即一个消费计划至少与它本身一样好。传递性：对于任何三个消费计划 ，如果 ，且 ,那么 。X1x2x1x2x2x1xxXxx1x2x3xX1x2x2x3x1x3x一、偏好与效用一、偏好与效用 满足上述三个公理的无差异集满足上述三个公理的无差异集 图12 图中位于曲线上（不含虚线）点的集合以及虚线内的点的集合所代表的消费束与点 所代表的消费束无差异。0 x0 x2x1x0 x一、偏好与效用一、偏好与效用(3)(3)偏好关系性质的四个假定偏好关系性质的四
4、个假定 是三个公理基础上进一步限制，主要是为了将偏好关系转换成效用函数之便利。偏好的连续性偏好的连续性：对于所有的 ，“至少一样好”集 与“非优于”集 ，都是闭于 。图13xnR()x()xnR0 x0 x2x1x由“虚”变”实”一、偏好与效用一、偏好与效用偏好的局部非厌足性偏好的局部非厌足性：为一给定的消费计划，对于所有 都存在某个消费计划 ,使得 。图140 x0 xnRxx0 x0 x2x1x变为一条无厚度”细线”一、偏好与效用一、偏好与效用 偏好的单调性偏好的单调性：对于所有的 ，如果 则 ；但如果 ，则 。“”意味着“数量上严格多于”；“”表示“数量至少一样多”，说明数量上的比较可以
5、是偏好上的比较。图15 图15由图14去掉“向上弯曲”的部分得到0 x1xnR0 x1x0 x1x0 x1x0 x1x0 x1x2x 凹向圆点 凸向圆点一、偏好与效用一、偏好与效用 偏好的凸性及严格凸性偏好的凸性及严格凸性 凸性：若 ，则对于所有 0，1，都有 严格凸性：若 ，则对于所有的 （0，1），都有 图16 图171x0 x10(1)xx0 x1x0 x10(1)xx0 x0 x2xx1x2x1x2x1x1x2xx一、偏好与效用一、偏好与效用3.3.效用函数效用函数 （1 1）效用函数的概念）效用函数的概念 对于所有的 ，当且仅当 ，则实函数 ：被称为代表偏好关系的函数，即效用函数。常
6、见的效用函数常见的效用函数 ，0 x1xnR01()()u xu x0 x1xunRR1/1212(,)u x xxx0111212(,)u x xAxx1212(,)u x xx x一、偏好与效用一、偏好与效用（2 2）边际效用）边际效用(教材P56)定义：定义：有一个效用函数为 ，求其关 于 的一阶偏导，得 ，称 为 的边际效用。（3 3）效用函数的单调变换）效用函数的单调变换(教材P1112)定义：定义：当 意味着 时，则称 为原效用函数 的单调变换。单调变换说明对某一偏好关系来说，其函数形式不唯一l常见的单调变换有常见的单调变换有 对原效用函数乘上一个正数；对原效用函数加上人任意一个数
7、；对原效用函数取奇次幂；对数函数与指数函数互为单调变换函数。12(,)nu x xxix()iuxix()iux12uu12()()f uf u()fu()ux一、偏好与效用一、偏好与效用（4 4）效用函数的性质）效用函数的性质l凹（凸）性凹（凸）性 是定义在消费凸集 中的实值函数。凹（凸）函数：对于任意 ，当 ，则称 为凹函数；反之为凸函数。严格凹（凸）函数：对任意 ，当 则称 为严格的凹函数；反之为严格凸函数。()u xXnR0 x1x X010101(1)()(1)()uxxu xu x()u x1x0 xX01xx01 0101(1)()(1)()uxxu xu x()u x一、偏好与
8、效用一、偏好与效用 图18 凹函数图解0 xx1x01(1)uxx01()(1)()u xu x1()u x0()u x一、偏好与效用一、偏好与效用 图19 凸函数图解0 xx1x01(1)uxx01()(1)()u xu x1()u x0()u x01(1)xx()u x一、偏好与效用一、偏好与效用l拟凹性拟凹性 是定义在消费凸集 中的效用函数。拟凹函数：对于任意 ，当 ，存在关系：则称 为拟凹函数。严格拟凹函数：对任意 ，当 ，时 存在关系：则称 为严格的拟凹函数。()u xXnR0 x1x X01 010(1)()uxxu x()u x0 x1x X01xx01 010(1)()uxxu
9、 x()u x10()()u xu x10()()u xu x一、偏好与效用一、偏好与效用4.4.无差异曲线无差异曲线 (1)无差异曲线概念无差异曲线概念 上水平集（或上登高集）：设函数 是一个凹函 数，那么集合 对于 都是一个凸集，则称集合 为上水平集或上登高集。假设 ，在消费理论中，被称为特定的效用函数，上水 平集 可定义为：，称其为无差异集。在二 维空间中，则 称为无差异曲线。:fXRnxR:,()Lx xX f xaaRL0ifx()f xL:,()Lx xX u xa12(,)xx xL一、偏好与效用一、偏好与效用(2)无差异曲线的性质无差异曲线的性质 每条无差异曲线凸向原点；不同的
10、无差异曲线不能相交；越远离原点的无差异曲线所代表的效用水平越高，反之越低。图110 无差异曲线图解一、偏好与效用一、偏好与效用2x1x()u xa:,()Lx xX u xa(3)边际替代率边际替代率(教材P67)当消费集只有两维，即物品 与 ，对于任何一个消费计划 可通过无差异曲线表示为 ，即 而且，为常数。图111 与 在同一效用水平上的替代关系 1x2x11112(,)xxx1()f x21()xf x11,()u xf xcc2x1x21()f x()u xc21x11x11()f x1x2x2211,()xf x1111,()xf x0MRS2x1x2x一、偏好与效用一、偏好与效用
11、求偏导 对效用函数 求关于 的偏导，得出：即：11,()u xf xc1x112()()()0u xu xfxxx112()()()u xxfxu xx 一、偏好与效用一、偏好与效用 或者 也即：12(,)u x xc2121()()0dxu xu xxxdx2112()/()/dxu xxdxu xx 一、偏好与效用一、偏好与效用令 为物品 对物品 的边际替代率，则记：为物品 对物品 的边际替代率，所以 ：是一正数；当效用不同时，可以替代 的边际比率。2112()/()/dxu xxdxu xx2()/()/jiijdxu xxdxu xxji1,()/()()/ii jju xxMRSxu
12、 xx,()i jMRSxixjx一、偏好与效用一、偏好与效用1.预算集预算集 (1)预算集（预算集（Budget Set）概念）概念 由价格向量 和收入水平 组成。假定个别消费购买行为不影响物价水平，则 向量固定，所以，消费者的预算集 为：其中，是可行的消费组合。py12(,)0npp ppp,nBx xRp xyBx二、二、消费者基本问题消费者基本问题 图112 预算集约束p xyao1x1yp2yp12pp1xB2x二、消费者基本问题二、消费者基本问题 （2）预算集性质）预算集性质 预算线的斜率为 ，代表两个商品间交换比例。预算集的两种变换。当价格不变，财富（或收入）增加（或减少）时，预
13、算集外移（或内移）；当财富不变，价格变化时，预算集随着预算线坡度的改变而变化。预算集是凸集。12pp二、消费者基本问题二、消费者基本问题2.效用最大化的最优解效用最大化的最优解 （1）UMP（Utility Maximum Problem）问题）问题 规划问题：二阶条件：海赛加边行列式（n维空间时，其值应正负交替）maxx()u x.stp xy一阶条件：拉氏函数一阶偏导为0二、消费者基本问题二、消费者基本问题 效用最大化问题的图解：效用最大化问题的图解：图113 2x1xoABC()u x二、消费者基本问题二、消费者基本问题 3.3.需求函数需求函数（1 1）UMPUMP问题求解举例问题求解
14、举例(教材P9，例1)例例：效用函数 ，求出需求函数 解解：拉氏函数为：一阶条件：112121 122(,)()()L x xxxyp xp x11212(,)(),01u x xxx12(,),1,2ixf p py i11112111()0Lxxxpx11112222()0Lxxxpx11220Lyp xp x二、消费者基本问题二、消费者基本问题得出：得出：其中其中，11112rrrpyxpp12212rrrpyxpp1r二、消费者基本问题二、消费者基本问题（2 2）需求函数的概念）需求函数的概念 定义：定义：需求是定义在消费集 中的一个效用最大化选择的解，记作 。我们称效用最大化消费束
15、与价格 和财富水平 的关系为瓦尔拉斯需求函数；若消费束仅为2种商品时，则需求 该函数又称马歇尔需求函数或简称需求函数。需求的三要素 （）（消费集）偏好（效用函数：无差异曲线）（）价格 （）收入（手中有钱）需求的本质：指消费者在欲望驱动下的一种有条件、可行的、最优的选择，选择集（消费集）与预算集共切点的集合。二、消费者基本问题二、消费者基本问题y12(,)npp pp12(,),1,2ixf p py inR(,)xx p yx（3）（）（瓦尔拉斯）需求函数的性质瓦尔拉斯）需求函数的性质 价格与收入上的零次齐次性：所有价格和收入按统一比例变动，需求数量保持不变。即对任意 且 ，有：收入出清性（符
16、合瓦尔拉斯定理）：对于任意 有 。此性质说明消费者都将其收入用于消费，这样才 能实现效用最大化。唯一性（单值性）：偏好关系的严格凸性意味着 的严 格凸性，即 是价格和收入水平的单值函数（详见图1 13）。,py0a(,)(,)x ap ayx p y(,)xx p ypxy(,)x p y(,)x p y二、消费者基本问题二、消费者基本问题课后习题（一）基本概念（一）基本概念 消费集、凸集、凸性、偏好关系、效用函数、无差异曲 线、预算集、UMP问题、（瓦尔拉斯、马歇尔）需求函 数（二）问答题（二）问答题 1.简述偏好关系的公理及其性质假定。2.简述效用函数的性质及其与无差异曲线之间的关系。3.试述UMP问题求解的步骤及瓦尔拉斯需求函数的性质。（三）教材习题选做（三）教材习题选做：第1、3、4、5、6、10、11 题（P12-13）
