1、光的衍射教学目标：教学目标：了解光的衍射现象，注意区分菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射；了解光的衍射现象，注意区分菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射；理解惠更斯理解惠更斯-斯涅耳原理；掌握夫琅禾费单缝衍射、圆孔衍射斯涅耳原理；掌握夫琅禾费单缝衍射、圆孔衍射的光强分布及其计算公式；熟练掌握平面衍射光栅的基本原理的光强分布及其计算公式；熟练掌握平面衍射光栅的基本原理应用、光栅方程、缺级和谱线半角宽度的概念和计算。应用、光栅方程、缺级和谱线半角宽度的概念和计算。内容分析：内容分析：第一单元（第一单元（1 1）：惠更斯）：惠更斯-斯涅耳原理；斯涅耳原理；第二单元（第二单元（2 2）：斯涅耳原理；）：斯涅耳原理；第三单元
2、（第三单元（3 35 5）：夫琅禾费衍射。）：夫琅禾费衍射。衍射现象 光的衍射：光绕过障碍物偏离直线传播方向光的衍射：光绕过障碍物偏离直线传播方向进入几何阴影进入几何阴影并在空间出现并在空间出现光强不均匀分布光强不均匀分布的现象。的现象。衍射现象菲涅耳惠更斯：惠更斯：任何时任何时刻刻波面波面上的每一上的每一点都可作为次波点都可作为次波的波源，各自发的波源，各自发出球面次波；在出球面次波；在以后的任何时刻，以后的任何时刻，所有这些次波波所有这些次波波面的面的包络面包络面形成形成该时刻的新波面该时刻的新波面 1690年年惠更斯原理惠更斯原理成功处：成功处：成功地解释了光的直线传播、反射、折射和双折
3、射等现象成功地解释了光的直线传播、反射、折射和双折射等现象惠更斯原理的惠更斯原理的局限性：局限性：只能定性说明光的衍射现象只能定性说明光的衍射现象不能说明振幅和相位的变化不能说明振幅和相位的变化不能解释的光的干涉现象不能解释的光的干涉现象不能解释衍射的光强分不能解释衍射的光强分1 1、波面、波面S上所有的面元上所有的面元dS发出发出的次波都有相同的初位相。的次波都有相同的初位相。2 2、次波在、次波在P点的振动的振幅与点的振动的振幅与dS成成正比，而与正比，而与r成反比（球面成反比（球面次波）。次波）。3 3、次波在、次波在P点的振动的振幅还点的振动的振幅还与与（）有关。）有关。4 4、次波在
4、、次波在P点的相位由光程点的相位由光程来决定。来决定。nr 在惠更斯原理的基础上，引入相位和振幅的定量表达式，在惠更斯原理的基础上，引入相位和振幅的定量表达式，增加增加“次波相干叠加次波相干叠加”原理。菲涅耳提出：原理。菲涅耳提出：),(rn惠更斯惠更斯-菲涅耳原理：菲涅耳原理：rPSdSN 波面微元波面微元dS在在P点产生的振动为：点产生的振动为：dStkrrQAKCdE)cos()()(整个波面整个波面S 在在P 的振动的振动：SdStkrrQAKCE)cos()()(菲涅耳积菲涅耳积分分为比例因子，为倾斜因子，其随为比例因子，为倾斜因子，其随增大增大而减小。而减小。描述波面上振幅不均匀的
5、情况，描述波面上振幅不均匀的情况，称分布函数。称分布函数。()A Q()K（次波相干叠加的结果）（次波相干叠加的结果）利用积分理论上可以算出任何情况下的振动，但实际上，由于积分函数利用积分理论上可以算出任何情况下的振动，但实际上，由于积分函数很复杂，不能由积分得到结果。对于具有旋转对称性的波面，则可用代数加很复杂，不能由积分得到结果。对于具有旋转对称性的波面，则可用代数加法或矢量加法代替积分求振动。法或矢量加法代替积分求振动。两类衍射 任何相邻半波带对应部分所发出的次波到达任何相邻半波带对应部分所发出的次波到达P点的点的光程差为光程差为/2，相位差为相位差为,环形带称为菲涅耳半波带环形带称为菲
6、涅耳半波带。N个半波带的发次波在个半波带的发次波在P点叠加的合振幅点叠加的合振幅ANnaN：第：第N个半波带所发在个半波带所发在P点的次波振幅点的次波振幅n“”：相邻两个半波带所发次波到达相邻两个半波带所发次波到达P点相位差为点相位差为 NNNaaaaaaA154321)1(.NPrNB0BNr0RONS按惠更斯菲涅耳原理按惠更斯菲涅耳原理aN为为)1(,)(NNNNrSKa球冠的面积为球冠的面积为由余弦定理可得由余弦定理可得)3(,)(2)(cos02202rRRrrRRN讨论讨论aN的大小的大小 21 cos,2SRRNPrNB0BNr0RONS(2)2)、(3)(3)两式分别微分，并化简
7、可得两式分别微分，并化简可得)4(,20rRRdrrdSNN由于由于rN 远大于远大于，故，故drN/2，dS看作是半波带的面积，则有看作是半波带的面积，则有)5(,0rRRrSNN)2(),cos1(2RRS)3(,)(2)(cos02202rRRrrRRN)5(,0rRRrSNN由此可见，由此可见，SN/rN 与与N无关，则各个半波带对无关，则各个半波带对AN 的影响的影响仅与倾斜因子仅与倾斜因子K(N)有关；有关；K(N)随随N的增大的增大(增大增大)而缓慢减小，故而缓慢减小，故aN将随将随N的增的增大而缓慢减小。大而缓慢减小。结论结论：各个波带所发次波，传到：各个波带所发次波，传到P点
8、时点时 振幅振幅aN，随随N的增大而的增大而缓慢减小缓慢减小；相位相位逐个逐个相差相差。隅隅数数：奇奇数数：NNaaaaANNNP),(21)1(21111所有次波在所有次波在P点的合振幅为点的合振幅为 应用惠更斯菲涅耳原理来计算从点光源发出的光传播到任一应用惠更斯菲涅耳原理来计算从点光源发出的光传播到任一点点P时的振幅时的振幅，只要把球面波相对于，只要把球面波相对于P分成半波带，将第一个分成半波带，将第一个和最后一个（第和最后一个（第N个）带所发出的次波的振幅个）带所发出的次波的振幅相加或相减相加或相减即可即可。N与与N间的关系间的关系 图示图示O为点光源，为点光源，DD 为光阑，其上有一为
9、光阑，其上有一半径为半径为N的圆孔，的圆孔，S为通为通过圆孔的波面过圆孔的波面球冠球冠(球球冠的高为冠的高为h)，P为为圆孔圆孔对称由上任意一点。对称由上任意一点。由几何知识可得由几何知识可得 ),(,2)()2()(2220020202022NhhrNrhrNrrhrNN略去二阶小量20NrrN首先考虑通过圆孔首先考虑通过圆孔N个完整菲涅耳半波带个完整菲涅耳半波带。图中。图中RSOPNB0r0rNBAN个完整个完整菲涅菲涅耳耳半波带数半波带数hBB 00rh DD 又又RhhRRNN2)(2222 由以上两式可得由以上两式可得)11(02RrNNhrNrN0022讨论：讨论：对对 P 点若点
10、若S 恰好分成恰好分成 N 个半波带时：个半波带时：)(211NPaaAN为奇数为奇数)(211NPaaA)(211NPaaA最大最大N为偶数为偶数最小最小 对对P 若若S中中还含有不完整的半波带时还含有不完整的半波带时：)(21)(2111NPNaaAaa光强介于最大光强介于最大和最小之间和最小之间kPrkB0Bkr0ROkS思考：思考：证明当光波波长比考察点到波面的距离小得证明当光波波长比考察点到波面的距离小得多时，各菲涅尔波带的面积相等。多时，各菲涅尔波带的面积相等。h r0 对衍射现象的影响对衍射现象的影响PHS k 对衍射现象的影响对衍射现象的影响 光源对衍射现象的影响光源对衍射现象
11、的影响 轴外点轴外点Q的衍射的衍射 如图，设通过圆孔的部分波面上有如图，设通过圆孔的部分波面上有k个完整的菲涅耳波带，个完整的菲涅耳波带，第第k个波带对应的圆孔半径个波带对应的圆孔半径:hrrkhrrkrhrrrhrrkkk00020200202202222)2(2)(RhhRRk2)(222002rRRrkkrkr0B0RhOS r0对衍射现象的影响对衍射现象的影响)11(02Rrkkn随随r0增大增大,k 减小减小,菲涅耳衍射效应显著；菲涅耳衍射效应显著；n当当r0大到一定程度时大到一定程度时,r0,露出的波带数露出的波带数k不变化，且为不变化，且为n当波长当波长、R、k 给定后，由给定后
12、，由nP点的振幅与点的振幅与P点的位置点的位置r0有关，即移动观察屏，有关，即移动观察屏，P点出点出现明暗交替变化；现明暗交替变化；n称为菲涅耳数，它是一个描述圆称为菲涅耳数，它是一个描述圆孔衍射效应的很重要的参量。孔衍射效应的很重要的参量。n此后，随着此后，随着r0的增大，的增大，P点光强不再出现明暗交替的变化，点光强不再出现明暗交替的变化，逐渐进入逐渐进入夫朗和费衍射区夫朗和费衍射区。n而当而当r0很小时，很小时，k很大，衍射效应不明显。当很大，衍射效应不明显。当r0小到一定程小到一定程度时，可视光为直线传播。度时，可视光为直线传播。-几何区几何区 Rkkk2maxk 对衍射现象的影响对衍
13、射现象的影响 当孔趋于无限大当孔趋于无限大-即即没有光阑时没有光阑时，即整个波面对即整个波面对P P点的作用等于第一半波带在该点作用的一半。点的作用等于第一半波带在该点作用的一半。)11(02Rrkkn当波长当波长、r0、R 给定后，由给定后，由nk与圆孔的大小与圆孔的大小k 有关，孔大，露出的的波带多，衍射有关，孔大，露出的的波带多，衍射效应不显著效应不显著;孔小，露出的的波带少，衍射效应显著孔小，露出的的波带少，衍射效应显著mmrRnm1,500mm5.01时时 由于半波带的面积非常小，由于半波带的面积非常小，所以没有遮蔽的整个波面的所以没有遮蔽的整个波面的光能传播，几乎可以看作是沿直线光
14、能传播，几乎可以看作是沿直线OP进行的进行的光在没有遇光在没有遇到障碍物时是沿直线传播的。到障碍物时是沿直线传播的。2,01aAak 若圆孔具有一定大小，对观察点若圆孔具有一定大小，对观察点P，仅有一个半波带露出，仅有一个半波带露出，则有则有Ap=a1，k 对衍射现象的影响对衍射现象的影响 与不用光阑相比，此时与不用光阑相比，此时P P点的点的光强是不用光阑时的光强是不用光阑时的4 4倍倍。亦即有光阑比没光阑时还要亮亦即有光阑比没光阑时还要亮,小光阑具有聚光本领。小光阑具有聚光本领。光源对衍射的影响光源对衍射的影响 波长对衍射的影响波长对衍射的影响 当波长增大时，当波长增大时，k减少。即在减少
15、。即在k、R、r0一定的情况下，长波一定的情况下，长波长光波的衍射效应更为显著，更能显示出其波动性。长光波的衍射效应更为显著，更能显示出其波动性。若若S不是理想的点光源不是理想的点光源扩展光源（实际光源）扩展光源（实际光源）光源上的每一点均要产生自己的衍射图样，各图样间是不相光源上的每一点均要产生自己的衍射图样，各图样间是不相干的，若某些点的亮纹落在另外一些点的暗纹上，叠加后整干的，若某些点的亮纹落在另外一些点的暗纹上，叠加后整个图样就模糊了。个图样就模糊了。这就是通常情况下，不易见到光的衍射现象的原因之一这就是通常情况下，不易见到光的衍射现象的原因之一。)11(02Rrkk 对于轴外任意点对
16、于轴外任意点Q的光强度，原则上也可以用同样的方法的光强度，原则上也可以用同样的方法进行讨论。进行讨论。方法：方法：图图1 1所示，为了确定不在轴上的任意点所示，为了确定不在轴上的任意点Q的光强。的光强。先设想衍射屏不存在，以先设想衍射屏不存在，以M0为中心，对于为中心，对于P点作半波带；点作半波带；然后再放上圆孔衍射屏，圆孔中心为然后再放上圆孔衍射屏，圆孔中心为O。图图1 1轴外点的衍射轴外点的衍射轴外点的衍射轴外点的衍射 这时由于圆孔和波面对这时由于圆孔和波面对P点的波带不同心，波带的露出部点的波带不同心，波带的露出部分如分如图图2 2所示，图中为了清楚起见，把偶数带画上了斜线。所示，图中为
17、了清楚起见，把偶数带画上了斜线。这些波带在这些波带在Q点引起振动的振幅大小，不仅取决于波带的点引起振动的振幅大小，不仅取决于波带的数目，还取决于每个波带露出部分的大小。数目，还取决于每个波带露出部分的大小。精确计算精确计算Q点的合成振动振幅是很复杂的，但可以预计，点的合成振动振幅是很复杂的，但可以预计，当当Q点逐渐偏离点逐渐偏离P P点时，有的地方衍射光会强些，点时，有的地方衍射光会强些，有些地有些地方会弱些。方会弱些。图图2 2设圆屏遮蔽了第设圆屏遮蔽了第1k个波带，从第个波带，从第k+1个波带开始的其余波个波带开始的其余波带所发的次波在带所发的次波在P点的叠加为点的叠加为:111()22k
18、kaAaa 可见，改变圆屏的可见，改变圆屏的大小大小或改变光屏的或改变光屏的位置位置，圆屏对称轴圆屏对称轴上各点的光强不相同，但上各点的光强不相同，但几何影子中心永远有光线到达几何影子中心永远有光线到达，此，此点称为点称为泊松亮点泊松亮点。在圆屏几何影子中心的合振幅都为在圆屏几何影子中心的合振幅都为:21kaA)11(02Rrk 圆屏的作用能使点光源成实象。圆屏的作用能使点光源成实象。波带片波带片 只让对应于所观察的点为只让对应于所观察的点为奇数奇数的半波带或者的半波带或者偶数偶数的的半波带所发的光通过的屏，叫半波带所发的光通过的屏，叫菲涅耳波带片。菲涅耳波带片。由于各波带上相应的各点到达观察
19、点的光程差为波长的整数由于各波带上相应的各点到达观察点的光程差为波长的整数倍，它们所发次波在该点振动的相位相同，其合振幅为：倍，它们所发次波在该点振动的相位相同，其合振幅为：2,1,012kaAkkk3,2,12kaAkkk奇数半波带透光奇数半波带透光偶数半波带透光偶数半波带透光波带片的成像公式波带片的成像公式2011()krR由公式由公式得得20111()()Rrk波带片成像公式波带片成像公式当当，即入射光为平行光时，得，即入射光为平行光时，得20frk 焦距焦距0111()Rrf四、直线传播和衍射的联系（自学）四、直线传播和衍射的联系（自学）r0P(像）（物）（物）（习题（习题2-32-3
20、）1)10111011(1050005.0)11(337202Rrk4)10111011(1050001)11(337202Rrk光阑对光阑对P P点只露出第点只露出第2 2、3 3、4 4个半波带，因此个半波带，因此P P点的合振幅：点的合振幅：A=1/2(a2+a3)无光阑时，无光阑时，P P点的合振幅：点的合振幅：A0=a1/2所以，这两种情况下所以，这两种情况下P P点的光强之比：点的光强之比：I/I0=4 解解 光阑内外孔径对应的半波带数：光阑内外孔径对应的半波带数：r1r2（习题（习题2-62-6）解解 点光源经波带片成的像点的光强度为：点光源经波带片成的像点的光强度为：19901
21、2100aaAkkk21040000aI 点光源经透镜成的像点的光强度为：点光源经透镜成的像点的光强度为：10200aA 两光强度之比为：两光强度之比为：41400001000021210aaII 透 镜 的等光程性！2110000kIAa 衍射图样是一组平行于狭缝的明暗相间的条纹衍射图样是一组平行于狭缝的明暗相间的条纹 中央亮纹最亮，宽度是其他亮纹的两倍中央亮纹最亮，宽度是其他亮纹的两倍 两侧明纹宽度相同两侧明纹宽度相同,亮度逐渐下降亮度逐渐下降S 缝缝BB 宽为宽为b b，A0为狭缝所发次波在衍射为狭缝所发次波在衍射=0=0的方的方向上传播的总振幅向上传播的总振幅,设波面设波面BB 各点的
22、初位相为零各点的初位相为零,dx上各点所发次，波在上各点所发次，波在P点叠加的合振动为：点叠加的合振动为：tbdxAdEMcos0N到到P的光程为的光程为，BB 面面上各点所发次波在上各点所发次波在P P点叠加的合振动为：点叠加的合振动为：)sincos()sin(cos00tkxkbdxAxktbdxAdEP复数表示为复数表示为:sin0iki tikxPAdEdxeeeb因为因为BD平面各点到平面各点到P点的光程点的光程相等而与相等而与x无关，因而狭缝无关，因而狭缝BB 波面上各点所发次波在波面上各点所发次波在P点叠加的合振动点叠加的合振动:sin00sin()0sinsin()sin()
23、bikitikxPPbiktAEdEeeedxbbAeb合振动的相位P点合振动的振幅（只取实部）（只取实部）P点的合振幅点的合振幅:000sinsin()sin()sinsincPbAAbuAuAuP P点的光强为点的光强为:222200sincsincPPIAAuIusinbu 令叫做叫做u的的sinc函数函数（因为光强与衍射角因为光强与衍射角 或或u 有关有关，不同的衍射角不同的衍射角 或或u 对对应于光屏上不同的点，因此光屏上各点的光强不相等）应于光屏上不同的点，因此光屏上各点的光强不相等）令令d dI IP P/d/du u=0=0，可得光强的极值点位置有两组解：可得光强的极值点位置有
24、两组解：tguuu0sin00sinsinsin0sin0sin0(0)p00bubuI=A=I纹由得（最大）中央明（）中央明纹位置：）中央明纹位置：（）暗纹位置：（）暗纹位置：sinsin0sin(1,2,3)0,0kkkppbuukkkbAI 纹由得（最小）暗（）次最大位置（明纹位（）次最大位置（明纹位置）：置）：utgu图解法求超越方程：得02323ytguyu位置，对应于，位置，对应于，位置，buIbuIbuII47.3sin47.30083.046.2sin46.20165.043.1sin43.10472.0303002020010100对应于00002201sin()1212()
25、2pkIIkkbk，对应（，）即次最大值于位置/-(/)2(/)-2(/)0.0470.0171I/I000.0470.017sin /-(2(/)-2(/)0.0470.017I/I00相对光强曲线相对光强曲线0.0470.017sin bbbb占总强度的占总强度的80%各级各级次最大值次最大值的位置及其强度值：的位置及其强度值：I/I0u432-2-3-40u=3/2I/I0=0.0472u=-3/2I/I0=0.0472u=-5/2I/I0=0.0165u=-7/2I/I0=0.0083u=5/2I/I0=0.0165u=7/2I/I0=0.00831）衍射花样是一组与缝平行的明、暗相间
26、的直条纹。2）中央最大值的光强最大，次最大值光强随级数k0的增大减小。3）条纹角宽度：亮条纹两边到透镜中心所张的角度。它等于相邻两暗纹对透镜中心的角位置之差。bbkbkkkkk)1(sinsin11f 中央亮纹的角宽度是其它亮纹的中央亮纹的角宽度是其它亮纹的2 2倍：倍：bbb2)1(1110中央亮纹的宽度：中央亮纹的宽度：02lffb 4 4）最小值（暗条纹）间是等间距的，而次最大值彼此是）最小值（暗条纹）间是等间距的，而次最大值彼此是 不等间距的（近似等间距）。不等间距的（近似等间距）。fbftgftgflkkkk )sin(sin11中央明纹中央明纹K+1fxOxOK波长因素1.1.狭缝
27、在原平面内平行移动狭缝在原平面内平行移动,屏上条纹分布如何？屏上条纹分布如何？思考：思考：2.2.若光线斜入射，则屏上条纹如何？若光线斜入射，则屏上条纹如何？P 衍射角衍射角留一留一思考思考：若光源在：若光源在原平面内上下平行移动，原平面内上下平行移动，在双缝实验中干涉条纹如何变化？在双缝实验中干涉条纹如何变化？（习题习题2 27 7）波长为）波长为4800 的平面波垂直照射到宽度为的平面波垂直照射到宽度为0.4mm的狭缝上，会聚透镜的焦距是的狭缝上，会聚透镜的焦距是60cm。分别计算当缝的边。分别计算当缝的边缘缘A、B到到 P点的位相差分别为点的位相差分别为/2 2和和/6 6时，时，P点离
28、焦点的距离。点离焦点的距离。解解：如图所示，缝的边缘：如图所示，缝的边缘A、B 所发次波在所发次波在P P点的位相差为点的位相差为:fyaa2sin22ABasinaEP0Pf P点离透镜的焦点点离透镜的焦点P0 0的距离为的距离为:cmafy018.02104.02601048002181cmafy006.06104.02601048002182ABasinaEP0Pf （习题（习题2 28 8）白光形成的单缝衍射中，其中某一波长的）白光形成的单缝衍射中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为第三个次最大值与波长为6000 的光波的第二个次最大值的光波的第二个次最大值重合，求该光波的波长。重合
29、，求该光波的波长。解：由题意并根据单逢衍射次最大值条件：解：由题意并根据单逢衍射次最大值条件：1 60001(2)(3)22bbbk)21(sin0得该波长为：得该波长为：560004285.67 （2 21010）钠光通过）钠光通过 0.2mm 宽的狭缝后投射到与缝相距宽的狭缝后投射到与缝相距 300cm的照相版上，所得的第一最小值与第二最小值的间距的照相版上，所得的第一最小值与第二最小值的间距是是0.885cm，问钠光的波长为多少？，问钠光的波长为多少？若改成波长为若改成波长为1 1的的X X射射线，版上两个最小值的间距为多少？线，版上两个最小值的间距为多少？解：如图，两最小值之间的距离为
30、：解：如图，两最小值之间的距离为：2121()yyyf tgtgffb 40.2 0.885 10300 105.9 10b yfmm a a af2a 若用若用=1=1埃的埃的x射线，两最小值的间距为：射线，两最小值的间距为：cmbfftgtgfy41812105.1102.0101300)(光强计算光强计算 入射光的波阵面沿着与圆孔法线成入射光的波阵面沿着与圆孔法线成角方向上的所有次波角方向上的所有次波在观察点在观察点P叠加所产生的振动。叠加所产生的振动。BBRCdSBBCdddSR(a)(b)考察圆孔边缘考察圆孔边缘B B 处的波阵面上面元处的波阵面上面元dSdS对对P P点的作用，则点
31、的作用，则BBRCdSBBCdddSR(a)(b)tkrRdsAdE020cosr0为为B到到P的距离，圆孔波阵面上任一面元的距离，圆孔波阵面上任一面元dSdS，它它P P对点作用对点作用BBRCdSBBCdddSR(a)(b)002cosAdEdSk rtR式中式中 为该面元与在为该面元与在B点的面元到点的面元到P点的光程差。点的光程差。RpddkRAA02020)sincoscos(2242322220!451!341!231211mmmmAIPsinRm 其中其中，R圆孔的半径圆孔的半径合振动的振幅合振动的振幅:2221221100022212sin()(2)(2)sin()RJJmJm
32、IAAIRmmJ为阶贝数号一塞耳函符用一阶贝塞耳函数符号表示，则：用一阶贝塞耳函数符号表示，则：由上式可得光强各极值对应位置：由上式可得光强各极值对应位置：位置，对应于位置，对应于位置，对应于光强为次最大值，对应位置于光强为最小值位置，对应于光强为最大值RIRIRIRRRII847.1sin0016.0333.1sin0042.0819.0sin0175.0619.1sin116.1sin610.0sin00sin3002001003210000.6101.1161.6190.01750.00420.00160.8191.3331.814sin1I/I0RRRRRR夫朗和费圆孔衍射光强分布曲线
33、：夫朗和费圆孔衍射光强分布曲线：1 1）衍射花样是一组同心的明暗圆环）衍射花样是一组同心的明暗圆环2 2）爱里斑爱里斑（S.G.Airy,18011892）：中央亮斑称）：中央亮斑称 为爱里斑为爱里斑 ，它的光强占整个入射光束总光强，它的光强占整个入射光束总光强的的84，其其半角宽度半角宽度为为（等于第一级最小值的角位置等于第一级最小值的角位置）:DR22.1610.0sin11爱里斑爱里斑线半径线半径（线宽度）：（线宽度）：fDtgfl 22.11一一.衍射光栅衍射光栅1.1.光栅光栅反射光栅反射光栅透射光栅透射光栅 大量等宽等间距的平行狭缝大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面或反射面)构成的
34、光构成的光学元件学元件.透光宽度透光宽度不透光宽度不透光宽度2.光栅常数光栅常数 d光栅宽度为光栅宽度为 l，每毫米缝数每毫米缝数为为 m，则总缝数则总缝数lmN badab1 1）多缝衍射花样出现一系列最小值、主最大和次最大。）多缝衍射花样出现一系列最小值、主最大和次最大。2 2）主最大位置与缝数无关，其宽度随）主最大位置与缝数无关，其宽度随N增大而减小，其强度正比于增大而减小，其强度正比于N2。3 3）相邻主最大之间有）相邻主最大之间有N-1-1条暗纹和条暗纹和N-2个次最大。个次最大。4 4）多缝衍射光强曲线的包迹（）多缝衍射光强曲线的包迹（“轮廓轮廓”）与单逢衍射强度曲线形式一样。）与
35、单逢衍射强度曲线形式一样。Isin 0-2-112(/b)Isin 0-2-112(Isin 048-4-8(/d)单缝衍射单缝衍射光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线N=4d=4bIsin 048-4-8(/d)轮廓线轮廓线光强曲线光强曲线衍射图样的特点：衍射图样的特点：双重因素衍射图样的定性解释：衍射图样的定性解释：（）各条单缝产生的衍射条纹重合，形成单缝衍射图样）各条单缝产生的衍射条纹重合，形成单缝衍射图样（单缝衍射的强度分布仅由衍射角决定）。（单缝衍射的强度分布仅由衍射角决定）。（）各单缝间的光束为相干光，形成多光束干涉图样（）各单缝间的光束为相干光，形成多光束干涉图样（宽大黑暗背景中出现
36、明晰锐利的亮条纹）。（宽大黑暗背景中出现明晰锐利的亮条纹）。（）（）光栅衍射是单缝衍射和多光束干涉的总结果。光栅衍射是单缝衍射和多光束干涉的总结果。二、光栅衍射的强度分布二、光栅衍射的强度分布:（定量分析）定量分析）多个相干点源干涉相邻相邻两光线的两光线的光程差光程差相应的相位差相应的相位差N 个初相相同个初相相同的相干的相干点光源点光源N到到P的光程为的光程为，BB 面面上各点所发次波在上各点所发次波在P P点叠加的合振动为：点叠加的合振动为：)sin(cos0 xktbdxAdEPsin00bikitikxPPAEdEeeedxbtbdxAdEMcos0多个相干点源干涉 平面光平面光栅衍射
37、，焦栅衍射，焦平面上平面上P点点处的合振幅处的合振幅和光强分别和光强分别为：为：0i tAEeb（2sin0ixbedx2sinixdbdedx22sinsin2121ixixd bNd bdNdedxedx）多个相干点源干涉)sinsin()sin(sinsin)sinsin(0ddNbbAAP22220sinsinsinNucAI式中的式中的sindv)21(sin)21(sinsin22220NucAI22220sinsinsinNucAI相邻两缝对应点到观察点的位相差：相邻两缝对应点到观察点的位相差：2sin2sin22dd所以：所以：单缝衍射因子单缝衍射因子缝间干缝间干涉因子涉因子光
38、栅衍射的光强是单逢衍射因子和缝间干涉因子的乘积。光栅衍射的光强是单逢衍射因子和缝间干涉因子的乘积。III1245-1-2-4-5只有衍射只有衍射:只有干涉：只有干涉：干涉衍射均有：干涉衍射均有：-1-212-22sin 0II0-2-112(/a)单缝衍射光强曲线单缝衍射光强曲线IN 2I0 048-4-8sin(/d)单缝衍射单缝衍射 轮廓线轮廓线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线sin N 2sin2N/sin2 04-8-48(/d)多光束干涉光强曲线多光束干涉光强曲线 a4d ,4N单缝衍射不改变主最大位置，但改变主最大值的强度；单缝衍射不改变主最大位置，但改变主最大值的强度；两个主最大
39、之间有两个主最大之间有N-1个最小值；个最小值；两个主最大之间有两个主最大之间有N-2个次最大值；个次最大值；次最大的强度：次最大的强度：2 2，极限情况：极限情况：N N，最大，最大不超过主最大的不超过主最大的2323分之一。分之一。1 1、单缝衍射最、单缝衍射最小值位置（对各小值位置（对各缝而言都重合）：缝而言都重合）：)21(sin，kbk2 2、主最大值的主最大值的位置位置：)210(sin，jdjsin 0-2-112(/b)sin 0-2-112(Isin 048-4-8(/d)Isin 048-4-8(/d)轮廓线轮廓线3 3、多缝干涉最小值位置：、多缝干涉最小值位置：），（NN
40、jNdj20sin讨论：22sin2sin()2sin2djN当时，缝间因子的分子和分母均为，求导求极限得有限值。由此得sin2dNNj由缝间因子：分子为，分母不为，得出此时为最小值。三、双缝衍射（自学）三、双缝衍射（自学）双缝衍射是双缝干涉的精确描述，双缝干涉只是一种近似双缝衍射是双缝干涉的精确描述，双缝干涉只是一种近似的讨论。的讨论。四、干涉和衍射的区别和联系四、干涉和衍射的区别和联系干涉和衍射的本质相同，都是波相干叠加的结果，其干涉和衍射的本质相同，都是波相干叠加的结果，其区别仅是参加相干叠加的对象不同。区别仅是参加相干叠加的对象不同。强度不均匀，两侧强度不均匀，两侧条纹等距分布的直条纹
41、等距分布的直条纹条纹干涉干涉本质适用条件图样数学处理方法本质适用条件图样数学处理方法有限束光的有限束光的相干叠加相干叠加光束可近似看成光束可近似看成直线传播直线传播间距均匀强度相同间距均匀强度相同的明暗相间条纹的明暗相间条纹有限项求和（粗略）有限项求和（粗略）衍射衍射次波相干叠加次波相干叠加（无限束）（无限束）障碍物线度障碍物线度接近波长接近波长积分（精确）积分（精确）干涉和衍射是本质上统一，在形成条件，分布规律以及数干涉和衍射是本质上统一，在形成条件，分布规律以及数学处理方法上略有不同而又紧密联系的同一类现象。学处理方法上略有不同而又紧密联系的同一类现象。谱线的位置（主最大位置）：谱线的位置
42、（主最大位置）：00(sinsin)(0,1,2,)djj 当为 时：入射角)210(sin，jjd)210(sin，jdj上式称为上式称为光栅方程光栅方程，j 称谱线的级数。称谱线的级数。00同侧取正号同侧取正号异侧取负号异侧取负号五、光栅方程：五、光栅方程：00(sinsin)(0,1,2,)djj 当为时线侧线侧负入射角：法同取正，法异取0AB0AB1sinsinjNjNddNdsinsinsincoscos sinsin六、主最大值的半角宽度六、主最大值的半角宽度角不大，角不大，cosNd 从主最大值的中心到其一侧的附加第一最小值之间的角从主最大值的中心到其一侧的附加第一最小值之间的角
43、距离就是每一谱线的半角宽度距离就是每一谱线的半角宽度I3级级0级级1级级-1级级-3级级缺缺2级级缺缺-2级级0d b d 3 b 2 d b d 3b 2 sinI301-1-32单缝衍射光强0d d 3 d d 3d 4 d 2 d 2d 4N=2d=2b七、谱线的缺级：七、谱线的缺级：Isin 048-4-8(/d)N=4d=4bIsin 048-1-8(/d)21(sin，kbk)210(sin，jdj)(kjbkdj），（21 kbdkjsin(sin(/b)12-2同时满足方程同时满足方程求出缺级公式求出缺级公式：（多缝干涉主最大多缝干涉主最大）（单缝衍射极小单缝衍射极小）缺级缺级
44、缺缺级级04-5-7I/I06-4-9sin 39512-1-2-3-6-887（/d)N=3 ,d=3b33,6,9,djkkb 缺级Isin 048-4-8(/d)N=4，d=4bIsin 048-1-8(/d)sin(sin(/b)12-2谱线数目计算：谱线数目计算：），（21 kbdkj缺级公式：缺级公式：bdm 令令 ：,则单缝衍射中央条纹内的则单缝衍射中央条纹内的谱线谱线条数是：条数是：12212mmN单缝衍射中央条纹内的单缝衍射中央条纹内的光谱光谱条数是：条数是：2 m1 对同级明纹，波长较长的光波衍射角较大对同级明纹，波长较长的光波衍射角较大。白光或复色光入射，高级次光谱会相互
45、重叠。白光或复色光入射，高级次光谱会相互重叠。八、光栅光谱：八、光栅光谱：)210(sin，jdj 对于单色光入射的情况，光栅谱线的位置对于单色光入射的情况，光栅谱线的位置 由光栅方程：由光栅方程：来确定。但是，当复色光入射时情况又如何呢？下面就来来确定。但是，当复色光入射时情况又如何呢？下面就来解决这一问题。解决这一问题。dj)sin(光栅光谱光栅谱线的重叠：光栅谱线的重叠：121212当满足条件：当满足条件：时，第时，第j级和级和j+1+1级级谱线发生重叠。上图中表示的是第谱线发生重叠。上图中表示的是第2 2级和级和3 3级谱线重叠级谱线重叠 ！12)1(sinjj (习题习题2-132-
46、13）用可见光）用可见光（760-400nm）照射光栅时，一照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？重叠范围是多少？叠较级红级对应当红产叠分析：要了解是否重，只需比前的光与后一的紫光主最大的衍射角的大小即可。光的衍射角大于或等于紫光的衍射角就生重。（sin）1221sinsin1,760760sin2,400800sinsinsinjdjdjnmdjnmd（）当 时 当 时 叠解：不 重34342,7601520sin3,4001200sinsinsin32sinjnmdjnmddd紫当 时当 时 谱
47、叠设级级叠则（）光重紫光与的光重，33 4006002223sin2566.73600760400566.7nmddnmnmnmnmnm 紫红红级红级叠则级谱级谱长叠。而光与的光重，二光的与光的波重 波长为波长为600nm的单色光正入射到一透射平面光栅上，的单色光正入射到一透射平面光栅上，有两个相邻的主最大分别在有两个相邻的主最大分别在sin 1=0.2和和sin 2=0.3处，第四级处，第四级为缺级。试求为缺级。试求：（）：（）光栅常量光栅常量；（）；（）光栅上缝的最小宽光栅上缝的最小宽度；（度；（）在光屏上呈现的全部级数。在光屏上呈现的全部级数。12sinsin(1)djdj栅 解：（）由
48、光方程得21sin(1)0.3sin0.22 jjj472sin6 102 10 600 104,80,1,2,3,5,6,7,9,10 ddjjj （）当 时级数级见级数为 ，最大缺，故可的：31.5 10 4ddbmmj级级（）第四缺312 60060006 10 sin0.2jdnmnmmm故 用白光（波长：用白光（波长：400nm760nm）垂直照射每毫米）垂直照射每毫米300300条条刻痕的光栅，问刻痕的光栅，问 （1 1）第几级光谱开始重叠？）第几级光谱开始重叠？（2 2）可见几级完整的光谱？）可见几级完整的光谱？sindj：解（）sinjdsinsin0hz 红光光谱在外，紫光光
49、谱在内，设红光光谱在外，紫光光谱在内，设k 级光谱与级光谱与k+1级光谱重叠，则级光谱重叠，则4001.1760400zhzk k 只能取整数，所以，从第二级与第三开始光谱重叠。只能取整数，所以，从第二级与第三开始光谱重叠。1300dmm（）90sin1当时4.41076030016hdj最多可见最多可见4级完整的光谱。级完整的光谱。0)1(dkdkzh 将一束波长将一束波长=5890的平行钠光垂直入射在每厘米内的平行钠光垂直入射在每厘米内有有5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光宽度条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光宽度a与其间距与其间距b相等，求：相等，求：(1)(1)光线垂直入射时，
50、能看到几条谱线？是哪几级？光线垂直入射时，能看到几条谱线？是哪几级？(2)(2)若光线与光栅平面法线的夹角若光线与光栅平面法线的夹角=300的方向入射时，的方向入射时，能能看到几条谱线？是哪几级？能能看到几条谱线？是哪几级？解：解：(1)(a+b)sin=j,当=/2时 j=(a+b)/=3.39 取jmax=3 a=b d=(a+b)=2a(2)(a+b)(sin+sin)=j,=30,=90=90,j=5.09 取 jmax=5=-90,j=-1.7 取jmax=-1a=b,第2，4，缺级能看到5条谱线，为+5，+3，+1，0，-1级当 j=kd/b=2k=2,4,6时缺级。能看到5条谱线
