1、第四章第四章随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统11/26/202213.1 3.1 线性系统基本理论线性系统基本理论3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统3.3 随机序列通过离散时间系统随机序列通过离散时间系统2系统可分为：系统可分为：（1）线性系统：线性放大器、线性滤波器）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器）非线性系统：限幅器、平方律检波器对于线性系统：对于线性系统：已知已知系统特性系统特性和和输入信号的统计特性输入信号的统计特性，可以求出可以求出输出信号的统计特性输出信号的统计特性所研究的系统：所研究的系统：单输入单输出（响应）
2、单输入单输出（响应）连续或离散连续或离散线性时不变线性时不变物理可实现（因果性）物理可实现（因果性）稳定性稳定性3连续时间系统：输入和输出都是连续时间信号；连续时间系统：输入和输出都是连续时间信号；离散时间系统：输入和输出都是离散时间信号。离散时间系统：输入和输出都是离散时间信号。连续与离散系统：连续与离散系统：（1）线性性：线性性：（2）时不变：）时不变：线性时不变系统：线性时不变系统：1212()()()()L ax tbx taL x tbL x t称作算子L00()()y ttL x tt4什么是线性系统？什么是线性系统？时不变线性系统时不变线性系统连续时不变线性系统连续时不变线性系统
3、离散时不变线性系统离散时不变线性系统5时不变时不变线性线性系统系统若任意常数若任意常数a,b,输入信号输入信号x1(t),x2(t),有有Lax1(t)+bx2(t)=aLx1(t)+bLx2(t)若输入信号若输入信号x(t)时移时移C,输出输出y(t)也只引时移也只引时移C，即，即y(t-C)=Lx(t-C)L.x(t)y(t)=Lx(t)什么是线性系统？什么是线性系统？6连续连续时不变时不变线性线性系统系统h(t)x(t)y(t)=x(t)*h(t)什么是线性系统？什么是线性系统？)()()()()()()(thtxdthxdhtxty73.1.2 连续时不变线性系统的分析方法连续时不变线
4、性系统的分析方法83.1.3 离散时不变线性系统的分析方法离散时不变线性系统的分析方法93.1.4 卷积积分回顾卷积积分回顾tftf21 dtff21 1212ftftfftd 1.卷积积分计算卷积积分计算 1212-ftftfftd 102.冲激函数性质冲激函数性质113.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统123.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出信号的均值、输出信号的均值2、输出信号的自相关函数、输出信号的自相关函数3、输入信号与输出信号之间的互相关函数、输入信号与输出信号之间的互相关函数3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统13：1、输出信号的均值
5、、输出信号的均值3.2.1 时域分析法时域分析法2、输出信号的自相关函数、输出信号的自相关函数输入信号的自相关函数输入信号的自相关函数RX输出信号的自相关函数输出信号的自相关函数RY，即：，即：Y1212(,)Y()Y()Rt tEtt12X12()()(,)h th tRt t14输入输入x(t)与输出与输出y(t)的的互相关函数互相关函数RXY输出输出y(t)的自相关函数的自相关函数 RY 2、输出信号的自相关函数、输出信号的自相关函数3.2.1 时域分析法时域分析法t时刻的Xt+时刻的Y以以Y Y为计时起点，为计时起点，则-时刻的Xt时刻的Yt+时刻的X以以Y Y为计时起点，为计时起点，
6、则+时刻的X153、输入、输入X与输出与输出Y之间的互相关函数之间的互相关函数RXY3.2.1 时域分析法时域分析法t时刻的Xt+时刻的Y若以X为计时起点，则+时刻的Yt时刻的Yt+时刻的X若以X为计时起点，则-时刻的Y16小小 结结Y12(,)Rt t12X12()()(,)h th tRt t X()*()Ymtmth t输出均值输出均值输入输出互相关函数输入输出互相关函数XY12X122(,)(,)*()Rt tRt th tYX12X121(,)(,)*()Rt tRt th t输出自相关函数输出自相关函数1XY12()(,)h tRt t2YX12()(,)h tRt tYX0()m
7、mhd平稳随机信号平稳随机信号XY()R)()(hRXYX()RX()()RhYX()()()()RRhhXYYX()()()()RhRh17解：解：tYEtmY duutXuhE0 duutXEuh0tBMEutXE20cos5ME tmY duuh05dtet010105518(1)输出信号均值输出信号均值 tYEtmY duutXuhE0 duutXEuh0 duuhmX0Xm19 dudvvtXutXEuhvh 00 dudvvuRuhvhX 00 dudvvuNuhvh 0002 dvduvuNvhuh0002 duuhuhN0020dubebeNubbu002dueebNbub02
8、202bebN40(2)输出自相关函数输出自相关函数 tYtYERY dvvtXvhduutXuhE0020(3)输出平均功率输出平均功率 400bNRQY(4)输入输出互相关函数输入输出互相关函数 hRRXXY duuRuhX0 duuNuh002 其它,00,20hN XYYXRR0,20,00hN21 hRRXXY duuNuh002 0,20hN 0,20XYRNh当当输输入信号带宽远大于系统带宽时，输入信号入信号带宽远大于系统带宽时，输入信号白噪声。白噪声。22前提前提:系统处于稳定状态时，系统处于稳定状态时，t=0系统输出响应也已处于稳态系统输出响应也已处于稳态 3.2 随机信号通
9、过连续时间系统随机信号通过连续时间系统233.2.2 频域分析法频域分析法3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统 1、输出信号的均值、输出信号的均值 2、输出信号的功率谱密度、输出信号的功率谱密度 3、输入信号与输出信号的互谱密度、输入信号与输出信号的互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换的关系、拉氏变换与付氏变换的关系 241、输出信号的均值、输出信号的均值00()()(0)YXXXmmhdm Hm H thtmtmXY HmmXY对于平稳随机信号对于平稳随机信号x(t)：3.2.2 频域分析法频域分析法3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统252、输出的功率谱
10、密度、输出的功率谱密度SYYX()()()()SsSs H s Hs 3.2.2 频域分析法频域分析法3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统3、输入与输出的互谱密度、输入与输出的互谱密度SXY/SYXXYX()()()SSHYXX()()()SSHYXYYX()()()()()SSHSHYXYYX()()()()()SsSs HsSs H s hRRXXY hRRXYXx为起点为起点26 27283.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出序列的均值、输出序列的均值 2、输入序列与输出序列的互相关函数、输入序列与输出序列的互相关函数 3、输出序列的自相关函数、输出序列的自相关函
11、数3.3 随机序列通过离散时间系统随机序列通过离散时间系统 平稳随机序列平稳随机序列类似于类似于平稳随机信号。平稳随机信号。293.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出序列的均值、输出序列的均值3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 2、输入与输出的互相关函数、输入与输出的互相关函数RXY/RYX XYXX0()()()()*()kRmh k Rmkh mRmYXXX0()()()()*()kRmh k RmkhmRm303.3.1 时域分析法时域分析法 3、输出序列的自相关函数、输出序列的自相关函数 313.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离
12、散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 1、输出序列的功率谱密度、输出序列的功率谱密度 2、输出序列的自相关函数、输出序列的自相关函数 3、输出序列的平均功率、输出序列的平均功率323.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析1、输出序列的功率谱密度、输出序列的功率谱密度33343.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析2、输出序列的自相关函数、输出序列的自相关函数353.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析
13、 3、输出序列的平均功率、输出序列的平均功率R(0)2111()()()()2XlE YnH z H zSz z dzj 22X1()()()2jE YnH eSd 式中 l 代表 z 平面上的单位圆 3637解:由题知 91064244ssssSY33118888ssssjsjsss sSY sSsHY例例 设计一稳定线性系统设计一稳定线性系统,使其在具有单位谱的白噪声使其在具有单位谱的白噪声激励下输出谱为激励下输出谱为:91064244YS3188ssjss3188ssjss383.3.3 色噪声和白化滤波器色噪声和白化滤波器 问题：如何设计一个线性系统，使输入为白噪声时，输出问题：如何设
14、计一个线性系统，使输入为白噪声时，输出信号具有所希望的功率谱密度？信号具有所希望的功率谱密度？问题：如何设计一个线性系统，将色噪声转化为白噪声问题：如何设计一个线性系统，将色噪声转化为白噪声(即白化滤波器即白化滤波器)391.色噪声的产生色噪声的产生设输入信号为具有单位功率谱密度的白噪声，则系统输出信号的功率谱密度为 sHsHsSsSXY sHsH 2HSY 1zHzHzSzSXY2jjYeHeS 1zHzH402.白化滤波器白化滤波器41例例 求功率谱密度为求功率谱密度为 的白化滤波器的白化滤波器.cos25.1cos4.004.1XS cos25.1cos4.004.1XS解解:jwjwj
15、wjweeee5.025.12.004.1 115.025.12.004.1zzzzzSX115.05.02.02.0zzzz 5.02.0zzzSX 2.05.01zzzSzHX42例例3.9 求功率谱密度为求功率谱密度为 的白化滤波器的白化滤波器.9322XS解解:33sssSX 331sssSsHX 9322XS 9322sssSXssss333343白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析)(H)(sH设连续线性系统的传递函数为设连续线性系统的传递函数为 ，或或X()S20N其输入白噪声功率谱密度为其输入白噪声功率谱密度为 ，系统输出的功率谱密度为系统输出的功率谱密度为 20Y()
16、()2NSH或物理谱密度为或物理谱密度为2Y0()()GHN0注意注意：该式表明，若输入信号是具有均匀谱的白噪声，该式表明，若输入信号是具有均匀谱的白噪声，则输出信号的功率谱密度主要由则输出信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性系统的幅频特性决定。决定。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过。只允许与其频率特性一致的频率分量通过。44白噪声通过线性系统，可得所需的随机信号。白噪声通过线性系统，可得所需的随机信号。该该随机信号特性随机信号特性完全由完全由系统特性系统特性决定，决定，所以，随机信号可用系统的传递函数所以
17、，随机信号可用系统的传递函数/系统函数表征系统函数表征（即（即随机信号的参数模型随机信号的参数模型）20Y()()4jNRHed输出自相关函数为输出自相关函数为 输出平均功率为输出平均功率为2200(0)()()2YNRE YtHd 453.4 平稳随机序列的参数模型平稳随机序列的参数模型平稳随机序列的特征描述：平稳随机序列的特征描述：时域特征参数：均值、均方值（平均功率）、方差、时域特征参数：均值、均方值（平均功率）、方差、自相关、自协方差自相关、自协方差频域特征参数：功率谱密度频域特征参数：功率谱密度平稳随机序列的参数模型：平稳随机序列的参数模型：从实验角度，描述平稳随机序列。从实验角度，
18、描述平稳随机序列。同样的白噪声信号同样的白噪声信号w(n)输入不同的线性系统输入不同的线性系统h(n)，就，就可得不同的平稳随机序列可得不同的平稳随机序列x(n)。可见，平稳随机序列可见，平稳随机序列x(n)的特征由线性系统决定。的特征由线性系统决定。即线性系统的系统函数即线性系统的系统函数H(Z)可用来描述平稳随机序可用来描述平稳随机序列。故列。故H(Z)就是平稳随机序列的参数模型。就是平稳随机序列的参数模型。463.4 平稳随机序列的参数模型平稳随机序列的参数模型473.4.1 滑动平均模型滑动平均模型-Moving Average 简称简称MA模型模型483.4.1 滑动平均模型滑动平均
19、模型-Moving Average 简称简称MA模型模型493.4.2 自回归模型自回归模型(常用常用)-Autoregressive 简称简称AR模型模型50 AR模型的参数估计可以归结为模型的参数估计可以归结为求解一组线性方程组求解一组线性方程组，计算简单。，计算简单。因此，因此，AR模型的应用最广。模型的应用最广。5152如如AR参数模型参数模型533.4.3 自回归自回归滑动平均模型滑动平均模型Autoregressive Moving Average 简称简称ARMA模型模型54553.5平稳随机序列参数模型的适应性平稳随机序列参数模型的适应性3.5.1 有限阶的有限阶的MA信号模型
20、信号模型56任一任一MA序列都可以用无限阶的序列都可以用无限阶的AR信号模型表示，信号模型表示，或者可以用足够大阶数的或者可以用足够大阶数的AR信号模型近似表示。信号模型近似表示。3.5.2 无限阶的无限阶的AR信号模型信号模型3.5平稳随机序列参数模型的适应性平稳随机序列参数模型的适应性57任一任一ARMA序列都可以用无限阶的序列都可以用无限阶的AR信号模型表示信号模型表示3.5.2 无限阶的无限阶的AR信号模型信号模型3.5平稳随机序列参数模型的适应性平稳随机序列参数模型的适应性583.5.3 无限阶的无限阶的MA信号模型信号模型任一任一ARMA序列都可以用无限阶的序列都可以用无限阶的MA
21、信号模型表示信号模型表示3.5平稳随机序列参数模型的适应性平稳随机序列参数模型的适应性593.5.4 总结总结三种信号模型可互相转换，具有普遍适应性。三种信号模型可互相转换，具有普遍适应性。同一序列可用不同信号模型表示，但效率有差别。同一序列可用不同信号模型表示，但效率有差别。模型系数越少，效率越高。模型系数越少，效率越高。AR模型适合：功率谱仅有尖峰的信号模型适合：功率谱仅有尖峰的信号MA模型适合：功率谱仅有深谷的信号模型适合：功率谱仅有深谷的信号ARMA模型适合：功率谱有尖峰有深谷的信号模型适合：功率谱有尖峰有深谷的信号所谓适合，即该方法的模型系数少，效率高。所谓适合，即该方法的模型系数少
22、，效率高。值得注意的是，值得注意的是，AR模型计算简单，为工程上常用模型计算简单，为工程上常用，工程师宁愿阶数高，系数多，以求更近似表达。工程师宁愿阶数高，系数多，以求更近似表达。3.5平稳随机序列参数模型的适应性平稳随机序列参数模型的适应性603.6 随机序列参数模型与功率谱、自相关函数随机序列参数模型与功率谱、自相关函数 平稳随机序列以三种不同的方式描述，平稳随机序列以三种不同的方式描述，从不同角度说明其统计特性。从不同角度说明其统计特性。自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换。自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换。3.6.1 如果已知系统函数如果已知系统函数H(Z)和白噪声信号和白噪声
23、信号w(n),则可以则可以求得实平稳随机序列的功率谱密度求得实平稳随机序列的功率谱密度PXX。613.6.2 如果已知实平稳随机序列的功率谱密度如果已知实平稳随机序列的功率谱密度PXX，求，求线性系统的系统函数线性系统的系统函数H(Z)有理谱信号：白噪声通过线性稳定系统后所产生的随机信号有理谱信号：白噪声通过线性稳定系统后所产生的随机信号623.6.2 如果已知实平稳随机序列的功率谱密度如果已知实平稳随机序列的功率谱密度PXX，求，求线性系统的系统函数线性系统的系统函数H(Z)谱分解定理：谱分解定理：633.6.2 如果已知实平稳随机序列的功率谱密度如果已知实平稳随机序列的功率谱密度PXX，求
24、，求线性系统的系统函数线性系统的系统函数H(Z)由谱分解定理可得以下推论：由谱分解定理可得以下推论：1）在谱分解定理的约束条件下，由信号）在谱分解定理的约束条件下，由信号X(n)的功率谱密度的功率谱密度PXX只能分解出唯一的零极点在单位圆内的稳定系统只能分解出唯一的零极点在单位圆内的稳定系统H(Z)2）所分解出的系统）所分解出的系统H(Z)一定是最小相位系统（所有零点都在一定是最小相位系统（所有零点都在单位圆内），即系统具有可逆性。单位圆内），即系统具有可逆性。3）已知随机信号的功率谱）已知随机信号的功率谱PXX，可按照谱分解定理，求得，可按照谱分解定理，求得该随机序列的参数模型该随机序列的参数模型H(Z)4)已知随机序列参数模型已知随机序列参数模型H(Z)，求该随机信号的的功率谱，求该随机信号的的功率谱PXX，这种计算则更容易些。这种计算则更容易些。646566方法方法2：谱分解：谱分解6768谱分解的步骤69
