1、误差理论与数据处理误差理论与数据处理 本章阐述测量误差的基本概念、误差的表达形式、误差分类、误差来源；给出描述误差大小的精度概念及其与误差类型之间的关系；给出测量中的有效数字概念及其在数据处理中的基本方法。通过学习本章内容，使读者对测量误差分析及其数据处理的问题有一个概貌的了解，为学习后面章节的内容奠定基础。误差理论与数据处理误差理论与数据处理门捷列夫误差理论与数据处理我常说的一句话是：当你能够测量你所关注的事物，而且能够用数量来描述他的时候，你就对其有所认识；当你不能测量他，也不能将其量化的时候，你对他的了解就是贫乏和不深入的。开尔文为了纪念他在科学上的功绩，国际为了纪念他在科学上的功绩，国
2、际计量大会把热力学温标（即绝对温计量大会把热力学温标（即绝对温标）称为开尔文（开氏）温标，热标）称为开尔文（开氏）温标，热力学温度以开尔文为单位，是现在力学温度以开尔文为单位，是现在国际单位制中七个基本单位之一。国际单位制中七个基本单位之一。误差理论与数据处理钱学森信息技术包括测量技术、计算机技术和通信技术，测量技术是信息技术的关键和基础。误差理论与数据处理王大珩等仪器仪表是工业生产的“倍增器”，是高新技术和科研的“催化剂”，在军事上体现的是“战斗力”。误差理论与数据处理正确认识误差的性质，分析误差产生的原因从根本上，消除或减小误差正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果通过计算得到更接近真值
3、的数据正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法根据目标确定最佳系统误差理论与数据处理 这一节将介绍测量误差的基本概念，如测量误差的定义、分类、误差的来源等。通过这些内容的学习，可以让读者对测量误差有个全面的了解。误差理论与数据处理误差误差（Error）：误差误差测得值测得值真值真值真值真值（True Value）：观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。分类：理论值 约定真值三角形内角之和恒为180一个整圆周角为360国际千克基准1Kg误差理论与数据处理约定真值约定真值(Conventional True Value）指定值、最佳估计值、约定值或参考值 是指对于给定用途具有适当不确定度的
4、、赋予特定量的值。这个术语在计量学中常用。由国家建立的实物标准（或基准）所指定的千克副原器质量的约定真值为1kg，其复现的不确定度为0.008mg。当今保存在国际计量局的铂铱合金千克原器的最小不确定度为0.004mg误差是针对真值而言的，真值一般都是误差是针对真值而言的，真值一般都是指约定真值。指约定真值。亦称误差理论与数据处理误差误差 绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点误差理论与数据处理绝对误差绝对误差（Absolute ErrorAbsolute Error）测得值 被测量的真值，常用约定真值代替 绝对误差 特点：特点：1)绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量
5、。2)单位给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。LLL0绝对误差绝对误差测得值测得值真值真值误差理论与数据处理修正值修正值(Correction):为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值。修正值修正值真值真值测得值测得值 特点：特点：1)与误差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身还有误差。误差误差误差理论与数据处理【例【例1-11-1】用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，被测电压的修正值为5V，则修正后的测量结果为226+(5V)=221V。测得值真值绝对误差误差理论与数据处理定义定义 被测量的真值，常用约定真
6、值代替，也可以近似用测量值 L 来代替 L0相对误差 特点：特点：1）相对误差有大小和符号。2）无量纲，一般用百分数来表示。绝对误差相对误差相对误差（Relative ErrorRelative Error）：绝对误差与被测量真值之比绝对误差与被测量真值之比 相对误差相对误差0LLr误差理论与数据处理绝对误差和相对误差的比较绝对误差和相对误差的比较用1m测长仪测量0.01m长的工件，其绝对误差 =0.0006m，但用来测量1m长的工件，其绝对误差为0.0105m。前者的相对误差为 后者的相对误差为641/0.6 10/0.010.6 10rl 652/10.5 10/11.1 10rl 用绝对
7、误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。(0.5 10/m)l m误差理论与数据处理引用误差引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）定义定义 该标称范围（或量程）上限 引用误差 仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差 mmmxrx引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。误差理论与数据处理我国电工仪表、压力表的准确度等级（准确度等级（Accuracy Accuracy ClassClass）就是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级s选定后，
8、用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为%mmxxs%mmxxxrsxx 最大相对误差为绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限xm成正比选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确（公式2）（公式1）电工仪表、压力表的准确度等级准确度等级误差理论与数据处理【例【例1-31-3】检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均小于2V，问这只电压表是否合格？由公式2，该电压表的引用误差为 22%100mmmUrU由于所以该电压表合格。2%2.5%【解】【解】误差理论与数据处理【例【例1-41
9、-4】某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。1231.0100 A,100 A,80 A,20 Amsxxxx，根据题意得 由公式1可知，最大绝对误差为%100 1.0%1 Ammxx s 他们的相对误差分别为 111100%100%1%100mxxrx 221100%100%1.25%80mxxrx 331100%100%5%20mxxrx 可见，在同一标称范围内，测量值越小，其相对误差越大。【解】【解】误差理论与数据处理为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都
10、将引入测量误差。主要来源 测量装测量装置误差置误差 测量环测量环境误差境误差 测量方测量方法误差法误差 测量人测量人员误差员误差 误差理论与数据处理测量装置误差测量装置误差标准器件误差仪器误差附件误差以固定形式复现标准量值的器具，如标准电阻、标准量块、标准砝码等等，他们本身体现的量值，不可避免地存在误差。一般要求标准器件的误差占总误差的1/31/10。测量装置在制造过程中由于设计、制造、装配、检定等的不完善，以及在使用过程中，由于元器件的老化、机械部件磨损和疲劳等因素而使设备所产生的误差。测量仪器所带附件和附属工具所带来的误差。设计测量装置时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差 组成设备的主
11、要零部件的制造误差与设备的装配误差 设备出厂时校准与定度所带来的误差 读数分辨力有限而造成的读数误差 数字式仪器所特有的量化误差 元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差 误差理论与数据处理测量环境误差测量环境误差指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。对于电子测量，环境误差主要来源于环境温度、电源电压和电磁干扰等 激光光波比长测量中，空气的温度、湿度、尘埃、大气压力等会影响到空气折射率，因而影响激光波长，产生测量误差。高精度的准直测量中，气流、振动也有一定的影响 误差理论与数据处理测量方法误差测量方法误差 指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差，又称为理论误差/2 2F
12、K UU21.11U如用均值电压表测量交流电压时，其读数是按照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式中出现无理数和，故取近似公式，由此产生的误差即为理论误差。误差理论与数据处理测量人员误差测量人员误差测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。为了减小测量人员误差，就要求测量人员要认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量结果。误差理论与数据处理系统误差系统误差（Systematic ErrorSystematic Error）在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。定义定
13、义特征特征 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。误差理论与数据处理用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差刻线尺的温度变化引起的示值误差系统误差举例 在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测量器具的偏移偏移或偏畸偏畸（Bias）。由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设
14、法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。具体可见第五章。误差理论与数据处理按对误差掌握程度，系统误差可分为按对误差掌握程度，系统误差可分为 误差绝对值和符号已经明确的系统误差。已定系统误差：已定系统误差：举例：举例：直尺的刻度值误差 误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。未定系统误差：未定系统误差：误差理论与数据处理按误差出现规律，系统误差可分为按误差出现规律，系统误差可分为 误差绝对值和符号固定不变固定不变的系统误差。不变系统误差：不变系统误差：举例：举例：砝码质量、热膨胀误差 误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规
15、律系统误差。变化系统误差：变化系统误差：误差理论与数据处理随机误差（随机误差（Random ErrorRandom Error）测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。定义定义特征特征 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。产生原因产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。误差理论与数据处理随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能用实验的方法加以消除。但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种
16、统计规律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。具体见第三章。随机误差的性质随机误差的性质误差理论与数据处理粗大误差（粗大误差（Gross ErrorGross Error）指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。定义定义产生原因产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故
17、应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。具体见第四章。误差理论与数据处理三类误差的关系及其对测得值的影响三类误差的关系及其对测得值的影响 标准差期望值 均值 某次测得值 奇异值 系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验后确定。f x()_33+误差理论与数据处理 如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，该电表的刻度误差就会造成被校准
18、的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。误差性质的相互转化误差性质的相互转化误差理论与数据处理 这一节将介绍测量误差的评定参数及与误差的关系。误差理论与数据处理当只考虑系统误差的大小时，准确度称为准确度。准确度准确度（Correctness）只考虑随机误差的大小时，准确度称为精密度。精密度精密度（Precision）精确度精确度（Accuracy）表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。就误差分析而言，精确度是测量结果中系统误差和随机误差的综合
19、，误差大，则精确度低，误差小，则精确度高。精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10-5。误差理论与数据处理准确度、正确度和精密度三者之间的关系准确度、正确度和精密度三者之间的关系(a)(b)(c)弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，正确度高。弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，正确度低。弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、正确度都高，从而准确度亦高。误差理论与数据处理指在相同条件下在短时间内对同一个量进行多次测量所得测量结果之间
20、的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。重复性重复性（Repeatability）指在变化条件下，对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。复现性也称为再现性。复现性复现性（Reproducibility）常用质量名词术语误差理论与数据处理指测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。它可以用几种方式来定量表示，如用计量特性变化某个规定的量所经过的时间；或用计量特性经规定的时间所发生的变化等。稳定性稳定性（Stability）指测量仪器的示值与对应输入量的真值之差。由于真值不能确定，故在实际应用中常采用约定真值。示值误差示值误差（Error of I
21、ndication）常用质量名词术语误差理论与数据处理指测量仪器示值的系统误差。通常用适当次数重复测量的示值误差的平均来估计。偏移偏移（Bias）指对于给定的测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。有时也称为允许误差限。最大允许误差最大允许误差（Maximum Permissible）与测量结果相关联的、用于合理表征被测量值分散性大小的参数。它是定量评定测量结果的一个重要质量指标。不确定度不确定度（Uncertainty）常用质量名词术语误差理论与数据处理 这一节将介绍有效数字的定义、数字的射入原则和数据的运算原则。误差理论与数据处理一、有效数字一、有效数字 含有误差的任何数，如果其绝对误差
22、界是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。测量结果保留位数的原则1：最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。测量结果保留位数的原则2：在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一维数字作为参考。误差理论与数据处理二、数字舍入规则二、数字舍入规则 计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整：1.若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。2.若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数减1。3.若
23、舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。误差理论与数据处理三、数字运算规则三、数字运算规则 1.在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有残余运算的数字，在有效数字后可多保留一维数字作为参考数字（或称为安全数字）。2.在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。3.在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。4.在近似数平方或开方运算时，近似数的选取与乘除运算相同。误差理论与数据处理5.在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用（n+1）位对数表，以免损失精度。6.三角函数运算时，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多，其对应关系：
