1、 第六单元第六单元 圆圆 第第 22 讲讲 圆的基本性质圆的基本性质 知识点 1 圆的有关概念及性质 1下列说法错误的是(B) A直径是圆中最长的弦 B长度相等的两弧是等弧 C面积相等的两个圆是等圆 D半径相等的两个半圆是等弧 知识点 2 垂径定理及其推论 2如图所示，O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ONAB，垂足为 N，则 ON(A) A5 B7 C9 D11 第 2 题图 第 3 题图 3如图，O 的弦 AB8，M 是 AB 的中点，且 OM3，则O 的半径等于(D) A8 B2 C10 D5 知识点 3 圆心角、弧、弦之间的关系 4如图，在O 中，AC BD ，AOB40，
2、则COD 的度数是(B) A20 B40 C50 D60 第 4 题图 第 5 题图 5如图，AB 是O 的直径，BC CD DE ，COD34，则AEO 的度数是(A) A51 B56 C68 D78 知识点 4 圆周角定理及其推论 6如图，A，B，C 是O 上的三点，B75，则AOC 的度数是(A) A150 B140 C130 D120 第 6 题图 第 7 题图 7如图，已知 AB 是O 的直径，D40，则CAB 的度数为(C) A20 B40 C50 D70 知识点 5 圆内接四边形的性质 8如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，已知BCD110，则BAD70 9如图，已知AB
3、C，以 AB 为直径的O 分别交 AC 于 D，BC 于 E，连接 ED，若 EDEC. (1)求证：ABAC； (2)若 AB4，BC2 3，求 CD 的长 解：(1)证明：EDEC， EDCC. EDCADEADEB180， EDCB.BC. ABAC. (2)连接 AE. AB 为直径，AEBC. 由(1)知 ABAC4， BECE1 2BC 3. 又由(1)知EDCB，CC， EDCABC.CE CA CD CB. CECBCD CA. 32 34CD. CD3 2. 重难点 圆周角定理及其推论 (2017 临沂)如图，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D，ABC 的平分线交 A
4、D 于点 E. (1)求证：DEDB； (2)若BAC90，BD4，求ABC 外接圆的半径 【思路点拨】 (1)根据 DE 和 BD 在同一个三角形当中，利用角平分线的性质以及圆周角定理证明DBE DEB；(2)由BAC90，可知 BC 为直径，且BDC90，在 RtBCD 中，利用勾股定理可求出直径 BC 的长 【自主解答】 (1)证明：AD 平分BAC， BADCAD. 又CBDCAD，BADCBD. BE 平分ABC，CBEABE. DBECBECBDABEBAD. 又BEDABEBAD， DBEBED.DEDB. (2)连接 DC，BAC90，BC 是直径BDC90. BADCAD，B
5、D4，BDCD4. BC BD2CD24 2.外接圆的半径为 2 2. 例题剖析 1本题源于人教版九上教材 P87 例 4 的改编，考查的核心知识点是圆周角定理及其推论 2在第(2)问的解答中有两点必须注意： 根据圆内接四边形对角互补，由BAC90直接得出BDC90，根据 90的圆周角所对的弦是直径， 说明 BC 是直径； 根据圆周角相等得出所对的弦相等，结合中的 BC 是直径，可以构造等腰直角三角形 方法指导 此题有以下两种解法： 1若连接 BE，则用到以下知识点： 直径所对的圆周角等于 90； 圆内接四边形对角互补 2若连接 AC，则用到以下知识点： 直径所对的圆周角等于 90； 同弧所对
6、的圆周角相等 【变式训练 1】 (2017 黄冈)已知如图，在O 中，OABC，AOB70，则ADC 的度数为(B) A30 B35 C45 D70 变式训练 1 图 变式训练 2 图 【变式训练 2】 (2017 青岛)如图，AB 是O 的直径，C，D，E 在O 上，若AED20，则BCD 的度数为 (B) A100 B110 C115 D120 1(2017 徐州)如图，点 A，B，C 在O 上，AOB72，则ACB 等于(D) A28 B54 C18 D36 第 1 题图 第 2 题图 2(2017 广州)如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，ABCD，垂足为 E，连接 CO，AD，
7、BAD20，则 下列说法中正确的是(D) AAD2OB BCEEO COCE40 DBOC2BAD 3(2017 黔东南)如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，A15，半径为 2，则弦 CD 的长为(A) A2 B1 C. 2 D4 第 3 题图 第 4 题图 4(2017 泰安)如图，ABC 内接于O，若A，则OBC 等于(D) A1802 B2 C90 D90 5(2016 杭州)如图，已知 AC 是O 的直径，点 B 在圆周上(不与 A，C 重合)，点 D 在 AC 的延长线上，连接 BD 交O 于点 E，若AOB3ADB，则(D) ADEEB B. 2DEEB C. 3D
8、EDO DDEOB 第 5 题图 第 6 题图 6如图，O 的半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为点 C，连接 AO 并延长交O 于点 E，连接 BE，CE，若 AB8， CD2，则BCE 的面积为(A) A12 B15 C16 D18 7 (2017 淮安)如图， 在圆内接四边形 ABCD 中， 若A， B， C 的度数之比为 435， 则D 的度数是 120 第 7 题图 第 8 题图 8(2017 长沙)如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，已知 CD6，EB1，则O 的半径为 5 9(2017 十堰)如图，ABC 内接于O，ACB90，ACB 的平分线交O 于 D，若 AC6
9、，BD5 2，则 BC 的长为 8 第 9 题图 第 10 题图 10(2017 湖州)如图，已知在ABC 中，ABAC.以 AB 为直径作半圆 O，交 BC 于点 D.若BAC40，则AD 的 度数是 140 11(2016 宁夏)如图，已知ABC，以 AB 为直径的O 分别交 AC 于 D，BC 于 E，连接 ED，若 EDEC. (1)求证：ABAC； (2)若 AB4，BC2 3，求 CD 的长 解：(1)证明：EDEC， EDCC. EDCB， BC.ABAC. (2)连接 AE. AB 为直径，AEBC. 由(1)知 ABAC， BECE1 2BC 3. 又由(1)知EDCB，CC
10、， EDCABC.CE CA CD CB. CECBCD CA. ACAB4， 32 34CD.CD3 2. 12(2017 潍坊)如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，延长 AB 与 DC 相交于点 G，AOCD，垂足为 E，连 接 BD，GBC50，则DBC 的度数为(C) A50 B60 C80 D85 第 12 题图 第 13 题图 13(2017 广安)如图，AB 是O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，已知 cosCDB4 5，BD5，则 OH 的长度为(D) A.2 3 B.5 6 C1 D.7 6 14(2017 孝感)已知半径为 2 的O 中，弦 AC2，弦 AD2
11、2，则COD 的度数为 30或 150 15 (2016 广东)如图， 点 P 是四边形 ABCD 外接圆O 上任意一点， 且不与四边形顶点重合， 若 AD 是O 的直径， ABBCCD，连接 PA，PB，PC，若 PAa，则点 A 到 PB 和 PC 的距离之和 AEAF 31 2 a 习题解析 16(2016 聊城)如图，以 RtABC 的直角边 AB 为直径作O，交斜边 AC 于点 D，点 E 为 OB 的中点，连接 CE 并延长交O 于点 F，点 F 恰好落在AB 的中点，连接 AF 并延长与 CB 的延长线相交于点 G，连接 OF. (1)求证：OF1 2BG； (2)若 AB4，求 DC 的长 解：(1)证明：点 F 是AB 的中点，AF BF . AOFBOF90. ABCABG90，AOFABG. FOBG.AOFABG. AO AB OF BG 1 2，即 OF 1 2BG. (2)在FOE 和CBE 中， FOECBE， EOEB， OEFBEC， FOECBE(ASA) BCOF1 2AB2. AC AB2BC22 5. 连接 DB.AB 为O 直径，ADB90. BDCABC.BCDACB， BCDACB.CD CB BC AC. DC 2 2 2 5. 解得 DC2 5 5 .
