1、4.3.2 微分法则与微分不变性4.3 局部线性化与微分4.3.1 微分的概念4.3.3 微分在近似计算中的应用内容小结与作业x4.3.1 微分的概念1 1引例引例问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A(x),2(),A xx0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xAxx 02)(x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02当边长从在0 x取得增量 时，x变到,0 xx一块正方形金属薄片受温度变化的影响,0 x边长由其0()()yf xf x 2“以直代曲”的定量描述xyOP0 xT()yf x当函数 在 处()yf x0 xx可导且 时，0
2、 xx000()()()fxxxo xx所以当 x 充分接近 x0 时，有000()()()()f xf xfxxx000()()()yf xfxxx以直代曲：局部线性化：000()()()()L xf xfxxxx4.3.1 微分的概念微分的概念 比较函数 在 附近比较函数的增量与该点切线纵坐标的增量。2()1f xx012x 例例14.3.1 微分的概念微分的概念0()()yf xf x 2“以直代曲”的定量描述xyOP0 xT()yf x当函数 在 处()yf x0 xx可导且 时，0 xx000()()()fxxxo xx所以当 x 充分接近 x0 时，有000()()()()f xf
3、 xfxxx000()()()yf xfxxx以直代曲：局部线性化：000()()()()L xf xfxxx4.3.1 微分的概念微分的概念即内有定义，处的增量 可以表示为0 x00()()yf xxf x 00()()(0)()yf xxf xxA xox 3微分的定义A x或 ,0d()x xf x0dx xy0dx xyA x定义4.3.1()yf x00(,)xx设函数 在的某邻域()yf x0 x则称函数 在 处可微（或可微分），称为 在 处的()yf x0 x微分，记为在一般点 x 处的微分，简记为d.yA xxA若存在与 无关的常数 ，使函数在点 4.3.1 微分的概念微分的概
4、念 设函数 在 的某邻域 内有定义，则函数 在 可微的充要条件是 在 处可导，且 在点 处的微分为00d()().x xf xfxx00(,)xx00d()x xyfxx()f x0 x()yf x()yf x0 x0 x()yf x0 x或 函数可微的条件 当ydy0()0fx，有0limdxyy 00lim()xyfxx 001lim()xyfxx 001()1()fxfx。定理4.3.14.3.1 微分的概念微分的概念 设 ，证明 在任何点 处可微，且 ()f x()f xx0 x0d()x xf xx 对任何 ，有x00()()yf xxf x()0ox1A 0d()x xf xA x
5、x 0d.x xxx 例例2证证此时，所以，得，即00()xxx.x d.xx 一般地,4.3.1 微分的概念微分的概念从而微分形式可以写成00d()d,x xyfxxd()d.yfxxd()dyfxxd()().df xfxx由此得到，或1()()fxy()()xyf ux(),()yf uux若 和 互为反函数，则有()xy()yf x对复合函数ddd.dddyyuxuxd1.dddyxxy4.3.1 微分的概念微分的概念和 ，并求 在 处的局部线性化(1,6)()f x()L xd()f x32()236f xxxx1d()xf x2d()(343)df xxxx1d()4d.xf xx
6、2()343fxxx(1)4f 000()()()()4(1)642L xf xxxf xxx 例例3解解，,所以，()f x(1,6)在点 处的局部线性化函数为因为已知函数 ，求函数 .4.3.1 微分的概念微分的概念 函数的增量是曲线的纵坐标的增量，它的微分是对应的切线的纵坐标的增量，这两者的差是横坐标增量的高阶无穷小。4微分的几何意义xyOPQ()yf xxxxRydy对应切线的纵坐标的增量。微分的几何意义4.3.1 微分的概念微分的概念d()dyfxx5基本初等函数的微分公式根据函数微分的表达式函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分.由此可以得到基本初等函数的微分公式。例如：(sin
7、)cosxx()xxee 1()aaxax 1d()daaxaxxd(sin)cos dxx xd()dxxeex4.3.1 微分的概念微分的概念4.3.2 微分法则与微分不变性 设函数 在 处可导,(),()u x v xx定理4.3.2 这里为书写方便将 简记为 dud()u x（3）.2ddduv uuvvv（2）；d()dduvv uuv处可微，且 d()dduvuv（1）；（四则运算）()()0)()u xv xv x则 、和()()u xv x()()u x v xx在定理定理4.3.3（复合运算）d()()dyfuxx其中 和 均可微，则函数 ()yf u()yfx()ux()y
8、fx设有复合函数 ，也可微，且 uduufyd)(d 因此，无论是自变量，还是中间变量，微分公式微分形式的不变性的形式保持不变，将此性质称为4.3.2 微分法则与微分不变性微分法则与微分不变性 求函数求函数 的微分的微分 例例4解解2121sind(21)cos dxxx exexx212121dd(sin)sind()d(sin)xxxyexxeex21(2sincos)dxexxx21sinxyex2121sin2dcos dxxx exexx4.3.2 微分法则与微分不变性微分法则与微分不变性 例例5解解（1）将下面给出的微分形式写成某一函数的微分：（1）；（2）；2dxx2dxex23
9、311ddd().33xxxx（2）22211dd(2)d()22xxxexexe（3）（4）221111dd(2)d(arctan2)1 22 1(2)2xxxxx11cos(51)dcos(51)d(51)dsin(51)55xxxxx21d12xxcos(51)dxx（3）；（4）.4.3.2 微分法则与微分不变性微分法则与微分不变性 4.3.3 微分在近似计算中的应用，有近似公式 000()()().f xxf xf xx()(0).oxx 若函数 在 处()yf x0 xx可微，则对于充分小|x它说明：用线性函数 来近似00()()f xfxx0()f xx时，所产生的误差000|(
10、)()()|f xxf xf xx是 的高阶无穷小，即xxxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(,)()100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf4.3.3 微分在近似计算中的应用 特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(利用微分计算 的近似值。sin30 30,1.050,6x例例6)()()(000 xxxfxfxf函数为.设解解30 306360()sin,f xx,360 x 则利用公式000()()().f xxf xf xx sin30 30sincos0.5076.66 360 函数为()1,f xx0.05,
11、x 则利用公式得1(),2 1fxx11.0510.0510.051.025.2 00,x()?f xxsin29 30?4.3.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 例例7证证 31113xx3111(1)310 xx39令01,uux 3(),f uu，则由近似公式有证明近似公式 ，由此公式计算的近似值并通过图形观察，考察当时，x 应在什么范围取值？)()()(000 xxxfxfxf000()()().f xxf xf xx 311(1)(1)13xffux 39 381312 181 113 825.244.3.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 3111(1
12、)310 xx，下面估计使不等式成立的的范围2,1.20434x10.706649x 3111(1)310 xx 4.3.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 常见的近似公式有：常见的近似公式有：ln(1);xxtan,xxsin,xxarcsin;xx(1)1.xx arctan;xx1x 1;xex 这里要求 (1)(2)(3)(4)(5)4.3.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 例例8解解将麦克风的插头视为圆柱形，其截面半径 ，长 ，为了提高它的导电性能，要在插头的侧面镀上一层厚为 的纯铜，试估算一下镀一个这样的插头需要多少克铜？（铜的比重为 ）4cml 38
13、.9 g/cm0.12cmr0.001cmr 用初等方法完全可以解决这个问题，所需要的铜为 22()Vrrlr l 不过此时计算量较大用微分的方法来估算22()Vrrlr l 4.3.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 因为当 较小时有 由于 当 ，时，所以，镀一个这样的插头估计需要纯铜2d()d2rVr lrrl rdVV r4cml 0.12cmr d8.9 0.00300.02684Vgd220.12 40.0010.0030Vrl r 0.001cmr 例例8 将麦克风的插头视为圆柱形，其截面半径 ，长 ，为了提高它的导电性能，要在插头的侧面镀上一层厚为 的纯铜，试估算一
14、下镀一个这样的插头需要多少克铜？（铜的比重为 ）4cml 38.9 g/cm0.12cmr0.001cmr 4.3.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 内容小结与作业1.微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:d()()df ufuu(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算2.设)(xyy 由方程063sin33yxyx确定,.d0 xy求1.设,0a且,nab 则nnba1nanba思考与练习解解:方程两边求微分,得xx d32当0 x时,0y由上式得01dd.2xyxyy d32xxd3cos36d0.y作业作业:教材教材202-203页页3(3)(5)(6)(7)，8(3)(4)，9，13，14212-213页页:12，14，15
