1、第二章第二章 导数导数学习重难点：学习重难点：1、导数的定义式、导数的定义式2、复合函数求导、复合函数求导3、隐函数求导、隐函数求导4、取对数求导法、取对数求导法5、微分的应用、微分的应用引 言 中学时期大家都学习过导数，但是导数本身是一个什么样的概念可能大家会比较模糊，举个例：大家都学过公式 ，利用公式我们可以计算出函数的导数，比如：但是为什么会有这样的计算结果呢？这样的计算过程其意义何在？1)(aaxaxxx2)(2大学的微积分能解决的问题大学的微积分能解决的问题1、什么是导数，导数的本质是什么？、什么是导数，导数的本质是什么？2、导数的计算公式是怎么样得到的？、导数的计算公式是怎么样得到
2、的？3、导数的意义在哪里？、导数的意义在哪里？4、导数的在实际生活工作中有些应用性？、导数的在实际生活工作中有些应用性？2.1 导数的由来导数的由来一、导数的由来 1、引例：自由落体运动 我们借由自由落体运动来观察几个量的变化关系，这些量分别是瞬时速度、平均速度和经过的路程，并由此引出导数的定义。2、导数的本质 2.2 导数的定义式：导数的定义式：则如果下列极限：的改变量记为中函数是有意义的，而同时在这个变化过程变化到当自变量从如果函数,)(,)(yxfxxxxfxxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00处的导数可表示为：情况下，函数在附近有定义的在点在满足函数同时，若的导数。函数存
3、在，我们称该极限为000)(,)(xxxfxxxfxxfxxfxyxfxx)()(limlim)(000003、导数的表示方法、导数的表示方法dxxdfdxdyyxf)(,),(4、利用定义式计算导数、利用定义式计算导数)129(0)1(例验证：PCxxcossin)3(验证：1)2(nnxnx验证：aaaxxln)4(验证：axxaln1log)5(验证：课堂练习1ln)3(13)2()1(xyxyeyx导数：利用定义求下列函数的二、可导与连续的关系我们先看两个例子：我们先看两个例子：。断函数在该点是否连续判处的导数是否存在，并考察点）已知连续。并判断函数在该点是否处的导数是否存在，），考察
4、点（已知0,)(211ln)()1xxxfxxxf必可导可导必连续，但连续未结论：2.2 导数的求导法则导数的求导法则一、基本求导公式一、基本求导公式二、导数的和差积商公式二、导数的和差积商公式)0()(3()(2()(1)()(2 vvvuvuvuvuvuvuvuvuxxvvxuu）（公式成立：存在导数，则有以下在点和若函数三、利用公式和求导法则完成简单三、利用公式和求导法则完成简单函数求导函数求导的导数的导数求函数求函数例例的导数的导数：求函数：求函数例例的导数的导数：设：设例例的导数的导数：求函数：求函数例例11:4cosln31cos53)(25sin1342xxyxxxyxexxfx
5、xyx简单函数求导结论：所有的简单函数在求导时可直接利用求导公式和求导法则进行计算得到结果，因此可称这种求导方式为直接求导法。直接求导法。2.3 导数的意义：1）、导数的物理意义：导数可以描述一个事）、导数的物理意义：导数可以描述一个事物变化速度的快慢。物变化速度的快慢。2）、导数的几何意义：函数在某一点的导数）、导数的几何意义：函数在某一点的导数就是该点的斜率。就是该点的斜率。3）、导数的经济意义：某个因素按单位改变）、导数的经济意义：某个因素按单位改变时导致了某个量向某个方向变化时导致了某个量向某个方向变化的切线方程与法线方程的切线方程与法线方程点点，求函数过，求函数过例：函数例：函数的切
6、线方程与法线方程的切线方程与法线方程点点求函数过求函数过例：设例：设(1,2)(0,-1)2ln,13)(4xyxxf导数的经济意义一、常用经济函数：一、常用经济函数：)()()(:)3()()2(,)()()()1(2121qCqRqLqpqpqRqqCCqCCqC利润函数。一般可指需求量或销量指物品价格，其中收入函数：一般可指产量或销量。为可变成本为固定成本，其中成本函数：二、边际分析二、边际分析利润函数为例有：收入的边际函数。以成本、函数的导数称为边际函数：某函数)()(xfxf 边际分析指利用边际函数分析出边际分析指利用边际函数分析出相应量的细微变化相应量的细微变化 ，则认为成本减少则
7、认为成本增加说明：成本增加或减少了时，变化到量从经济意义：当产量或销数学意义：成本的导数）边际成本：（0)()2,0)()1)(1)(1qCqCqCqqqC，则认为收入减少则认为收入增加说明：收入增加或减少了时，变化到求量从经济意义：当销量或需数学意义：收入的导数）边际收入：（0)()2,0)()1)(1)(2qRqRqRqqqR，则认为利润减少则认为利润增加说明：利润增加或减少了时，变化到求量从经济意义：当销量或需数学意义：利润的导数）边际利润：（0)()2,0)()1)(1)(3qLqLqLqqqL边际分析应用举例例：生产某机械元件，其固定成本为例：生产某机械元件，其固定成本为3万元，万元
8、，但每生产一百件产品，成本增加但每生产一百件产品，成本增加5万元，并且万元，并且又知该产品在销售时收入服从函数又知该产品在销售时收入服从函数其中其中q指产量，指产量，问：当产量分别达到一百件和问：当产量分别达到一百件和一千件时利润的变化情况。一千件时利润的变化情况。2217qqR2.4 二阶导数一、二阶导数的定义y 22ddxy22ddxf，或 .)(xf 如果在点处对的导数存在，则称为在点处的二阶导数，记作xx)(xf)(xf)(xfx)(xf二、n阶导数的定义)4()()(kxfk.函数在点处具有 阶导数，也称阶可导二阶及二阶以上各阶导数统称高阶导数四阶或四阶以上的导数记作)(xfy xn
9、n类似地，二阶导数 的导数称为的三阶导数，记作，阶导数的导数称为 的 n 阶导数，记作)(xf )(xf)(xf )()1(xfn)1(n)(xf)(nynnxyddnnxfdd，或.)()(xfn课堂练习xxyxxyxxyxeyxln)4(cossin)3(ln)2(1)1(1数、求下列函数的二阶导xyyxynx1)3(3)2(2)1(22阶导数、求下列函数的2.5 2.5 函数的连续性函数的连续性 1.增量增量定义 设变量从它的初值变到终值，则终值与初值之差就叫做变量的增量，又叫做的改变量，记作 ，即u0u1u01uu uuu01uuu 增量可以是正的，可以是负的，也可以是零 当 时，是正的；而当 时，是负的uu一、函数的连续性一、函数的连续性 2.连续函数的概念连续函数的概念 一般地,我们把间断点分为两类:第一类间断点：设 为 的间断点，如果左极限 与右极限 均存在，则称 为函数 的第一类间断点.其中,若 即极限 存在,则称间断点 为 的可去间断点；若 则称间断点 为 的跳跃间断点.第二类间断点：左极限 与右极限 至少有一个不存在的间断点,称为第二类间断点.其中,若 或 （或+，-）则称间断点 为 的无穷间断点.补充题型：补充题型：0,10,20,2)1ln()()2(1ln)(1xexxxxfxxxfx）（：求下列函数的连续区间零点定理零点定理
