1、v 阿贝尔群(Abelian Groups)v 循环群(Cyclic Groups)v 置换群v 小结定义5-5.1 设 是一个群，如果 是一个可交换运算，那么群 就称为可交换群(Commutative Groups)，或称阿贝尔群(Abelian Groups)，或称加法群(Additive Groups)。否则称为不可交换群(Non-commutative Groups)。一、阿贝尔群(Abelian Groups)例1 (a)均为阿贝尔群。(b)设A是任一集合，P表示A上的双射函数集合，则 是一个群，这里“”表示函数复合，f-1是 f 的逆函数，通常这个群不是阿贝尔群。(c)设G=所有n
2、阶可逆方阵，“”是G上的矩阵乘法运算则 是一个群，但它不是阿贝尔群。例2 S=a,b,c,d，f：SS，其中f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a，则f 为集合S到S的一个双射。记 f 1=f，f 2=f f，f 3=f 2 f，f 4=f 3 f，f 0=Is，则 为阿贝尔群。其运算表为：f 0f 1f 2f 3f 0f 0f 1f 2f 3f 1f 1f 2f 3f 0f 2f 2f 3f 0f 1f 3f 3f 0f 1f 2(c)设G=所有n阶可逆方阵，“”是G上的矩阵乘法运算则 是一个群，但它不是阿贝尔群。例2 S=a,b,c,d，f：SS，其中f(a)=b，f(b)
3、=c，f(c)=d，f(d)=a，则f 为集合S到S的一个双射。记 f 1=f，f 2=f f，f 3=f 2 f，f 4=f 3 f，f 0=Is，(c)设G=所有n阶可逆方阵，“”是G上的矩阵乘法运算则 是一个群，但它不是阿贝尔群。例2 S=a,b,c,d，f：SS，其中f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a，则f 为集合S到S的一个双射。记 f 1=f，f 2=f f，f 3=f 2 f，f 4=f 3 f，f 0=Is，则 为阿贝尔群。其运算表为：f 0f 1f 2f 3f 0f 0f 1f 2f 3f 1f 1f 2f 3f 0f 2f 2f 3f 0f 1f 3f
4、3f 0f 1f 2例3 设 是一个独异点，并且对于G中的每一个元素a都有aa=e，则 是一个阿贝尔群。证明 aG，由于aa=e，所以 a-1=a，即G中的每一个元素a都有逆元素，故G,是一个群。又a、bG，ab=a-1b-1=(ba)-1=ba，所以G,是一个阿贝尔群。例4 设G=e,a,b,c，为G上的二元运算，它由下表给出。是4阶循环群。定义5-5.2 设 是群，若G中存在元素a，使得G中每个元素都由a的幂组成，则称 为循环群(Cyclic Groups)，元素a称为该循环群的生成元。二、循环群(Cyclic Groups)eabceeabcaabcebbceacceab生成元为a,c。
5、l 循环群的生成元不是唯一的。答 是循环群，生成元是1和-1。例5 是否是循环群？若是，指出其生成元。(3)(an)-1=(a-1)n（记为a-n）（n为整数）例6(1)令A=2i|iZ，那么A,(为普通的数乘)是循环群，2是生成元(2-1也是生成元)。(2)Z8,+8为循环群，(3)Klein四元群不是循环群。1,7是生成元。eabceeabcaaecbbbceaccbae例5 设“”为矩阵乘法。(1)是否为群？(2)是否为循环群？若是，指出其生成元。所以运算在A上封闭。解 因为m、nZ，因为 ，所以 是幺元。nZ，所以 是 的逆元。矩阵乘法是可结合的。故 是群。nZ，因为所以 是生成元，故
6、 是循环群。定理5-5.2 循环群必定是阿贝尔群。证明 设 是循环群，a为生成元，对于任意的x、yG，必有s、tZ，使得x=as，y=at，所以 xy=asat=as+t=at+s=atas=yx故 为阿贝尔群。练习：设表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能，设是R上的二元运算，ab表示平面图连续旋转a和b得到的总旋转角度，并规定旋转360表示回到原来状态。列出R上的运算表，并证明是循环群。幺元是0,60和300是其生成元定理5-5.3 设 是由a生成的循环群，若|G|=n，则其中，e是 中的幺元，n是使an=e的最小正整数，称n为元素a的阶。（注意：群的阶和元素的阶）(1)an=
7、e；(2)G=a,a2,a3,an-1,an 证明 首先证明mZ+，mn，都有ame。假设mZ+，mn，使得am=e。因为G是循环群，所以G中的元素都能写成ak的形式，kZ。而kZ，有 k=mq+r(0rm)，从而 ak=amq+r=amqar=ar.这样G中至多有m个不同的元素，与|G|=n矛盾。所以 ame(mZ+，mn)。下面证明a、a2、an互不相同。若不然，存在 i、jZ，1ijn，使得 ai=aj,则有 aj-i=e，由于1j-in，这是不可能的，所以 a、a2、an 互不相同。因此 G=a，a2，an-1，an，并且 an=e。证毕。l 该定理表明，对有限循环群，其生成元的阶必定
8、等于该群的阶,生成元用幂生成群中元素，一个不落下，也不会重复，最后生成幺元。0是1阶元60是6阶元120是3阶元180是2阶元240是3阶元300是6阶元生成元是300和60例7 设G，为无限循环群且G=a，则G只有两个生成元a和a-1。证明 首先证明a-1是其生成元。因为a-1 G，须证G a-1。设akG，因为 ak=(a-1)-k，aka-1，从而 G=a-1。再证明G只有两个生成元a和a-1。假设b是G的生成元，则G=b，由aG可知存在整数s，使得a=bs，又由bG可知，存在整数t，使得b=at，有 a=bs=(at)s=ats，由消去律得 ats-1=e。因为G，为无限循环群，所以t
9、s-1=0，从而有t=s=1或t=s=-1。因此b=a或b=a-1。定义5-5.3 设 是有限集合，可记为 ，则 上的一个可逆变换可表示为三、置换群(Permutation Groups)置换群在群论的理论研究和实际应用中都有很重要的作用，任何一个有限群都可用一个置换群表示。记 是 上所有置换的集合，是函数的复合运算，则 构成一个群，称为 n 次对称群（symmetric group）。n 次对称群 的子群称为 n 次置换群(permutation group)。其中 是 的一个全排列，这样的一个可逆变换称为一个n元置换(permutation)。例5.5-9 设 ，则 中共有 个置换：任意两个置换的运算 ，即两个可逆变换的复合，从右往左计算，如：我们看到，在 中 （恒等置换，也称为幺置换）是幺元，在复合运算 下构成置换群。一般地，置换的复合运算不满足交换律。例5.5-10 设 ，记正方形的四个顶点，如图5.2所示，则如下的8个置换在复合运算下构成一个置换群。图5.2 置换 可以看到，分别对应于正方形围绕中心点旋转 ，以及围绕四条对称轴的翻转。三、小结l 本结介绍了阿贝尔群、循环群和置换群的概念及其性质。l 重点掌握循环群的性质。感感 谢谢谢谢，精品课件谢谢，精品课件资料搜集
