1、钉子板上的多边形学习内容：五年级上册p108-109探索规律“钉子板上的多边形”教材分析：本内容是五年级上册综合实践这一领域的内容，属于规律探索类课型。教材依次呈现多边形中有一颗钉子、两颗钉子的图形，引导学生通过数一数、算一算、小组合作讨论等方式发现多边形的面积与边上钉子数之间的关系，在此基础上，探索、推导多边形内有3颗、4颗钉子的情况，最后得出一般结论。新教材安排这一实践活动的价值不仅仅在于得出一个结论，而是重在让学生经历规律探索的一般过程与方法，学生分析学生经历过在数认识、数运算等领域的规律探索课的一般过程，知道从简单问题入手进行研究，经历发现规律验证规律得出结论这一过程，从而运用结论解决
2、实际问题。在图形领域经历过周长与面积关系的探究，但只是了解了两者之间的变化趋势，并未尝试推导公式得出结论。学生学过用字母表示数和数量关系，但本节课涉及到三个变量之间的关系，学生困难在于无法直接将三个变量联系起来。基于学生的认知特点，课堂上安排先研究两量之间的关系，在验证的矛盾冲突中凸显第三个变量。另外学生对于面积和钉子数之间倍数关系很容易发现，但到形内两枚钉子时，从表面很难得出两量之间的关系，需及时的引导，与形内只有一枚钉子的情况类比发现。学习目标：探索并发现钉子板上围成的多边形的面积与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系学习重点：探索钉子板上多边形的
3、面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系学习难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系学习过程：一、问题引入，揭示课题1.课前提出问题。你知道我们今天要探讨什么问题吗？“钉子板上的多边形”同学们都看到课题了，今天我们研究的多边形在钉子板上，下面请同学们看老师围成的这几个三角形，你有什么想说的？面积越来越大那么你认为出现这种情况和什么有关系呢？学生回答后引导多边形的面积和所用的钉子数是否有关系呢？这节课我们就来研究它。板书课题二、出示学习目标学生齐读学习目标同学们有了明确的学习目标，下面我们就一起朝着学习目标努力吧！三、出示自学指导1自学指导1：自学课本108页第一
4、行的四个图填写下表格(时间：3分钟)图形编号多边形的面积/平方厘米（S）多边形边上的钉子数/枚（n） 我发现 _ 1、小组合作完成2、3分钟后学生汇报自学效果学生很容易得出多边形的面积=多边形上的钉子数23、引导学生用字母表示出规律说明：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。如果用n表示多边形上的钉子数，用S表示多边形的面积，那上面发现的这个规律可以怎样表示？教师确认、说明字母表示的关系式，并板书：S=n24.观察比较，反思质疑。引导：是不是所有的钉子板上多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢？请看你刚才自己围的多边形并数一数，看看是不是也有这样的关系。课件出示图学生验
5、证唉，看看这些图形，再看看我们的发现，你们有什么想说吗？现在多边形的面积和边上钉子数还有上面发现的规律吗？提问：怎么回事呢？咱们回过头看一下这4幅图，你又有什么想说的？（上面4个图形中间都只有一个钉子。）真棒，当规律被否定之后，我们回头看图的时候，我们就要从这4个不同的多边形中去找它们的相同点。它们的共同特点是：图形内都只有一个钉子。那也就是说要使这个发现成立的话，它必须要有一个前提，如果用a表示多边形内部的钉子数，那当a=几时，规律成立。当1时，S=n2。（在上面得出的关系式前补充板书：a=1）现在.能用文字语言来表达一下吗？ 5、提出问题，引发思考。引导：刚才研究a=1,如果多边形内有2枚
6、钉子，多边形的面积与边上的钉子数又有什么关系呢？我们继续探究。四、出示自学指导2自学指导2：(时间：3分钟)（1）第1-6组同学围一个内部有2枚钉子的多边形。第7-12组同学围一个内部有3枚钉子的多边形数出边上的钉子数，算出它的面积；（2）每组把获得的数据在小组内交流，并记 录在报告单中多边形内部的钉子数/枚（a）多边形边上的钉子数/枚（n）多边形的面积/平方厘米（S）我发现 _ 1.小组合作，探究规律。学生操作、填表、比较、思考，教师巡视。2. 小组汇报我们刚才已经知道，这里的面积不等于n2，但和n2有点什么关系吗？提问：通过数据比较，你有什么发现？1-6组同学们汇报你们的发现。小结：通过这
7、里的多边形的比较，可以发现，当多边形内部钉子数a=2时，面积S=n2+1。（板书：a=2S=n2+1）追问：检查你画的内部有2个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。指出：现在没有学生提出反例，所以的都符合这里的规律。从大家的图形和数据可以发现， 7-12组同学们汇报你们的发现当多边形内部钉子数a=3时，面积S=n2+2。（板书：a=2S=n2+2）五、引导猜想，概括规律。1.引发学生猜想。提问：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n2；a=2时，S=n2+1。你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有4枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？你的猜想先别
8、告诉别人，大家在小组中再研究一下，等会有发现了再全班交流。2.经历过程，验证猜想。猜想后让学生看课件验证。确认：当多边形内钉子数是4时，面积S就等于n2+3。追问：现在我们又有什么发现？3.拓展延伸，揭示规律。引导学生观察关系式：a=1S=n2a=2S=n2+1a=3S=n2+2a=4S=n2+3引导：你觉得如果a=5，会有什么规律？a=6呢？当A4时，当A5时，当A0时，这些都是猜想，还有待同学是验证。今天，我们研究了多边形的面积不仅与钉子板边上钉子数有关、而且还与多边形内的钉子数有关，能不能将这些关系用一个式子表示出来吗？当AM时，怎样表示这个规律？。在此，老师想介绍一本书与一个人。4.适
9、当介绍，拓展视野。说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作格点和面积，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。六、回顾过程，交流体会。提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？追问：还有什么疑问吗？小结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同
10、的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。钉子板上的多边形报告单 第 组 一、自学指导1： 自学课本第一行的四个图填写下表格(时间：3分钟)图形编号多边形的面积/平方厘米 （s）多边形边上的钉子数/枚 （n） 二、自学指导2： （1）第1-7组同学围一内部有2枚钉子的多边形，第8-14组同学围一内部有3枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出它的面积； （2）每组把获得的数据在小组内交流，并记录在下表中 多边形内部的钉子数/枚 （a）多边形边上的钉子数/枚 （n）多边形的面积/平方厘米 （s）
