1、Z变换与拉普拉斯变换的关系2022-12-12符号的使用符号的使用本小节我们要了解连续时间信号的拉普拉斯变换与对应的本小节我们要了解连续时间信号的拉普拉斯变换与对应的离散时间信号的离散时间信号的Z变换之间的关系变换之间的关系我们首先介绍所使用的符号我们首先介绍所使用的符号 txa nTxnxa sXa zX nTtnTxtxns连续时间信号连续时间信号对应的拉普拉斯变换对应的拉普拉斯变换离散时间信号离散时间信号对应的对应的Z变换变换取样信号取样信号对应的拉普拉斯变换对应的拉普拉斯变换 sXs2022-12-13S平面到平面到Z平面的映射平面的映射由于由于所以所以而而 的的Z变换为变换为由此可知
2、由此可知 nTtnTxtxnas ssaannnTsanXsxtxnTtnTxnTtnTxnT eLLL nTxnxa nnannznTxznxzX sXzXsezsT2022-12-14S平面到平面到Z平面的映射平面的映射关系式关系式 说明，在说明，在 的条件下，的条件下，离散时间信号的离散时间信号的Z变换等于取样信号的拉普拉斯变换变换等于取样信号的拉普拉斯变换。若令若令 和和 ，则由，则由 得到得到因此因此这就是这就是Z平面到平面到S平面的映射关系。平面的映射关系。其中其中r和和w w分别是分别是Z平面的平面的模和相角模和相角，而，而a a和和W W是是S平面的平面的实实轴和虚轴轴和虚轴，
3、T为取样周期。为取样周期。sXzXsezsTTsez Wjsawjrez Tsez TjTTjjeeereWWaawWTerTwa2022-12-15S平面到平面到Z平面的映射平面的映射从从Z平面到平面到S平面的映射关系平面的映射关系看出：看出：WTerTwa 面的单位园外部；平平面的右半平面映射成，即时，有当面的单位园内部；平平面的左半平面映射成，即时，有当的单位园；平面映射成平面的虚轴，即时，有当ZS103ZS102ZS101Wrrjraaa2022-12-16S平面到平面到Z平面的映射平面的映射从从Z平面到平面到S平面的映射关系平面的映射关系还可以得出：还可以得出：WTerTwa平面再映
4、射一次。再旋转一周，或将整个，即辐角相应地又增加时，则一个取样频率时再增加平面映射一次。当整个即辐角旋转一周，或将增加到由时，增加到从，因此，有时，时，有，时，有当Z2)(2Z00wwwwwTTTTTWWWWW2022-12-17S平面到平面到Z平面的映射平面的映射由上述讨论总结得出从由上述讨论总结得出从Z平面到平面到S平面的映射关系如下平面的映射关系如下 平面。个平面可被映射成无限多的水平带，所以度为平面可被分成无限条宽由于。的虚轴映射成单位圆周，长度为半带映射成单位园外部映射成单位园内部，右平面，左半带的水平带映射成整个平面上宽度为ZS2S22Z2S1TTT2022-12-18S平面到平面
5、到Z平面的映射平面的映射Z平面到平面到S平面的映射关系可以用下图来表示平面的映射关系可以用下图来表示ReIm平面z单位圆1aWj平面sTT3TT32022-12-19连续连续时间信号的时间信号的拉氏变换拉氏变换与对应的与对应的离散离散时间信号时间信号的的Z变换变换之间的关系之间的关系下面我们回头来讨论连续时间信号的拉氏变换与对应的离下面我们回头来讨论连续时间信号的拉氏变换与对应的离散时间信号的散时间信号的Z变换之间的关系变换之间的关系前面以及推导出前面以及推导出另一方面，根据傅立叶级数展开有另一方面，根据傅立叶级数展开有而而所以所以 nTtnTxtxnasWntnjnseTnTt1 WWWns
6、antnjsatsntnjatsssnjsXTdtetxTdteeTtxdtetxsXss111 sXzXsezsT2022-12-110连续连续时间信号的时间信号的拉氏变换拉氏变换与对应的与对应的离散离散时间信号时间信号的的Z变换变换之间的关系之间的关系所以有所以有由该式看出，映射由该式看出，映射 确定的不是确定的不是 本身直接本身直接与与 的关系，而是的关系，而是 的的周期延拓周期延拓与与 的的关系。这种非直接关系将给设计关系。这种非直接关系将给设计IIR数字滤波器数字滤波器的的冲激不变冲激不变法法带来带来不利不利影响。影响。WnansasezTnjsXTnjsXTsXzXsT211Tse
7、z zX sXa sXa zX系统函数System Function2022-12-112系统函数的定义及与单位取样响应的关系系统函数的定义及与单位取样响应的关系线性非移变系统线性非移变系统除了可以用线性常系数除了可以用线性常系数差分方程差分方程、单位取单位取样响应样响应和和频率响应频率响应来描述外，还可以用来描述外，还可以用系统函数系统函数来描述。来描述。设设 和和 分别是线性非移变系统的输入、输分别是线性非移变系统的输入、输出和单位取样响应，出和单位取样响应，和和 分别表示相应的分别表示相应的Z变换，系统函数定义为变换，系统函数定义为即即系统函数是单位取样响应系统函数是单位取样响应 的的Z
8、变换。变换。zYzX,nynx,nh zH nnznhzXzYzH nh2022-12-113由差分方程求系统函数由差分方程求系统函数设一个线性非移变系统的输入和输出满足下列差分方程设一个线性非移变系统的输入和输出满足下列差分方程对上式两边求对上式两边求Z变换得变换得因此因此 kNkkrMrrzazbzXzYzH0MrrNkkrnxbknya00 00NMkrkrkra z Y zb zX z2022-12-114由差分方程求系统函数由差分方程求系统函数由此看出，系统函数是由此看出，系统函数是 的的有理函数有理函数，将分子分母进行因，将分子分母进行因式分解得式分解得式中，式中，分别表示系统函数
9、分别表示系统函数 在在Z平面上的极点平面上的极点和零点。这样，系统函数可以用和零点。这样，系统函数可以用Z平面上的平面上的极点极点、零点零点和和常数常数 来确定。上式没有指出来确定。上式没有指出 的收敛域，的收敛域，收敛域有多种选择收敛域有多种选择方方案。不同的收敛域，对应于不同的单位取样响应，但它们都满案。不同的收敛域，对应于不同的单位取样响应，但它们都满足同一差分方程。足同一差分方程。NkkMrrkNkkrMrrzdzcAzazbzXzYzH1111011 zH1z rkcd和 zH2022-12-115由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性系统的稳定性与系统函数系统的稳定性
10、与系统函数 的收敛域有密切的关系。我的收敛域有密切的关系。我们知道，为了使们知道，为了使 的的Z变换存在，就要求变换存在，就要求当当 时，上式变成时，上式变成这就是系统稳定的充要条件。因此，若系统函数在单位圆上收这就是系统稳定的充要条件。因此，若系统函数在单位圆上收敛，则系统是稳定的。或者说，敛，则系统是稳定的。或者说，系统稳定的充要条件是系统函系统稳定的充要条件是系统函数数 的收敛域包括单位圆。的收敛域包括单位圆。zH nh1z nnznh nnh zH2022-12-116由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性显然，一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是显然，一个稳定的因
11、果系统的系统函数的收敛域应该是也就是说，也就是说，因果系统稳定的充要条件是系统函数因果系统稳定的充要条件是系统函数 的所有的所有极点都在单位圆内。极点都在单位圆内。10 xxRzR zH2022-12-117例例2.21 设一个线性非移变系统的系统函数为设一个线性非移变系统的系统函数为试画出零极点分布图，并确定试画出零极点分布图，并确定 的收敛域和稳定性。的收敛域和稳定性。解：解：对对 的分母进行因式分解得的分母进行因式分解得 21181431211zzzzH zH zH 214121211411211111zzzzzzzzH由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性2022-12-
12、118例例2.21 解（续）解（续）可以得到极点为；可以得到极点为；零点为；零点为；如图所示。如图所示。21,4121pp21,021zz由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性2022-12-119例例2.21 解（续）讨论解（续）讨论 所以系统是稳定的。单位圆，因为该收敛域包含了的收敛域为系统函数，那么系统是因果的，且所在的圆的外部区域，若收敛域是极点zzzzpz21181431211lim2112112由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性2022-12-120例例2.21 解（续）讨论解（续）讨论 所以系统是不稳定的。含单位圆，因为该收敛域没有包的收敛域为，系
13、统函数，那么系统是逆因果的且所在的圆的内部区域，若收敛域是极点4100214121lim41201zzzzzpz由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性2022-12-121例例2.21 解（续）讨论解（续）讨论 不稳定的。含单位圆，所以系统是则因为该收敛域没有包的环域，即所在的两个圆之间与若收敛域是极点2141 2141321zpp由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性2022-12-122如果系统是稳定的，则可以用系统函数来如果系统是稳定的，则可以用系统函数来计算系统的频率响计算系统的频率响应应，只要将，只要将 代入系统函数就可以得到系统的频率响代入系统函数就可以
14、得到系统的频率响应，即应，即 wwjezjzHeH由系统函数求系统的频率响应由系统函数求系统的频率响应wjez 2022-12-123例例2.22 设一个因果设一个因果IIR系统的系统函数为系统的系统函数为试画出零极点分布图，并求系统的频率响应。试画出零极点分布图，并求系统的频率响应。解：解：对对 的分母进行因式分解得的分母进行因式分解得 2181.011zzzH zH 9.09.0181.01121jzjzzzzzzH由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性2022-12-124例例2.22 解（续）解（续）可以得到极点为；可以得到极点为；零点为；零点为；如图所示。如图所示。jp
15、jp9.0,9.0211,021zz由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性2022-12-125例例2.22 解（续）解（续）因为系统为因果系统，所以系统函数的收敛域为因为系统为因果系统，所以系统函数的收敛域为收敛域包含单位圆，所以系统是稳定的，系统的频率响应收敛域包含单位圆，所以系统是稳定的，系统的频率响应为为由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性 zj9.0 wwww281.011jjezjeezHeHj2022-12-126由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性例例2.22 解（续）解（续）幅频特性为幅频特性为相频特性为相频特性为用用MATLAB
16、函数求系统的频率响应并画出响应曲线函数求系统的频率响应并画出响应曲线www2cos62.16561.1cos12jeHwwwww2cos81.012sin81.0cos1sinargarctgarctgeHj2022-12-127由系统函数判断系统的稳定性由系统函数判断系统的稳定性例例2.22 解（续）解（续）因为在因为在 处有零点，处有零点，所以所以在在 处有极点，处有极点，因而因而在在 附近升至峰附近升至峰值。该系统是一个带通滤值。该系统是一个带通滤波器。波器。2w1z00jeHjz9.0wjeHwww281.011jjjeeeH2022-12-128全通系统和最小相位系统全通系统和最小相位系统jH econstw全通系统全通系统是指幅度响应恒为常数的系统，即是指幅度响应恒为常数的系统，即2022-12-129全通系统全通系统2022-12-130最小相位系统最小相位系统最小相位系统最小相位系统：系统函数所有零极点都在单位园内的系统：系统函数所有零极点都在单位园内的系统
