1、 第第 5 讲讲 一次方程一次方程(组组) 知识点 1 等式的性质 1把方程1 2x1 变形为 x2，其依据是(B) A等式的性质 1 B等式的性质 2 C分式的基本性质 D不等式的性质 知识点 2 一元一次方程的解 2方程 2x37 的解是(D) Ax5 Bx4 Cx3.5 Dx2 知识点 3 一元一次方程的解法 3解下列方程： (1)2(x3)5x； 解：去括号，得 2x65x. 移项，得 2x5x6. 合并同类项，得3x6. 系数化为 1，得 x2. (2)x1 2 2x 4. 解：去分母，得 2(x1)8x. 去括号，得 2x28x. 移项，得 2xx82. 合并同类项得 x6. 知识
2、点 4 一元一次方程的应用 4商场将某种商品按原价的 8 折出售，仍可获利 20 元已知这种商品的进价为 140 元，那么这种商品的原价是(C) A160 元 B180 元 C200 元 D220 元 5某市中学九年级一学生家长准备中考后全家 3 人去台湾旅游，计划花费 20 000 元，设每人向旅行社缴纳 x 元费 用后，共剩 5 000 元用于购物和品尝台湾美食，根据题意，列出方程为 3x5_00020_000 知识点 5 二元一次方程组的解法 6解下列方程组： (1) y2x3， 3x2y8； 解：将代入中，得 3x2(2x3)8. 解这个方程，得 x2. 把 x2 代入中，得 xy.
3、这个方程组的解是 x2， y1. (2) x2y3， 3x2y5. 解：，得 4x8. x2. 将 x2 代入中，得 22y3，y1 2. 这个方程组的解是 x2， y1 2. 知识点 6 二元一次方程组的应用 7为了绿化校园，30 名学生共种 78 棵树苗，其中男生每人种 3 棵，女生每人种 2 棵，设男生有 x 人，女生有 y 人，根据题意，所列方程组正确的是(D) A. xy78 3x2y30 B. xy78 2x3y30 C. xy30 2x3y78 D. xy30 3x2y78 8某班去看演出，甲种票每张 24 元，乙种票每张 18 元如果 35 名学生购票恰好用去 750 元，甲、
4、乙两种票各买 了多少张？ 解：设甲种票买了 x 张，乙种票买了 y 张由题意，得 xy35， 24x18y750.解得 x20， y15. 答：甲种票买了 20 张，乙种票买了 15 张 重难点 一次方程(组)的应用 在元旦期间，某商场计划购进甲、乙两种商品 (1)已知甲、乙两种商品的进价分别为 30 元，70 元，该商场购进甲、乙两种商品共 50 件需要 2 300 元，则该商 场购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商场共投入 9 500 元资金购进这两种商品若干件，这两种商品的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价(元/件) 30 70 售价(元/件) 50 100 若全部销售完后可获利
5、5 000 元(利润(售价进价)销量)，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ 【思路点拨】 (1)首先找出题目中的等量关系：甲种商品数量乙种商品数量50；购进甲商品费用购 进乙商品的费用2 300.根据题中等量关系，有两种不同的解法解法一：设该商场购进甲商品 x 件，由第一个等 量关系可知购进乙商品(50x)件，然后根据第二个等量关系列出一元一次方程求解解法二：直接设该商场购进甲 商品 x 件、乙商品 y 件，根据所找出的两个等量关系，列出方程组解答即可； (2)首先根据题中等量关系：商场购进甲商品费用商场购进乙商品的费用9 500；商场销售甲商品利润 商场销售乙商品利润5 000.然后设该商
6、场购进甲商品 x 件、乙商品 y 件，根据题目中等量关系列方程组解答即 可 【自主解答】 (1)解法一：设该商场购进甲商品 x 件，则购进乙商品(50x)件根据题意，得 30x70(50x)2 300.解得 x30. 则 50x503020. 答：该商场购进甲商品 30 件，乙商品 20 件 解法二：设该商场购进甲商品 x 件，乙商品 y 件根据题意，得 xy50， 30x70y2 300.解得 x30， y20. 答：该商场购进甲商品 30 件，乙商品 20 件 (2)设该商场购进甲商品 x 件，乙商品 y 件根据题意，得 30x70y9 500， （5030）x（10070）y5 000.
7、解得 x130， y80. 答：该商场购进甲商品 130 件，乙商品 80 件, 方法指导 1列方程(组)的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量；(2)找关键词；(3)运用常 用数量关系和数学公式；(4)根据题目所述情境找；(5)画线段图列表格 2在选择是列一元一次方程还是方程组解题时，若题中两个未知量有比较简单的关系，比如倍数关系、差一 定或和一定时，可以很方便地用一个变量表示出另一个变量，那我们既可以设一个未知数列一元一次方程求解，也 可以设两个未知数列方程组求解相反，若两个未知量比较独立，关系较复杂，难以简洁地用一个变量表示出另一 个变量时，那就设两个未知数列方
8、程组求解, 【变式训练 1】 (2016 黄冈)在红城中学举行的“我爱祖国” 征文活动中，七年级和八年级共收到征文 118 篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少 2 篇，求七年级收到的征文有多少篇？ 解：设八年级收到的征文有 x 篇，则七年级收到的征文有(1 2x2)篇依题意，得 (1 2x2)x118.解得 x80. 则 1188038(篇) 答：七年级收到的征文有 38 篇 【变式训练 2】 (2017 呼和浩特)某专卖店有 A，B 两种商品已知在打折前，买 60 件 A 商品和 30 件 B 商品 用了 1 080 元，买 50 件 A 商品和 10 件 B 商品用
9、了 840 元；A，B 两种商品打相同折以后，某人买 500 件 A 商品和 450 件 B 商品一共比不打折少花 1 960 元，计算打了多少折？ 解：设打折前 A 商品和 B 商品的单价分别为 x 元，y 元，据题意，得 60x30y1 080， 50x10y840. 解得 x16， y4. 5001645049 800(元) 9 8001 960 9 800 0.8. 答：打了八折. 1(2017 南充)如果 a30，那么 a 的值是(B) A3 B3 C.1 3 D1 3 2(2016 包头)若 2(a3)的值与 4 互为相反数，则 a 的值为(C) A1 B7 2 C5 D.1 2
10、3(2015 河北)利用消元法解方程组 2x5y10， 5x3y6. 下列做法正确的是(D) A要消去 y，可以将52 B要消去 x，可以将3(5) C要消去 y，可以将53 D要消去 x，可以将(5)2 4(2017 天津)方程组 y2x， 3xy15的解是(D) A. x2 y3 B. x4 y3 C. x4 y8 D. x3 y6 5(2017 杭州)设 x，y，c 是实数，下列说法正确的是(B) A若 xy，则 xcyc B若 xy，则 xcyc C若 xy，则x c y c D若 x 2c y 3c，则 2x3y 6若方程 3(2x2)23x 的解与关于 x 的方程 62k2(x3)
11、的解相同，则 k 的值为(B) A.5 9 B8 9 C.5 3 D5 3 7(2016 毕节)已知关于 x，y 的方程 x2m n24ymn16 是二元一次方程，则 m，n 的值为(A) Am1，n1 Bm1，n1 Cm1 3，n 4 3 Dm1 3，n 4 3 8 (2017 滨州)某车间有 27 名工人， 生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品， 每人每天生产螺母 16 个或螺栓 22 个， 若分配 x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是(D) A22x16(27x) B16x22(27x) C216x22(27x) D222x16(2
12、7x) 9(2017 内江)端午节前夕，某超市用 1 680 元购进 A，B 两种商品共 60 件，其中 A 型商品每件 24 元，B 型商品每 件 36 元设购买 A 型商品 x 件，B 型商品 y 件，依题意列方程组正确的是(B) A. xy60 36x24y1 680 B. xy60 24x36y1 680 C. 36x24y60 xy1 680 D. 24x36y60 xy1 680 10(2017 长沙)方程组 xy1， 3xy3 的解是 x1 y0 11(人教 7 下教材 P90T4 变式题)有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有 30 个头；从下面数，有 84 条腿， 问笼中
13、各有几只鸡和兔？设笼中有 x 只鸡，y 只兔，可列方程组为 xy30 2x4y84 12(2017 新疆)一台空调标价 2 000 元，若按 6 折销售仍可获利 20%，则这台空调的进价是 1_000 元 13(2016 贺州)解方程：x 6 30x 4 5. 解：去分母，得 2x3(30x)60. 去括号，得 2x903x60. 移项、合并同类项，得 5x150. 解得 x30. 14(2017 广州)解方程组： xy5， 2x3y11. 解：3，得 3x3y15， ，得 x4. 代入，得 y1. 原方程组的解为 x4， y1. 15(2017 海南)在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙
14、两种车辆参加运土，已知 5 辆甲种车和 2 辆乙种车一 次共可运土 64 立方米，3 辆甲种车和 1 辆乙种车一次共可运土 36 立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多 少立方米？ 解：设甲种车每辆一次运土 x 立方米，乙种车每辆一次运土 y 立方米，由题意，得 5x2y64， 3xy36. 解得 x8， y12. 答：甲种车每辆一次运土 8 立方米，乙种车每辆一次运土 12 立方米 16(2017 徐州)4 月 9 日上午 8 时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名 34 岁的男子带着他的两个孩子一同参 加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求
15、出哥哥和妹妹的年龄 解：设今年妹妹的年龄为 x 岁，哥哥的年龄为 y 岁， 根据题意，得 xy16， 3（x2）（y2）342.解得 x6， y10， 答：妹妹 6 岁，哥哥 10 岁 17(2017 威海)某农场去年计划生产玉米和小麦共 200 吨采用新技术后，实际产量为 225 吨，其中玉米超产 5%， 小麦超产 15%.该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？ 解：设该农场去年实际生产玉米 x 吨，则该农场去年实际生产小麦(200x)吨根据题意，得 (15%)x(115%)(200x)225. 解得 x50.则 200x150. 答：该农场去年实际生产玉米 50 吨，小麦 150 吨 18
16、(2017 岳阳)我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等第 一次他们领来这批书的2 3，结果打了 16 个包还多 40 本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的 书一起，刚好又打了 9 个包这批书共有多少本？ 解：设这批书共有 x 本根据题意，得 (2 3x40) 16( 1 3x40) 9. 解得 x1 500. 答：这批书共有 1 500 本 19 (2016 龙东)为了丰富学生课外小组活动， 培养学生动手操作能力， 王老师让学生把 5 m 长的彩绳截成 2 m 或 1 m 长的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不
17、同的截法(C) A1 B2 C3 D4 20(2017 南宁)已知 xa， yb 是方程组 x2y0， 2xy5 的解，则 3ab5 21(2016 株洲)某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩(满分 100 分)和平时成绩(满分 100 分)两部分组成，其中测试成绩占 80%，平时成绩占 20%，并且当综合评价得分大于或 等于 80 分时，该生综合评价为 A 等 (1)孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为 185 分，而综合评价得分为 91 分，则孔明同学测试成绩和 平时成绩各得多少分？ (2)某同学测试成绩为 70 分，他的综合评价得分有可能达到 A 等吗？为什么？ (3)如果一个同学综合评价要达到 A 等，他的测试成绩至少要多少分？ 解：(1)设孔明同学测试成绩为 x 分，平时成绩为 y 分，依题意，得 xy185， 80%x20%y91.解得 x90， y95. 答：孔明同学测试成绩是 90 分，平时成绩是 95 分 (2)807080%24(分)， 2420%120(分)100(分)， 故这位同学的综合评价得分不能达到 A 等 (3)假设该同学平时成绩为满分，即 100 分，则该部分的综合成绩为 10020%20(分)， 所以综合成绩还差 802060(分) 故测试成绩应该至少为 60 80%75(分)
