1、1创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破第5节从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式考试要求1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系;2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集;3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.2创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破1.一元二次不等式知 识 梳 理只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.3创新设计创新设计基础知识诊断
2、考点聚焦突破2.三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集_ax2bxc0(a0)的解集_x|xx2或xx1Rx|x1xx24创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破3.(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解集不等式解集 ab(xa)(xb)0_(xa)(xb)0_x|xbx|xax|xax|axbx|bx0(a(a0)的解集为(,a)(a,);|x|0)的解集为(a,a).记忆口诀:大于号取两边,小于号取中间.2.解
3、不等式ax2bxc0(0)时不要忘记当a0时的情形.7创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破8创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)9创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破(4)若方程ax2bxc0(a0(a0)的解集为.答案(1)(2)(3)(4)10创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破2.(新教材必修第一册P71B1改编)已知集合Ax|x25x40,Bx|x2x60,则AB()A.(2,3)B.(1,3)C.(3,4)D.(2,4)解析由题意知Ax|1x4,Bx|2x0,3x22x20的解集为12创新设计创新设计基础知识诊
4、断考点聚焦突破答案A13创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破5.(2019辽宁重点中学模拟)不等式2x2x30的解集为_.解析由2x2x30,得(x1)(2x3)0,14创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破6.(2019苏北调研)已知函数f(x)ax2ax1,若对任意实数x,恒有f(x)0,则实数a的取值范围是_.解析若a0,则f(x)10恒成立,解得4a0,综上,得a4,0.答案4,015创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破考点一一元二次不等式的解法【例1】(1)不等式0 x2x24的解集为_.解析原不等式等价于故原不等式的解集为x|2x1,或2x3.答案x|2x1或2x316创
5、新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破(2)解关于x的不等式ax222xax(aR).解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时,原不等式化为x10,解得x1.17创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破当a2时,不等式的解集为1;综上所述,当a0时,不等式的解集为x|x1;18创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破规律方法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化为标准形式.(2)确定判别式的符号,若0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若a2(aR)的解集.解原不等式可化为12x2axa20,即(4xa)(3xa)0,令(4xa)(3xa)0,21创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦
6、突破考点二一元二次方程与一元二次不等式22创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破故不等式x2bxa0为x25x60,解得x3或x2.答案x|x3或x223创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破规律方法1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.24创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破【训练2】(2019天津和平区一模)关于x的不等式axb0的解集是()A.(,1)(3,)B.(1,3)C.(1,3)D.(,1)(3,)解析关于
7、x的不等式axb0即axb的解集是(1,),ab0可化为(x1)(x3)0,解得1x3,所求不等式的解集是(1,3).答案C25创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破角度1在实数R上恒成立【例31】(2020大庆实验中学期中)对于任意实数x,不等式(a2)x22(a2)x40恒成立,则实数a的取值范围是()A.(,2)B.(,2C.(2,2)D.(2,2解析当a20,即a2时,40恒成立;当a20,即a2时,考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究26创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破解得2a2.综上,实数a的取值范围是(2,2.答案D27创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破角度2在
8、给定区间上恒成立【例32】(一题多解)设函数f(x)mx2mx1(m0),若对于x1,3,f(x)m5恒成立,则m的取值范围是_.解析要使f(x)m5在1,3上恒成立,故mx2mxm60,当m0时,g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)maxg(3)7m60.28创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)maxg(1)m60.所以m6,所以m0.29创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破30创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破角度3给定参数范围的恒成立问题【例33】对任意m1,1,函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零,求x的取值范
9、围.解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4,令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1,1上,g(m)的值恒大于零,31创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破解得x3.故当x(,1)(3,)时,对任意的m1,1,函数f(x)的值恒大于零.32创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破规律方法1.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求
10、谁的范围,谁就是参数.33创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破【训练3】(1)(角度1)(2020铁岭调研)若不等式4x2ax40的解集为R,则实数a的取值范围是()A.(16,0)B.(16,0C.(,0)D.(8,8)(2)(角度2)(2019湖北八校联考)若不等式(aa2)(x21)x0对一切x(0,2恒成立,则实数a的取值范围为_.(3)(角度3)若mx2mx10对于m1,2恒成立,则实数x的取值范围是_.34创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破解析(1)由题意知a24440,解得8a8,故选D.35创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破(3)设g(m)mx2mx1(x2x)
11、m1,其图象是直线,当m1,2时,图象为一条线段,36创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破考点四一元二次不等式的实际应用37创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破又1x10,可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是3,10.(2)设利润为y元,则38创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破故当x6时,ymax457 500元.即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大,最大利润为457 500元.39创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破规律方法求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不
12、等关系.(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.40创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破【训练4】已知产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020 x0.1x2,x(0,240).若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A.100台 B.120台C.150台 D.180台41创新设计创新设计基础知识诊断考点聚焦突破解析由题设,产量x台时,总售价为25x;欲使生产者不亏本时,必须满足总售价大于等于总成本,即25x3 00020 x0.1x2,即0.1x25x3 0000,x250 x30 0000,解之得x150或x200(舍去).故欲使生产者不亏本,最低产量是150台.故选C.答案C42本节内容结束
