1、4.4对数函数第四章 指数函数与对数函数学习目标重点：对数函数的概念、图象和性质.难点：对数函数性质的应用.知识梳理一般地，函数ylogax（a0，且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+）.一、对数函数的概念二、对数函数的图象和性质0a1图象定义域值域性质（1）过定点（1，0），即x1时，y0（2）函数（2）函数（0，+）减增一般地，指数函数yax（a0，且a1）与对数函数ylogax（a0，且a1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.三、反函数一对数函数的概念常考题型【解析解析】不是对数函数，因为真数不是只含有自变量x；不是对数函数，因为底数不是常数；是对数函数.【答案答
2、案】A1.对数函数的判断判断对数函数的方法1.对数函数在形式上具有以下四个特点：（1）表达式：ylogax；（2）系数：logax系数必须是1；（3）底数：a0，且a1；（4）自变量x在真数的位置上.2.一个函数的表达式整理后，只有全部具备以上四个条件的才是对数函数，否则就不是对数函数.B【答案】D对数（型）函数定义域的求法1.求对数（型）函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要注意如下要求：（1）真数大于0；（2）底数大于0且不等于1.2.yloga f（x）（a0，且a1）型的定义域就是 f（x）0的解集.3.yf（logax）型的定义域首先要保证f（x）的表达式有意义，还要保证
3、真数大于0.（-1，2）C1.图象的画法例3 作出函数y|log2（x+1）|+2的图象.【解】第一步：作出函数ylog2x的图象，如图（1）.第二步：将函数ylog2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数ylog2（x+1）的图象，如图（2）.（1）（2）二、对数（型）函数的图象及其应用（3）（4）第三步：将函数ylog2（x+1）的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得到函数y|log2（x+1）|的图象，如图（3）.第四步：将函数y|log2（x+1）|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图（4）.为了得到函数ylg（x+3）-1的图象，只需把函数ylg
4、x的图象上所有的点（）A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度训练题C2.图象的识别例4 2020山东省济宁市实验中学高一检测已知lg a+lg b0（a0且a1，b0且b1），则函数f（x）a-x与函数g（x）logbx的图象可能是 （）A B C D【解题提示】由对数的运算性质可得ab1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图象，即可得到答案.【解析】lg a+lg b0，即为lg（ab）0，即有ab1，当a1时，0b1，函数f（x）
5、a-x与函数g（x）logbx在同一坐标系中的图象不可能是选项C；对数函数图象不可能在y轴的左边，A显然不成立；选项D是0a1，0b1，不满足ab1；当0a1，函数f（x）a-x与函数g（x）logbx在同一坐标系中的图象可能是B，故选B.【答案】B对数函数图象的特点1.底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a1时，图象上升；0a1时，图象下降.2.对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象（C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d）的相对位置与底数大小有关，图中0cd1a0，且a1）与函数y（a-1）x2-2x-1在同一坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.C2.已知函
6、数f（x）ax，g（x）logax（a0，且a1），若f（3）g（3）1或0a0且a1），图象恒过定点P（m，n），则m+n ；函数g（x）ln（x2+m）的单调递增区间为 .【答案】B对数型函数图象的考查类型及解题技巧1.对有关对数（型）函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等.2.对有关对数（型）函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象.特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.3.与对数（型）函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法.应用
7、时要准确地画出图象，把方程的根、不等式的解集等问题转化为函数图象之间的关系问题.训练题4三、对数（型）函数的单调性及其应用1.对数（型）函数的单调性【解题提示】设g（x）x2+6x-7，求得函数g（x）在（-，-7）上单调递减，在（1，+）上单调递增，再根据复合函数的单调性的判定方法，即可得到答案.例7 2019湖北黄冈高一期末函数f（x）log0.6（x2+6x-7）的单调递减区间是（）A.（-，-7）B.（-，-3）C.（-3，+）D.（1，+）【解析】由题意，令x2+6x-70，得x1，即函数的定义域为（-，-7）（1，+）.设g（x）x2+6x-7，可得函数g（x）在（-，-7）上单调
8、递减，在（1，+）上单调递增.又由函数ylog0.6x在（0，+）上单调递减，根据复合函数的单调性，可得函数f（x）在（1，+）上单调递减.故选D.【答案】D解决对数（型）函数的单调性的思路1.对数型复合函数一般可分为两类：一类是外层函数为对数（型）函数，即yloga f（x）型；另一类是内层函数为对数函数，即yf（logax）型.（1）对于yloga f（x）型的函数的单调性，有以下结论：函数yloga f（x）的单调性与函数uf（x）（f（x）0）的单调性在a1时相同，在0a0，-1x3，函数的定义域为（-1，3）.令t-x2+2x+3-（x-1）2+4，当x（-1，1）时，t为关于x的增
9、函数；当x（1，3）时，t为关于x的减函数.函数f（x）log4（-x2+2x+3）的单调增区间为（-1，1），单调减区间为（1，3）.根据复合函数的最值求参数的方法1.判断复合函数的单调性，复合函数单调性的判断方法是“同增异减”，即当内外层函数单调性一致时为增函数，当内外层函数单调性不一致时是减函数.2.判断函数的最值.3.依据函数最值列出含参数的方程或不等式.4.解含参数的方程或不等式得出参数值或取值范围.3.利用单调性比较对数值的大小例9 2020湖北省荆州中学高一检测已知alog23，b2.11.2，clog0.33.8，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.cabC.bca D.
10、cb2.112，clog0.33.80，则cab.故选B.（方法二）分别作出函数ylog2x，y2.1x，ylog0.3x的图象，在图象上标出相应的函数值，由图象即可直观得出a，b，c的大小关系.【答案】B比较对数值的大小的常用方法1.底数相同、真数不同时，用对数函数的单调性来比较.2.底数不同、真数相同时，用对数函数的图象与底数的关系来比较，也可用换底公式转化为底数相同的对数来比较.3.当底数和真数都不同时，则寻求中间值作为媒介进行比较.4.对于多个对数值的大小比较，应先根据每个对数值的结构特征以及它们与“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内数值的大小.5.当底数与1的大小关系不明确
11、时，要对底数分情况进行讨论.B2.2020上海华东师大二附中高一期末若logm2logn20，则 （）A.0mn1B.1mn C.0nm1D.1n0，则yloga（t2-2t-2），若使f（x）0，即loga（t2-2t-2）0.因为0a1，解得t3或t0，故t3，即ax3.又因为0alogab的不等式，借助函数ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，那么需分a1与0ab的不等式，应先将b化为以a为底的对数的形式，再借助函数ylogax的单调性求解.3.形如logaxlogbx的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.训练题 2020上海师范大学附属中学高三检测已知函数
12、f（x）log2（a2x+ax-2）（a 0），且f（1）2.（1）求a和f（x）的单调区间；（2）解不等式f（x+1）-f（x）2.解：（1）f（1）log2（a2+a-2）2，a2+a-24，a2或a-3（舍去）.f（x）log2（22x+2x-2），由22x+2x-20得，2x-10或2x+21，x0，即定义域是（0，+），在（0，+）上，u22x+2x-2是增函数，ylog2u是增函数，ylog2（22x+2x-2）是增函数.即f（x）的增区间是（0，+），无减区间.（2）f（x+1）-f（x）2，即f（x+1）2+f（x），即log2（22x+2+2x+1-2）2+log2（22x+
13、2x-2）log2（22x+2+2x+2-8），22x+2+2x+1-222x+2+2x+2-80，解得0 x0且a1）满足f（3）f（4），可得函数f（x）logax为单调递减函数，所以0a1，又由yf-1（x）是yf（x）的反函数，则f -1（x）ax（0a1），训练题1.2019上海浦东新区一模若函数yf（x）的图象恒过点（0，1），则函数yf-1（x）+3的图象一定经过点.2.2020上海交通大学附属中学高一期末设f-1（x）为f（x）4x-2+x-1，x0，2的反函数，则yf（x）+f-1（x）的最大值为.小结1.对数函数的概念 判断对数函数的标准 0a1图象图象定义域定义域（0，+）值域值域R性质性质（1）过定点（1，0），即x1时，y0（2）减函数（2）增函数2.对数函数的图象与性质3.反函数
