1、 滚动小专题滚动小专题(十一十一) 与圆的有关计算与证明与圆的有关计算与证明 类型 1 与圆的基本性质有关的计算与证明 1如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，ODAC，垂足为 E，连接 BD. (1)求证：BD 平分ABC； (2)当ODB30时，求证：BCOD. 证明：(1)ODAC，OD 为半径， CD AD . CBDABD. BD 平分ABC. (2)OBOD， OBDODB30. AODOBDODB303060. 又ODAC 于 E，OEA90. A180OEAAOD180906030. 又AB 为O 的直径，ACB90. 在 RtACB 中，BC1
2、2AB， 又OD1 2AB， BCOD. 2(2017 安徽)如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BD，AD 不平行于 BC，过点 C 作 CEAD 交ABC 的外接圆 O 于点 E，连接 AE. (1)求证：四边形 AECD 为平行四边形； (2)连接 CO，求证：CO 平分BCE. 证明：(1)BD，BE，DE. CEAD， EDAE180. DDAE180， AEDC. 四边形 AECD 是平行四边形 (2)过点 O 作 OMEC，ONBC，垂足分别为 M，N. 四边形 AECD 是平行四边形，ADEC. 又 ADBC，ECBC.OMON. CO 平分BCE. 3(2017 苏州)如
3、图，已知ABC 内接于O，AB 是直径，点 D 在O 上，ODBC，过点 D 作 DEAB，垂足为 E，连接 CD 交 OE 边于点 F. (1)求证：DOEABC； (2)求证：ODFBDE； (3)连接 OC，设DOE 的面积为 S1，四边形 BCOD 的面积为 S2，若S1 S2 2 7，求 sinA 的值 解：(1)证明：AB 是O 的直径，ACB90. DEAB，DEO90. DEOACB. ODBC，DOEABC. DOEABC. (2)证明：DOEABC，ODEA. A 和BDC 是BC 所对的圆周角， ABDC.ODEBDC. ODFBDE. (3)DOEABC， S DOE
4、SABC( OD AB) 21 4，即 SABC4SDOE4S1. OAOB，SBOC1 2SABC，即 SBOC2S1. S1 S2 2 7，S2SBOCSDOESDBE2S1S1SDBE，SDBE 1 2S1. BE1 2OE，即 OE 2 3OB 2 3OD. sinAsinODEOE OD 2 3. 类型 2 与圆的切线有关的计算与证明 4(2017 黄石)如图，O 是ABC 的外接圆，BC 为O 的直径，点 E 为ABC 的内心，连接 AE 并延长交O 于点 D，连接 BD 并延长至 F，使得 BDDF，连接 CF，BE. (1)求证：DBDE； (2)求证：直线 CF 为O 的切线
5、 证明：(1)E 为ABC 的内心， DACDAB，CBEEBA. 又DBCDAC，DBEDBCCBE，DEBEABEBA， DBEDEB.DBDE. (2)连接 DC. DABDAC，BDCD. 又BDDF，BDCDDF. BCF90. OCCF，即直线 CF 为O 的切线 5(2017 金华)如图，已知：AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CD 是O 的切线，ADCD 于点 D，E 是 AB 延 长线上一点，CE 交O 于点 F，连接 OC，AC. (1)求证：AC 平分DAO； (2)若DAO105，E30. 求OCE 的度数； 若O 的半径为 2 2，求线段 EF 的长 解：(1)证
6、明：直线 CD 与O 相切，OCCD. 又ADCD，ADOC. DACOCA. 又OCOA，OACOCA. DACOAC. AC 平分DAO. (2)ADOC，EOCDAO105， E30，OCE45. 作 OGCE 于点 G，可得 FGCG. OC2 2，OCE45，OGCG2. FG2. 在 RtOGE 中，E30，GE2 3. EFGEFG2 32. 6(2017 贵港)如图，在菱形 ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上，且 PAPD，O 是PAD 的外接圆 (1)求证：AB 是O 的切线； (2)若 AC8，tanBAC 2 2 ，求O 的半径 解：(1)证明：连接 OP，OA，O
7、P 交 AD 于 E， PAPD， AP DP . OPAD，AEDE. DACOPA90. OPOA， OAPOPA. DACOAP90. 四边形 ABCD 为菱形， DACBAC. BACOAP90. OAAB. AB 是O 的切线 (2)连接 BD，交 AC 于点 F， 四边形 ABCD 为菱形， DB 与 AC 互相垂直平分 AC8，tanBAC 2 2 ， AF4，tanDACDF AF 2 2 . DF2 2. AD AF2DF22 6. AE 6. 在 RtPAE 中，tanDACPE AE 2 2 ， PE 3. 设O 的半径为 R，则 OER 3，OAR， 在 RtOAE 中
8、，OA2OE2AE2， R2(R 3)2( 6)2. R3 3 2 ， 即O 的半径为3 3 2 . 7(2017 孝感)如图，O 的直径 AB10，弦 AC6，ACB 的平分线交O 于 D，过点 D 作 DEAB 交 CA 的 延长线于点 E，连接 AD，BD. (1)由 AB，BD，AD 围成的曲边三角形的面积是25 2 25 4 ； (2)求证：DE 是O 的切线； (3)求线段 DE 的长 解：(2)证明：连接 OD. CD 平分ACB， ACDBCD. ADDB. 又AB 为直径，ADDB，ADB90. ODAB. DEAB， ODDE. DE 是O 的切线 (3)AB10，AC6，
9、 BC AB2AC28. 过点 A 作 AFDE 于点 F，则四边形 AODF 是正方形， AFODFD5，BAF90. EAFCAB90，ABCCAB90， EAFABC. tanEAFtanABC. EF AF AC BC，即 EF 5 6 8. EF15 4 . DEDFEF515 4 35 4 . 8(2017 呼和浩特)如图，点 A，B，C，D 是直径为 AB 的O 上的四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 与 BD 交于 点 E. (1)求证：DC2CE AC； (2)若 AE2，EC1，求证：AOD 是正三角形； (3)在(2)的条件下，过点 C 作O 的切线，交 AB 的延长线
10、于点 H，求ACH 的面积 解：(1)证明：C 是劣弧BD 的中点， CD CB . DACCDB. 又ACDDCE， ACDDCE. AC DC CD CE.DC 2CE AC. (2)证明：AE2，CE1， AC3.DC23，DC 3. 连接 OC，OD， C 是劣弧BD 的中点， OC 平分DOB. BCDC 3. AB 是O 的直径， AB AC2BC2 932 3. OBOCODBCDC 3. BOCDOC60. BOD120.DOA60. 又OAOD， AOD 是正三角形 (3)CH 是O 的切线， OCCH. COH60， H30. ACCH3. SAHC1 23 3 3 2 9
11、 3 4 . 9(2017 成都)如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作圆 O，分别交 BC 于点 D，交 CA 的延长线于点 E， 过点 D 作 DHAC 于点 H，连接 DE 交线段 OA 于点 F. (1)求证：DH 是圆 O 的切线； (2)若 A 为 EH 的中点，求EF FD的值； (3)若 EAEF1，求圆 O 的半径 解：(1)证明：连接 OD. OBOD， OBD 是等腰三角形 OBDODB. ABAC， ABCACB. ODBOBDACB. ODAC. DHAC， DHOD. DH 是O 的切线 (2)E 与B 都是AD 所对的圆周角， EB， 由(1)可知，EB
12、C. EDC 是等腰三角形 又DHAC 且点 A 是 EH 中点， 设 AEx，EC4x，则 AC3x. 连接 AD，AB 是直径，ADBD. 又ABC 是等腰三角形，D 是 BC 中点 OD 是ABC 中位线 OD1 2AC，OD 3 2x. ODAC，EODF. 在AEF 和ODF 中， EODF， OFDAFE， AEFODF. EF DF AE OD. AE OD x 3 2x 2 3， EF FD 2 3. (3)设O 半径为 r，即 ODOBr. EFEA，EFAEAF. 又ODEC，FODEAF. FODEAFEFAOFD， DFODr. DEDFEFr1， BDCDDEr1. 在O 中，BDEEAB， BFDEFAEABBDE. BFBD，BDF 是等腰三角形 BFBD1r. AFABBF2OBBF2r(1r)r1. 在BFD 和EFA 中， BFDEFA， BE， BFDEFA. EF FA BF DF， 1 r1 r1 r . 解得 r11 5 2 ，r21 5 2 (舍) 综上，O 的半径为1 5 2 .
