1、 华大新高考联盟华大新高考联盟 2019 届高三届高三 4 月教学质量测评月教学质量测评 理科数学理科数学 命题：华中师范大学考试研究院 本试题卷共 4 页，23 题（含选考题） 全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 祝考试顺利 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴切答题卡上的指定位置 2选择题的作答，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效 4选
2、考题的作答，先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑答案写在答题卡上对应的 答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 5考试结束后，请将答题卡上交 一一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1已知集合21AxxZ， 2 230BxxxZ，则AB的子集个数是（ ） A4 B8 C16 D32 2设i是虚数单位，复数 i 2i z ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3甲、乙、丙
3、、丁四人商量是否参加研学活动甲说： “乙去我就肯定去 ” ；乙说： “丙去我就不去 ” ；丙 说： “无论丁去不去，我都去 ” ；丁说： “甲乙中至少有一人去，我就去， ” 以下哪项推论可能是正确的（ ） A乙、丙两个人去了 B甲一个人去了 C甲、丙、丁三个人去了 D四个人都去了 4对于某网店一周内每天的订单数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示） ，若已知该周内日平均订 单是 32 个，则该周内日订单数的方差是（ ） A 908 7 B 909 7 C130 D 911 7 5若抛物线 2 20ypx p的准线与圆 2 2 881xy的直径垂直，且交点为直径的三等分点，则 p （ ） A1
4、0 B12 C10 或 22 D12 或 24 6我国古代数学名著九章算术 ，将正四梭锥称为方锥已知半径为R的半球内有个方锥，方锥的所 有顶点都在半球所在球的球面上，方锥的底面与半球的底面重合，若方锥的体积为16 3 ，则半球的表面积为 （ ） A4 B8 C12 D16 7 已知实数x，y满足约束条件： 3220, 4, 220 xy y xy 则目标函数 22 12zxy的取值范围是 （ ） A 4 205 , 59 B 2 5 205 , 59 C 205 2, 9 D 4 313 , 549 8在ABC中，60B ，3AC ，则2BCAB的最大值为（ ） A2 2 B2 3 C2 D不
5、存在 9已知以双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为 16，且双曲 线的两条渐近线坐标平面四等分，则该双曲线的方程为（ ） A 22 1 88 xy B 22 1 1616 xy C 22 1 44 xy D 22 1 816 xy 10一个几何体的中视图如图所示，则它的侧面积为（ ） A1729 B1725 C2 172 210 D17210 11现有 10 名学生排成一排，其中 4 名男生，6 名女生，若有且只有 3 名男生相邻排在一起，则不同的排 法共有（ ） A 62 67 A A种 B 32 47 A A种 C 362 367 A
6、 A A种 D 362 467 A A A种 12已知 e1 e1 xx f xaxx与 2 e x g x 的图象至少有三个不同的公共点，其中e为自然数 的底数，则a的取值范围是（ ） A 12 , 22 B 1 ,1 2 C 2 ,1 2 D 1, 2 二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知 3, 2 2,2 x x f x xx 则1ff _ 14已知为锐角，若tan是方程 2 2950xx的一根，则 22 22 sin4cos 5sincos _ 15已知向量,3ak ，2,bm，0k 且4a b ，向量b在a方向上的投影为 4 5 ，则实
7、数mk的 值为_ 16已知函数 2sinsin2f xxx，给出下列结论： yf x的图象关于直线 2 x 对称； yf x的图象关于点,0对称； f x的最大值为 3 3 2 ； f x的周期函数， 其中正确结论有_ （请填写序号） 三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知等差数列 n a，首项 1 1a ，且 2 a， 3 1a ， 9 1a 构成等比数列 （）求数列 n a的通项公式； （）设数列 n b满足2n nn ba ，求数列 n b的前n项和 n S 18 如图 已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形， 平面PAD 平面ABCD，ADBC，ADCD， 且224
8、ADBCCD，2 2PAPD，AD，AB的中点分别是O，G （）求证：GO 平面POC； （）求二面DPG O的余弦值 192018 年新课标卷理综物理高考试题的选择题是这样的： 二、选择题：本题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，第 1418 题只有一项符 合题目要求第 1921 题有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分，每年高考后都会对每题的得分情况进行一个大致的统计，特地对第 19 题的得分情况进调研，从某省所 有试卷中随机抽取 1000 份试卷，其中第 19 题的得分组成容量为 1000 的样本统计结果如下
9、表： 得分 0 3 6 人数 200 300 500 （）求这 1000 份试卷中第 19 题的得分的中位数和平均数； （）若某校的两名高三学生因故未参加考试，如果这两名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率 作为这两名同学相应的各种得分情况的概率 试求这两名同学理综卷第 19 题的得分之和X的分布列及效学 期望 20已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 1 2 ，半焦距为c，过点,B ac作x轴、y轴的垂 线，垂足分别点 1 B， 2 B，且四边形 12 OB BB的面积为 2 （）求椭圆C的标准方程； （） 已知经过点B的直线l与椭圆C交于M，N两点， 设直线 1
10、 B M与直线 1 B N的倾斜角分别为， 且tantan1，求tan的取值范围 21已知函数 ln1f xxkx （）讨论函数 f x的单调性； （）若不等式 1kf x对任意1,2x恒成立，求实数k的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 两两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为 1, 43 xt yt （t是参数） ，以原点为极点，x轴的非负半 轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin （I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
11、 （）设点M在曲线C上，曲线C在点M处的切线与直线l垂直，求点M的直角坐标 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 214f xxx （）解不等式 10f x ； （）若不等式 2 48f xxaa的解集不是空集，求实数a的取值范围 华大新高考联盟华大新高考联盟 2019 届高三届高三 4 月教学质量测评月教学质量测评 理科数学参考答案和评分标准理科数学参考答案和评分标准 一一、选择题选择题 1 【答案】C 【命题意图】本题考查了集合的并集、子集的个数等基本知识 【解析】易知13Bxx Z0,1,2， 又211,0Axx Z，所以1,0,1,2AB ，所以AB的子集个数是 4 216故选 C
12、2 【答案】A 【命题意图】本题考查了复数的运算、复数的几何意义等基本知识 【解析】因为 i12i21 i 2i2i2i2i55 z ， 所以复数z在复平面内对应的点为 2 1 , 5 5 其位于第一象限，故选 A 3 【答案】C 【命题意图】本题主要考察逻辑推理能力 【解析】因为乙说： “丙去我就不去 ” ，所以 A，D 不可能丁说： “甲乙中至少有一人去，我就去 ” ，所 以 B 不可能故选 C 4 【答案】A 【命题意图】本题考查了茎叶图、平均数、方差等基本知识 【解析】根据样本的茎叶图，可知某网店一周内日订单数依次是 15，20a，23，32，38，46，47，又因 为已知该周内日平均
13、订单是 32 个， 所以15 202332384647 32 7 a ， 化简得 221 32 7 a ，解得3a 所以该周内日订单数的方差是 2222222 153223 3223 323232383246324732 7 28981 81 036 196225908 77 故选 A 5 【答案】C 【命题意图】本题考查了抛物线的准线、圆的直径等基本知识 【解析】因为圆 2 2 881xy的直径长为 18，且抛物线的准线与直径垂直且交点为直径的三等分点， 所以抛物线 2 20ypx p的准线为5x 或11x 所以5 2 p 或11 2 p ， 解得10p 或22p 故 选 C 6 【答案】C
14、 【命题意图】本题考查空间几何体的体积与表面积，考查了空间想象能力以及数学文化知识 【解析】连接AC，BD交于点O，连接OS 依题意，OAOBOCODOSR，2ABR， 则方锥的体积 2 116 2 33 VRR，解得2R 所以半球的表面积 22 212SRR故选 C 7 【答案】A 【命意图】本题考查了距离型线性规划的运用 【解析】画出约束条件 3220, 4, 220 xy y xy 表示的可行域如右图阴影区域所示， 联立 4, 220, y xy 解得 1, 4. x y 所以点A的坐标是1,4； 联立 3220, 4, xy y 解得 10 , 3 4. x y 所以点B的坐标是 10
15、 ,4 3 ； 联立 3220, 220, xy xy 解得 6 , 7 2 . 7 x y 所以点C的坐标是 6 2 , 7 7 ； 22 12zxy表示可行域内的点, x y与点1,2M 之间的距离的平方， 易知当点, x y取可行域内的点 10 ,4 3 B 时， 22 12zxy取得最大值， 此时 2 2 max 10205 142 39 z ； 当点, x y取可行域内的点1,2M 在直线AC：220xy上的垂足N时， 22 12zxy取得最小值，此时设垂足点N的坐标是 00 ,x y， 则由 00 0 0 220, 21 , 12 xy y x 解得 0 0 1 , 5 12 .
16、5 x y 此时满足垂足点N在线段AC上 所以 22 min 1124 12 555 z ； 综上所述，目标函数 22 12zxy的取值范围是 4 205 , 59 故选 A 8 【答案】D 【命题意图】考查了解三角形的基础知识 【解析】由正弦定理得 3 2 sinsinsin60 ABBC CA 2sinABC，2sinBCA， 2 24sin2sin4sin2sin 3 BCABACAA 4sin2sin3sin3cos2 3sin 36 AAAAA 2 0, 3 A ，, 66 2 A ， 1 sin,1 62 A 2BCAB不存在最大值，故选 D 9 【答案】A 【命题意图】本题考查了
17、双曲线的实轴、虚轴、渐近线等几何性质 【解析】 设双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的半焦距为c 因为以双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的实轴、虚轴为两条对角线的四边形为菱形，所以216ab，解得8ab 因为双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，所以双曲线的两条渐近线互相垂直， 即直线 b yx a 和直线 b yx a 垂直，可得ab， 联立 , 8, ab ab 解得 2 2, 2 2. a b 故双曲线的方程为 22 1 88 xy 故选 A 10 【答案】B 【命题意图】本题考查了通过三视图求几何体的侧面积 【解析】由三视图可知，该几何体是一个竖放的
18、四棱锥（有一条侧棱PA垂直于底面ABCD） ，其直观图 如下图所示 在直角梯形ABCD中，由勾股定理，得 22 22 3 122 2CDADBCAB； 同理，由勾股定理，得 2222 222 2PBPAAB； 2222 2313PDPAAD； 2 222 2 213PCPBBC； 在PCD中，由余弦定理的推论，得 22 2 222 32 213 2 cos 262 3 2 2 PCCDPD PCD PC CD ， 所以 2 2 234 sin1 cos1 66 PCDPCD 所以PCD的面积为 1134 sin3 2 217 226 PCD SPC CDPCD ， PAB的面积为 11 2 2
19、2 22 PAB SPA AB ， PAD的面积为 11 2 33 22 PAD SPA AD ， PBC的面积为 11 2 2 12 22 PBC SPB BC ， 所以该四棱锥的侧面积为 172 321725 PCDPABPADPBC SSSSS 故选 B 11 【答案】D 【命题意图】本题考查了排列知识的应用， 【解析】采用捆绑法和插空法：从 4 名男生中选择 3 名，进而将 3 个相邻的男生捆在一起，看成 1 个男生， 方法数是 3 4 A种，这样与第 4 个男生看成是 2 个男生；然后 6 个女生随意排的方法数是 6 6 A种；最后在 6 个 女生形成的 7 个空隙中，插入 2 个男
20、生，方法数是 2 7 42A 种，综上所述，不同的排法共有 362 467 A A A种，故 选 D 12.【答案】B 【命题意图】本题考查了函数的图象、函数的单调性和函数的零点问题以及导数的应用问题，还考查了分 类讨论、数形结合和转化与化归的数学思想 【解析】由 f xg x得 2 e1 e1e xxx axx，即 11 11 ee xx xx a 设 1 ex x t ，是11att，即 2 110tata 由 1 ex x t 得 ex x tx 所以 t x在,0上单调递增；在0,上单调递减（如图 1 所示） 若 f x与 g x有四个公共点， 则方程 2 110tata 在区间0,1
21、有两个不等实根 （如图 2 所示） ， 则 2 1410, 10, 1110, 1 01, 2 aa a aa a 无解 若 f x与 g x有三个公共点， 则方程 2 110tata 在区间,0和0,1上各有一个实根 （如 图 3 所示） 则 10, 1110, a aa 解之得 1 1 2 a 特别情况：若0t ，则1a ，此时 2 20tt，则 1 0t ， 2 2t ，不满足题意 若1t ，则1110aa ， 1 2 a ， 2 13 0 22 tt，则 1 1t ， 2 3 2 t ，不满足题意 综上所述 1 1 2 a故选 B 二二、填空题填空题 13 【答案】27 【命题意图】本
22、题考查了分段函数求值 【解析】 3 11 23327ffff 14.【答案】 1 6 【命题意图】本题考查了函数与方程、同角三角函数的基本关系等基本知识 【解析】方程 2 2950xx的两根为 5， 1 2 因为为锐角，所以tan0， 故tan5，则 2222 2222 sin4costan4541 5sincos5tan15 516 15.【答案】8 【命题意图】本题考查了向量的数量积、向量的投影和向量的坐标运算等基本知识 【解析】向量b在a方向上的投影为 44 cos, 5 a b ba b aa ， 所以5a ，所以 2 2 35k，解得4k （4k 舍去） 因为4a b ， 所以 ,3
23、2,4km， 所以234km， 当4k 时， 42 4 3 k m ， 所以8mk 16.【答案】 【命题意图】本题考查了三角函数的图象和性质 【解析】因为 2sinsin22sinsin2f xxxxxf x， 所以 yf x的图象关于直线 2 x 不对称，故结论错误； 因为 22sin 2sin2 22sinsin2fxxxxxf x， 所以 yf x的图象关于点,0对称，故结论正确； 因为 2 2cos1 cos1fxxx， 所以 f x在 22 2,2 33 kkk Z上单调递增， 在 24 2,2 33 kkk Z上单调递减， 所以 2 2 3 xkkZ时， f x取得最大值 3 3
24、 2 ，故结论正确； 因为 22sin2sin222sinsin2f xxxxxf x 所以 f x是周期函数，故结论正确 三、解答题三、解答题 17.【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、利用错位相减法求和等基础知识与基本技能，还考查 了转化与化归的数学思想以及运算求解能力 【解析】 （I）设等差数列 n a公差为d 因为 2 a， 3 1a ， 9 1a 构成等比数列，所以 2 329 11aaa 又因为 1 1a ，所以 2 12111 81ddd， 化简得 2 44d ，解得1d 或1d 当1d 时，数列 n a的通项公式为 1 1111 n aandnn ； 当1d 时， 2
25、0a ，并不满足 2 a， 3 1a ， 9 1a 构成等比数列，故舍去 综上，数列 n a的通项公式是 n an （）易知22 nn nn ban ， 则 2 1 22 22n n Sn ， 231 21 22 21 22 nn n Snn ， 两式相减，得 231111 22222222122 nnnnn n Snnn 18.【命题意图】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面垂直，二面角及空间坐标系等基础知识与 基本技能，考查用向量方法解决数学问题的能力意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论 证能力 【解析】 （）易知四边形OBCD为正方形，BDOC PAPD，AD的中点是O
26、，POAD 平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，POAD， PO平面ABCD POBD 又OCPOO， BO平面POC AD，AB的中点分别是O，G，GOBD GO 平面POC （）由（）知OB，OD，OP两两垂直，建立如图的空间直角坐标系Oxyz 224ADBCCD，2 2PAPD，2POOAOBOD 则点0,0,2P，0,2,0D，0,0,0O1, 1,0G 则1, 1,0OG ，1, 3,0DG 1, 1 2PG 设平面PGO的一个法向量1 111 ,nx y z， 由 1 1 , , nPG nOG 得 1 111 1 11 20, 0, nPGxyz n OGxy
27、得 1 11 0, , z xy 取 1 1x ，得11,1,0n ； 又设平面PGD的一个法向量为2 222 ,nxy z， 由 1 2 , , nPG nDG 得 2 222 2 22 20, 30, nPGxyz nDGxy 得 22 22 , 3, zy xy 取 2 1y ，得23,1,1n 12 1 2 12 1,1,03,1,12 22 cos, 11211 nn n n n n 由图形得二面角BPD C为锐角，二面角DPG O的余弦值 2 22 11 19.【命题意图】本题主要考查统计图表、概率、平均数、随机变量分布列以及数学期望等基础知识与基本 技能意在考查考生的数据处理能力
28、和应用意识 【解析】 （）因为得分有 1000 位数据， 所以中位数是从小到大排序后的第 500 位与第 501 位两位数字的平均数 故这 1000 份试卷中第 19 题的得分的中位数是 36 4.5 2 设该校高三学生的样本试卷中第 19 题的平均分x， 则由表中数据可得 200300500 0363.9 100010001000 x 据此可估计该省高三学生在本次高考理综卷中第 19 题的平均分为 3.9 分 （）依题意，得 0 分的概率为 0.2，得 3 分的概率为 0.3，得 6 分的概率为 0.5， 易知X的所有可能取值情况为：0，3.6，9，12 则0X 表示两名高三学生都得 0 分
29、，则00.2 0.20.04P X ； 3X 表示两名高三学生中的一个得 0 分，另一个得 3 分， 则30.2 0.3 0.3 0.20.12P X ； 6X 表示两名高三学生中的一个得 0 分，另一个得 6 分；或两个都得 3 分， 则60.2 0.5 0.5 0.20.3 0.30.29P X ； 9X 表示两名高三学生中的一个得 3 分，另一个得 6 分； 则90.3 0.5 0.5 0.30.3P X ； 12X 表示两名高三学生都得 6 分，则120.5 0.50.25P X 则这两名同学第 19 题的得分之和X的分布列如下 X 0 3 6 9 12 P 0.04 0.12 0.2
30、9 0.3 0.25 所以这两名同学第 19 题的得分之和X的数学期望为 0 0.04 3 0.126 0.29 9 0.3 12 0.257.8E X 20.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的取值范围等基本知识 与基本技能，以及数形结合、转化与化归的数学思想意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及 分析问题、缩决问题的能力 【解析】 （）四边形 12 OB BB的面积为ac，2ac 椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 1 2 ， 1 2 c a 联系，解得2a，1c 222 3bac 椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy （
31、）由（）得 1 2,0B，2, 1B当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为2x， 此时直线l与椭圆 22 1 43 xy 相切，与题意不符； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为12yk x 由 22 12 , 1, 43 yk x xy 得 2222 43168161680kxkk xkk 设点 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 2 12 2 2 12 2 168 , 43 16168 43 1 0. 2 kk xx k kk x x k k 所以 11 12 12 22 B MB N yy kk xx 12 1212 2211 2 2222 k xk x k xxxx 12 1
32、2 4 2 22 xx k xx 12 1212 4 2 24 xx k x xxx 2 2 22 22 168 4 43 22323 16168168 24 4343 kk k kkk kkkk kk 故tantan3 2 111212 11111 tantan 222222 kkkk xxxxxx 122 1212 41 24 k xxk k x xxx 22 2 222 16841 43 161682 1684 43 kkkkk k kkkkk 2 2 41233 3 44 kk kk 312 tan 31 12 13 4 k k 又 1 2 k ，tan的取值范围为 12 ,0, 5
33、21.【命题意图】本题主要考查用导数求函数的单调性，用导数法解不等式等基础知识与基本技能，以及分 类讨论、函数与方程、转化与化归的数学思想，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力，以及分析 问题、解决问题的能力 【解析】 （）由题意，函数 ln1f xxkx的定义域为0, 则 1 1fxk x （i）当10k ，那1k 时， 令 0fx，得 1 10k x ，得 1 1k x ，得11kx，得 1 1 x k 又因为0x，所以 1 0 1 x k ；令 0fx，得 1 1 x k ； 所以函数 f x在区间 1 0, 1k 上单调递增，在区间 1 , 1k 上单调递减； （ii）当10k ，
34、即1k 时，10k， 又由0x，得 1 0 x ，所以 1 10k x 即 0fx对任意0,x恒成立，所以函数 f x在 区间0,上单调递增； 综上，当1k 时，函数 f x在区间 1 0, 1k 上单调递增，在区间 1 , 1k 上单调递减； 当1k 时，函数 f x在区间0,上单调递增 （）方法一，由（）可知， 当1k 时，函数 f x在区间0,上单调递增，所以函数 f x在区间1,2上单调递增 所以函数 f x在区间1,2上的最小值为 1ln1111fkk ， 最大值为 2ln212ln222fkk ； 当1k 时，函数 f x在区间 1 0, 1k 上单调递增，在区间 1 , 1k 上
35、单调递减； （i）当 1 1 1k ，即0k 时，函数 f x在区间1,2上单调递减，所以函数 f x在区间1,2上的最小 值为 2ln222fk，最大值 11fk ； （ii）当 1 12 1k ，即 1 0 2 k时，函数 f x在区间 1 1, 1k 上单调递增，在区间 1 ,2 1k 上单 调递减；所以函数 f x在区间1,2上最大值为 111 ln1ln11 111 fkk kkk ； 而最小值需要比较 11fk 与 2ln222fk的大小； 因为 121ln2221 ln2221 ln2ffkkkkk ， 所以当1 ln20k ， 即l n2 1k ， 也即ln2 10k 时， 1
36、2ff， 此时函数 f x在区间1,2 上的最小值为 2ln222fk； 当1 ln20k ，即 1 ln2 1 2 k时， 12ff， 此时函数 f x在区间1,2上的最小值为 11fk ； 当1 ln20k ，即ln 22k 时， 12ff，此时函数 f x在区间1, 2上的最小值为 121ln2 11ln2ffk ； （iii） 当 1 2 1k ， 即 1 1 2 k 时， 函数 f x在区间1,2上单调递增， 所以函数 f x在区间1,2上 的最小值为 11fk ，最大值为 2ln222fk； 若不等式 1kf x对任意1,2x恒成立，则 minkf x且 max 11,2f xx
37、综上所述，当 1 2 k 时，函数 f x的区间1,2上的最小值为 11fk ， 最大值为 2ln222fk；此时，1kk 且ln2 22 1k ，解得 ln231 22 k ； 当 1 ln2 1 2 k时，函数 f x在区间1,2上的最小值为 11fk ， 此时 1 ln21 2 fk ，不符合题意，舍去； 当ln2 10k 时，函数 f x在区间1,2上的最小值为 2ln222fk， 最大值为 1 ln11 1 fk k ；此时，ln2 22kk且ln11 1k ， 解得 2 ln22 1 3 ek 但此时 ln22 ln2 1 3 ，与前提条件不符合，故无解，舍去； 当0k 时， 函数
38、 f x在区间1,2上的最小值为 2ln222fk， 此时最小值 20f， 而0k ， 不符合题意，舍去 综上所述，实数k的取值范围是 ln231 , 22 方法二 已知ln11kxkx 由ln11xkx， ln1xx k x ， 令 ln1xx g x x ，则 2 2ln x gx x ， 显然当1,2x时， 0g x， g x在1,2上单调递增， max ln23 2 2 kg xg 由ln1kxkx， ln 1 xx k x ， 令 ln 1 xx h x x ，则 2 1 ln 1 x x h x x 令 1 lnm xx x ，显然 m x在1,2上单调递减 110m ， 1 2ln20 2 m，在1,2上必存在一点 0 x，使得 0 0m x， 当 0 1,xx时， 0m x ，即 0h x， h x在 0 1,x上单调递增， 当 0,2 xx时， 0m x ，即 0h x， h x在 0,2 x上单调递减 h x在1,2上的最小值只可能在端点处的取得 1 1 2 g ， ln22 2 3 g ， min 1 2 g x
