1、绪论绪论1课程名称课程名称微积分上微积分上计划学时计划学时80 考核形式考核形式考试（学分）考试（学分）课堂纪律课堂纪律作业问题作业问题课前预习、重点听讲、简记笔记、课前预习、重点听讲、简记笔记、整理咀嚼、后作练习整理咀嚼、后作练习2参参 考考 书书 目目微积分学习指导微积分学习指导高等数学高等数学同济大学数学系同济大学数学系 编（高等教育出版社）编（高等教育出版社）31.基础基础:函数函数,极限极限,连续连续 2.微积分学微积分学:一元微积分一元微积分(上册上册)(下册下册)3.向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何4.无穷级数无穷级数5.常微分方程常微分方程主要内容主要内容多元微积分
2、多元微积分 高等数学研究的主要对象是高等数学研究的主要对象是函数函数，主要研究函数的，主要研究函数的分析分析性质性质（连续、可导、可积等）和（连续、可导、可积等）和分析运算分析运算（极限运算、微分（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是个方法就是极限方法极限方法，也称为，也称为无穷小分析法无穷小分析法。从方法论的观。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学由于高等数学的研究对象和研究方法与初等
3、数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：概念更复杂概念更复杂理论性更强理论性更强表达形式更加抽象表达形式更加抽象推理更加严谨推理更加严谨4 因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。
4、要培养抽象思维和逻辑推理的能力。学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。好了数学。56极限方法极限方法1 1）计算圆的周长计算圆的周长nnrSn sin2,5,4,3 n3S5S4S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn)sinlim 2sinlim 22nnnSnrrrn
5、n7 T0 xxoxy)(xfy CNM.)()(limtan000 xxxfxfkxx 2 2）切线的斜率）切线的斜率8abxyo3)3)计算曲边梯形面积计算曲边梯形面积)(xfy 曲边梯形面积为曲边梯形面积为iniixfA )(lim10 9111242n4)4)无穷级数无穷级数111lim242nn11(1)22lim1112nn10一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的对象的具有某种特定性质的对象的全体全体.组成集合的事物称为该集合的组成集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA)(xPxM P（x）表示元素具有性质）表示元素具有性质,Ma,Ma 第第0 0
6、章章 基本知识基本知识112.2.邻域邻域:.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a).,a(U 记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 xa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a.ax0 x),a(U ,)(邻域的称为点数集aaxx1.定义定义 设设x和和y是两个变量，是两个变量，D是一个给定的数集，是一个给定的数集，若对于若对于x D，变量变量y按照确定的法则总有按照确定的法则总有 确定的数值和它对应，则称确定的数值和它对应，则称y是是x的函数的函数记作记作)(xfy 自变量自变量因变量因变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函
7、数在点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 二、函数二、函数12函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.()D0 xx自变量自变量()W)(0 xfy对应法则对应法则f因变量因变量约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例如，例如，1,1:D211xy 例如，例如，)1,1(:D1314 (1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn15(2)取
8、整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x16 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数17(4)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则对应法则用不同的式子来表示的函数用不同的式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.18三三.函数的几种特
9、性函数的几种特性设函数设函数,)(Dxxfy (1)有界性有界性,Dx,A B使使()Bf xA称)(xfA为上界，为上界，B为下界。为下界。(2)单调性单调性为为有界函数有界函数.当当,21Ixx21xx 时时,)()(21xfxf若称称)(xf为为 I 上的上的单调增函数单调增函数;xy1x2x,)()(21xfxf若称称)(xf为 I 上的单调减函数单调减函数.19xyoxx(3)奇偶性奇偶性,Dx且有且有,Dx若若,)()(xfxf则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若,)()(xfxf则称则称 f(x)为为奇函数奇函数.说明说明:若若)(xf在在 x=0 有定义有定义,.0)0(f
10、)(xf为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有例如例如,2)(xxeexfyxch 偶函数偶函数xyoxexexych双曲余弦双曲余弦 记记20例例1 1 判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性.)1ln()(2xxxfy 解：解：)(1ln()(2xxxf )()1ln(2xfxx f(x)是奇函数是奇函数.例例2 2 设设f(x)在在R R上定义，证明上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。个偶函数的和。证明：设证明：设显然显然 g g(x x)是偶函数，是偶函数，h h(x x)是奇函数是奇函数,而而 )()()(),()()(xfxfxhxfxfxg
11、2)()()(xhxgxf 故命题的证故命题的证.21(4)周期性周期性,0,lDx且且,Dlx)()(xflxf则称则称)(xf为为周期函数周期函数,to)(tf22xo2y2若若称称 l 为为周期周期(一般指最小正周期一般指最小正周期).周期为周期为 周期为周期为2注注:周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期.例如例如,常量函数常量函数Cxf)(狄里克雷函数狄里克雷函数)(xfx 为有理数为有理数x 为无理数为无理数,1,0四四.反函数反函数若函数若函数)(:DfDf为单射为单射,则存在逆映射则存在逆映射DDff)(:1称此映射称此映射1f为为 f 的的反函数反函数.xy
12、DW)(xfy 函数函数oxyDW1()xfy反函数o22习惯上习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成的反函数记成)(,)(1Dfxxfy)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP图形关于直线图形关于直线xy 对称对称.单调性一致单调性一致2324例如例如,),(,xeyx对数函数对数函数),0(,lnxxy互为反函数互为反函数,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线xy 对称对称.指数函数指数函数25例例1 1 证明若函数证明若函数 y=y=f f(x)(x)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数 x=x=f f 1 1(y),(y),则反函数也是奇函数则
13、反函数也是奇函数。证明：证明：).()()()(1111yfxxffxffyf 反函数是奇函数。反函数是奇函数。例例2 2.0101)(2的反函数的反函数求求 xxxxxf解解:当当x x 0 0时时,y,y 1,1,1122 yxxy当当xx0 0时时,y1,x=y-1,y N2 时时,有有2banx收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当使当 n N1 时时,2ba2ab2ab假设假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而从而2banx矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时,max21NNN 取故假设不真故假设不真!nx满足的不
14、等式满足的不等式47azynnnnlimlim)2(两边夹准则两边夹准则),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证证:由条件由条件(2),0,1N当当1Nn 时时,ayn当当2Nn 时时,azn令令,max21NNN 则当则当Nn 时时,有有,ayan,azan由条件由条件(1)nnnzxya a即即,axn故故.limaxnn,2N48lim1(0)nnaa证明(P7)49例例.证明数列证明数列),2,1()1(1nxnn是发散的是发散的.证证:用反证法用反证法.假设数列假设数列nx收敛收敛,则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在.取取,21则存在则存在 N,2121axan但因但因n
15、x交替取值交替取值 1 与与1,),(2121aa内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在21a21aa长度为长度为 1 的开区间的开区间 使当使当 n N 时时,有有因此该数列发散因此该数列发散.50例例(P10)(P10)证明证明 若若X2k-1a,Xa,X2k2ka(k),a(k),则则数列数列Xn收敛于收敛于a。证：对任证：对任0,0,K1,当当kK1 时时X2k 落在落在a-,a+,a+即即满足满足|2k2k-a|-a|(1)(1)K2当当kK2时时X2k-1 落在落在a-,a+,a+即即满足满足|2k-12k-1-a|-a|(2)(2)取取N=max2KN=max2K1
16、1,2K,2K2 2-1,-1,当当nN,必有必有XnXn落在落在a-,a+,a+即即满足满足|n n-a|-a|51例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limnnnnn ,1 由夹逼定理得由夹逼定理得.1)12111(lim222 nnnnn5212,12,1)2()1(1knnknxnxnnn例例 讨论下列极限讨论下列极限：（1）(3(3）设）设x x1 1=1,x=1,xn+1n+1=1+2x=1+2xn n(n=1,2(n=1,2)讨论讨论limnnx111111(4)lim()limlimlim0nnnnnnnnnn(5)(5)若等比级数若等比级数limnnxa11limlim1limnnnnnnnxxaxxa111.lim()322nnnnnn222122.limnnnnn3.lim(1)nnnn 例题例题祝您成功！
