1、探究探究1：圆是不是轴对称图形呢？它有多少条圆是不是轴对称图形呢？它有多少条对称轴？对称轴？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴都是它的对称轴.BA.OCDO.CAEBDCD与与AB不垂直不垂直CDAB直径直径CD与弦与弦AB的相交时有几种情况？的相交时有几种情况？思考：图中有没有思考：图中有没有相等的线段相等的线段、相等的弧相等的弧？怎样证明我们的猜想呢？怎样证明我们的猜想呢？探究探究2：在垂径定理的使用中，常作出圆心到弦的垂线、作EFAB于E，EFCD于F在圆O中，AB、AC是互相垂直且相等的弦，ODAB于D，OEAC与E.CF=DF=
2、5作EFAB于E，EFCD于F注意：定理中的两个条件符合垂径定理的基本图形作EFAB于E，EFCD于FRtCOF中：OF=RtAOE中：OE=半径、圆心到弦的距离、弦的一半 CG=DG（垂径定理）作EFAB于E，EFCD于F作EFAB于E，EFCD于FOEAC,ODAB AE/OG/BF则OD=_，CD=_.2 m，求桥拱的半径吗？(1)若AB=8，OD=3,2 m，求桥拱的半径吗？下列图形是否具备垂径定理的条件？RtAOC中，由勾股定理得：OC4厘米AE CE=BE DE圆是不是轴对称图形呢？它有多少条对称轴？但不如用垂径定理简便.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径,_,并且并
3、且_,_平分优弧平分优弧 平分劣弧平分劣弧平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧平分弦平分弦O.CAEBD题设题设结论结论直径直径垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分优弧平分优弧 平分劣弧平分劣弧符号语言：符号语言：CD CD是直径，是直径，CDABCDAB AE=BE,AE=BE,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCAB注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件过圆心（直径），垂直于弦过圆心（直径），垂直于弦 缺一不可！缺一不可！DOBAC是是OBAC是
4、是例例1：如图，已知在：如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为6厘厘米，圆心米，圆心O到到AB的距离为的距离为4厘米，求厘米，求 O的的半径。半径。解：连结解：连结OA，过点，过点O作作OEAB.ABOEBEAE 3(垂径定理垂径定理)OE4厘米厘米RtAOE中，由勾股定理得：中，由勾股定理得：OA5厘米厘米 答：答：O的半径为的半径为5厘米。厘米。34?ABCDOABCDO练习练习2：如图，：如图，OCAB于于D，快速填空：，快速填空：(1)若若AB=8，OD=3,则则OC=_.(2)若若OC=5，AB=6，则则OD=_，CD=_.543?53?41练习练习2：如图，：如图，OCAB于
5、于D，快速填空：，快速填空：(3)若若OC=5，OD=4，则则AB=_,CD=_.(4)若若AB=6，CD=1，则则OC=_,OD=_22129rrr r210 5 rABCDO54?61ABCDOrr1 222)1(3:,rr 列方程列方程用勾股定理用勾股定理5431归纳特点归纳特点：已知圆已知圆O的的 半径半径OA 弦长弦长AB 圆心到弦的距离（圆心到弦的距离（弦心距弦心距OD）弧的中点弦的距离（弧的中点弦的距离（弓形高弓形高CD）这四条线段中的任何这四条线段中的任何两条两条，利用勾股定理，利用勾股定理可以求出另外两条可以求出另外两条.ABCDO注意：注意：已知已知弦长弦长和和弓形高弓形高
6、时，要时，要用勾股定理用勾股定理列方程列方程.练习练习31.已知圆已知圆O的弦的弦AB=6cm，半径，半径OA=5cm，求圆心，求圆心O到到AB的距离的距离.AB.OC53?解：过点解：过点O作作OCABBCAC 3(垂径定理垂径定理)OA5厘米厘米RtAOC中，由勾股定理得：中，由勾股定理得：OC4厘米厘米 答：圆心答：圆心O到到AB的距离为的距离为4厘米。厘米。练习练习32.已知圆已知圆O的弦的弦AB与半径的长都是与半径的长都是4cm,求求A的的度数、圆心度数、圆心O到到AB的距离的距离.AB.O3432C6021解：连结解：连结OA、OB OA=OB=AB=4厘米厘米 OAB是等边是等边
7、 A=60过点过点O作作OCABRtOAC中，中，AOC=302:3:1:AOOCACcmOC32 EDCOABOBCADDOBCAOBACDOBAC特点：直径或直径的一部分与弦垂直特点：直径或直径的一部分与弦垂直.符合垂径定理的基本图形符合垂径定理的基本图形1.在垂径定理的使用中，常作出在垂径定理的使用中，常作出圆心到弦的垂线圆心到弦的垂线、连接半径连接半径等辅助线等辅助线.2.计算中使用了计算中使用了垂径定理垂径定理和和勾股定理勾股定理.半径半径、圆心到弦的距离圆心到弦的距离、弦的一半弦的一半这三条线段组成直角三角形这三条线段组成直角三角形.O作业作业P87.1.8.9.10.复习巩固：复
8、习巩固：垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径,_,并且并且_,_平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧平分弦平分弦O.CAEBD平分平分_（_）的直径，）的直径，_，并且并且_.推论：推论：弦弦不是直径不是直径垂直于弦垂直于弦平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧书写格式书写格式:CDAB AEBE，ACBC，ADBD.RtCOF中：OF=2 m，求桥拱的半径吗？则OD=_，CD=_.(3)若OC=5，OD=4，(垂径定理)这三条线段组成直角三角形.在圆O中，AB、AC是互相垂直且相等的弦，ODAB于D，OEAC与E.证明：过O作OGCD于GAEEF,OGEF,BFEF则OC=_.例2
9、：O的半径为13cm，弦AB/CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离。RtAOC中，由勾股定理得：OC4厘米答：这段弯路半径为272.求证：四边形ADOE是正方形在垂径定理的使用中，常作出圆心到弦的垂线、半径、圆心到弦的距离、弦的一半AEEF,OGEF,BFEF CD是直径，作EFAB于E，EFCD于F在RtAOD中，根据勾股定理得CF=DF=5作EFAB于E，EFCD于F作EFAB于E，EFCD于F计算中使用了垂径定理和勾股定理.CD是直径，EDCOABOBCADDOBCAOBACDOBAC特点：直径或直径的一部分与弦垂直特点：直径或直径的一部分与弦垂直.符合垂径定理的基本
10、图形符合垂径定理的基本图形辅助线归纳辅助线归纳:解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是_，_等辅助线，为应用垂径定理创造条件。等辅助线，为应用垂径定理创造条件。E.ACDBO.ABO过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线连结半径连结半径例例1:赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度AB为为 37.4 m，拱高，拱高CD为为 7.2 m，求桥拱的半径吗？，求桥拱的半径吗？AB.OCD连接连接OA，由垂径定理得：，由垂径定理得：AD=DB=37.42=18.7解：设圆心为解：设圆心为O、半径为、半径为R的的AB表示主桥拱表示主桥拱连接连接AB，过点，过点O作作OCAB
11、，交，交AB于于D，交，交AB于于C.拱高拱高CD=7.2，OD=R7.27.182.72.7 RR在在RtAOD中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得18.72+(R-7.2)2=R2解得：解得：R27.9答：桥拱的半径约为答：桥拱的半径约为27.9m.练习练习1：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧点：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧点O是这段弧的圆心，是这段弧的圆心，AB=300 m，C是是AB上一点，上一点，OCAB，垂足为，垂足为D，CD=45 m，求这段弯路半径。，求这段弯路半径。AB.OCD1504545 rr解：解：OCAB于于DAD=BD=(垂径定理垂径定理)15030021 CD
12、=45，设半径为，设半径为r，OD=r45在在RtAOD中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得1502+(r-45)2=r2 r=272.5答：这段弯路半径为答：这段弯路半径为272.5m例例2：O的半径为的半径为13cm，弦，弦AB/CD，AB=24cm，CD=10cm，求，求AB和和CD的距离。的距离。ABCDO.EF1251313?FOEOEF :原原理理17125 解：（解：（情况情况1）作作EFAB于于E，EFCD于于FAE=BE=12 CF=DF=5 (垂径定理垂径定理)RtAOE中：中：OE=5121322 RtCOF中：中：OF=1251322 OA=OC=13因此因此 EF=E
13、O+FO=5+12=17作EFAB于E，EFCD于F特点：直径或直径的一部分与弦垂直.练习1：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧点O是这段弧的圆心，AB=300 m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD=45 m，求这段弯路半径。例2：O的半径为13cm，弦AB/CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离。答：桥拱的半径约为27.则OD=_，CD=_.AE=BE=4计算中使用了垂径定理和勾股定理.AE=BE=4 CD是直径，在垂径定理的使用中，常作出圆心到弦的垂线、圆是不是轴对称图形呢？它有多少条对称轴？RtCOF中：OF=练习2：如图，OCAB于D，快速填空：垂直于弦的直径,
14、_,并且_,_练习2：O的半径为5cm，弦AB/CD，AB=8 cm，CD=6 cm，求AB和CD的距离。圆是不是轴对称图形呢？它有多少条对称轴？求证：四边形ADOE是正方形(垂径定理)作EFAB于E，EFCD于F作EFAB于E，EFCD于F 弧的中点弦的距离（弓形高CD）平分_（_）的直径，_，并且_.注意：定理中的两个条件作EFAB于E，EFCD于F作EFAB于E，EFCD于F(1)若AB=8，OD=3,解：设圆心为O、半径为R的AB表示主桥拱在垂径定理的使用中，常作出圆心到弦的垂线、2 m，求桥拱的半径吗？矩形ADOE是正方形在RtAOD中，根据勾股定理得RtAOE中：OE=AEEF,O
15、GEF,BFEFCF=DF=34 m，拱高CD为 7.连接AB，过点O作OCAB，交AB于D，交AB于C.则OD=_，CD=_.垂直于弦的直径,_,并且_,_例2：O的半径为13cm，弦AB/CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离。在圆O中，AB、AC是互相垂直且相等的弦，ODAB于D，OEAC与E.已知圆O的弦AB与半径的长都是4cm,求A的度数、圆心O到AB的距离.RtAOE中：OE=解决有关弦的问题，经常是_，2 m，求桥拱的半径吗？(1)若AB=8，OD=3,(2)若OC=5，AB=6，例2：O的半径为13cm，弦AB/CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和C
16、D的距离。作EFAB于E，EFCD于F 弧的中点弦的距离（弓形高CD）例例2：O的半径为的半径为13cm，弦，弦AB/CD，AB=24cm，CD=10cm，求，求AB和和CD的距离。的距离。ABCDO.EF1313125?EOFOEF :原原理理7512 解：（解：（情况情况2）作作EFAB于于E，EFCD于于FAE=BE=12 CF=DF=5 (垂径定理垂径定理)RtAOE中：中：OE=5121322 RtCOF中：中：OF=1251322 OA=OC=13因此因此 EF=FOEO=125=7练习练习2：O的半径为的半径为 5 cm，弦，弦AB/CD，AB=8 cm，CD=6 cm，求，求A
17、B和和CD的距离。的距离。ABCDO.EF4355?FOEOEF :原原理理743 解：（解：（情况情况1）作作EFAB于于E，EFCD于于FAE=BE=4 CF=DF=3 (垂径定理垂径定理)RtAOE中：中：OE=34522 RtCOF中：中：OF=43522 OA=OC=5因此因此 EF=EO+FO=3+4=7练习练习2：O的半径为的半径为5cm，弦，弦AB/CD，AB=8 cm，CD=6 cm，求，求AB和和CD的距离。的距离。ABCDO.EF5543?EOFOEF :原原理理134 解：（解：（情况情况2）作作EFAB于于E，EFCD于于FAE=BE=4 CF=DF=3 (垂径定理垂
18、径定理)RtAOE中：中：OE=34522 RtCOF中：中：OF=43522 OA=OC=5因此因此 EF=FOEO=43=1例例3、已知：在以、已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点两点.求证：求证：AC=BD。证明：过证明：过O作作OEAB于于EE.ACDBOAE=BE，CE=DE（垂径定理垂径定理）AE CE=BE DE即：即：AC=BD本题用造三角形全等的方法也可以证明，本题用造三角形全等的方法也可以证明，但不如用垂径定理简便但不如用垂径定理简便.练习练习3.已知已知:AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，B
19、FCD，求证：，求证：ECDF.AOBECDFG证明：过证明：过O作作OGCD于于G CG=DG（垂径定理垂径定理）AEEF,OGEF,BFEF AE/OG/BFAO=BO EG=FGEG CG=FG DG即：即：EC=DF练习练习4.在圆在圆O中，中，AB、AC是互相垂直且相等的弦，是互相垂直且相等的弦，ODAB于于D，OEAC与与E.求证：四边形求证：四边形ADOE是正方形是正方形DAB.OCE证明：证明：ACAB,OEAC,ODAB四边形四边形ADOE是矩形是矩形OEAC,ODABAE=AC，AD=AB（垂径定理垂径定理）2121又又AC=ABAE=AD矩形矩形ADOE是正方形是正方形1.在垂径定理的使用中，常作出圆心到弦的垂线、在垂径定理的使用中，常作出圆心到弦的垂线、连接半径等辅助线连接半径等辅助线.2.计算中使用了垂径定理和勾股定理计算中使用了垂径定理和勾股定理.半径、圆心到弦的距离、弦的一半半径、圆心到弦的距离、弦的一半这三条线段组成直角三角形这三条线段组成直角三角形.O
