1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 73 专题研究 4 圆锥曲线中的探索性问题 1 (2018 重庆一中期中 )当曲线 y 4 x2与直线 kx y 2k 4 0 有两个不同的交点时 ， 实数 k 的取值范围是 ( ) A (0， 34) B (512， 34 C (34， 1 D (34， ) 答案 C 解析 曲线 y 4 x2表示圆 x2 y2 4 的下半部分 ， 直线 kx y 2k 4 0 过定点 ( 2， 4)由 |2k 4|k2 1 2， 解得 k 34， 所以过点 ( 2， 4)且斜率 k 34的直线 y 34x 52与曲线 y 4 x2相切 ， 如图所示过点 ( 2，
2、4)与点 (2， 0)的直线的斜率为 4 0 2 2 1.所以曲线 y 4 x2与直线 kx y 2k 0 有两个不同的交点时 ， 实数 k 的取值范围是 (34， 1故选 C. 2 设抛物线 x2 2py(p0)， M 为直线 y 2p 上任意一点 ， 过 M 引抛物线的切线 ， 切点分别为 A， B， 记 A， B， M 的横坐标分别为 xA， xB， xM， 则 ( ) A xA xB 2xM B xA xB xM2 C.1xA 1xB 2xMD 以上都不对 答案 A 解析 由 x2 2py 得 y x22p， 所以 y xp， 所以直线 MA 的方程为 y 2pxAp(x xM)， 直
3、线MB 的方程为 y 2p xBp(x xM)， 所以 xA22p 2pxAp(xA xM) ，xB22p 2pxBp(xB xM) ， 由 可得 xA xB 2xM， 故选 A. 3 (2016 浙江 ， 文 )设双曲线 x2 y23 1 的左、右焦点分别为 F1， F2.若点 P 在双曲线上 ，且 F 1PF2为锐角三角形 ， 则 |PF1| |PF2|的取值范围是 _ 答案 (2 7， 8) 解析 由题意不妨 设点 P 在双曲线的 右支上 ，现考虑两种极限情况：当 PF2 x 轴时 ， |PF1| |PF2|有最大值 8；当 P 为直角时 ， |PF1| |PF2|有最小值 2 7.因为
4、 F 1PF2为锐角三角形 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 |PF1| |PF2|的取值范围为 (2 7， 8) 4 已知圆 C 的半径为 2， 圆心在直线 y x 2 上 ， E(1， 1)， F(1， 3)， 若圆上存在点 Q，使 |QF|2 |QE|2 32， 则圆心的横坐标 a 的取值范围为 _ 答案 3， 1 解析 根据题意 ， 可设圆 C 的方程为 (x a)2 (y a 2)2 4， 设 Q(x， y)， 由 |QF|2 |QE|2 32， 得到 (x 1)2 (y 3)2 (x 1)2 (y 1)2 32， 得 y 3， 故点 Q 在直线 y 3 上 ， 又点 Q 在
5、圆 (x a)2 (y a 2)2 4 上 ， 所以圆 C 与直线 y 3 必须有公共点因为圆心的纵坐标为 a 2， 半径为 2， 所以圆 C 与直线 y 3 有公共点的充分条件是 1 a 25 ， 即 3a1. 所以圆心的横坐标 a 的取值范围是 3， 1 5 (2018 江西红色七校二模 )已知椭圆的焦点坐标为 F1( 1， 0)， F2(1， 0)， 过 F2垂直于长轴的 直线交椭圆于 P， Q 两点 ， 且 |PQ| 3. (1)求椭圆的方程； (2)过 F2的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M， N， 则 F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在 ， 求出这个最大值及此时直
6、线 l 的方程；若不存在 ， 请说明理由 答案 (1)x24y23 1 (2)存在 ， 最大值为916 解析 (1)设椭圆方程为 x2a2y2b2 1(ab0)， 由焦点坐标可得 c 1， 由 |PQ| 3， 可得2b2a 3. 又 a2 b2 1， 解得 a 2， b 3， 故椭圆方程为 x24y23 1. (2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 不妨设 y10， y20， 得 |k|12. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 16k4k2 3， x1x2 44k2 3. |EA| |EB|， (EA EB ) AB 0. =【 ;精品教育资源文库
7、】 = 又 EA EB (x1 x2， k(x1 x2) 4 2t)， AB (x2 x1， k(x2 x1)， (x2 x1， k(x2 x1)(x 1 x2， k(x1 x2) 4 2t) 0， 展开化简 ， 得 (1 k2)(x 1 x2) 4k 2kt 0， 将 x1 x2 16k4k2 3代入化简 ， 得 t 24k2 3， 又 |k|12， t 24k2 3 ( 12， 0) 综上 ， 存在符合题意的点 E， 且实数 t 的取值范围为 ( 12， 0 7 (2018 贵州贵阳考试 )已知抛物线 E： y2 4x 的焦点为 F， 准线为 l， 准线 l 与 x 轴的交点为 P， 过点
8、 P 且斜率为 k 的直线 m 交抛 物线于不同的两点 A， B. (1)若 |AF| |BF| 8， 求线段 AB 的中点 Q 到准线的距 离； (2)E 上是否存在一点 M， 满足 PA PB PM ？若存在 ， 求出直线 m 的斜率；若不存在 ， 请说明理由 答案 (1)4 (2)不存在 解析 (1)由抛物线 E 的方程为 y2 4x， 可得 F(1， 0)， 准线 l： x 1， P( 1， 0) 过点 A 作 AA l， 过点 B 作 BB l， 垂足分别为 A， B . 由 抛物线的定义得 |AF| |AA |， |BF| |BB |， 由 |AF| |BF| 8 得 |AA |
9、|BB | 8. 过 AB 的中点 Q 作 QQ l， 垂足为 Q， 故 QQ 是直角梯形 AA B B 的中位线 ， |QQ | |AA | |BB |2 82 4， 即线段 AB 的中点 Q 到准线的距离为 4. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x， y)， 则 PA PB (x1 1， y1) (x2 1， y2) (x1 x2 2， y1 y2) (x 1， y) PM ， 故?x1 x2 2 x 1，y1 y2 y， 即 ?x1 x2 x 1，y1 y2 y. 设直线 m 的方程为 y k(x 1)， 联立?y k（ x 1） ，y2 4x，k 0，得 k2
10、x2 (2k2 4)x k2 0， (2k2 4)2 4k4 16 16k20， x1 x2 4 2k2k2 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 2k2k2 x 1， x4 k2k2 . y1 y2 k(x1 x2) 2k k 4 2k2k2 2k4k. y 4k. M(4 k2k2 ，4k) 点 M 在抛物线上 ， (4k)2 4 4 k2k2 ， 即 16k2 16k2 4， 此方程无解 不存在满足条件的点 M. 8 (2018 吉林普通中学第一次调研 )如图 ， 已知椭圆 E： x24y2b21(0 0， 所以 x1 x2 8k4k2 3， x1x2 84k2 3. 从而 OA O
11、B PA PB =【 ;精品教育资源文库 】 = x1x2 y1y2 x 1x2 (y1 1)(y2 1) (1 )(1 k2)x1x2 k(x1 x2) 1 8（ 1 ）（ 1 k2） 4k2 34k2 3 4 24k2 3 2 3. 所以当 2 时 ， 4 24k2 3 2 3 7， 即 OA OB PA PB 7 为定值 当直线 AB 的斜率不存在时 ， 直线 AB 即直线 CD. 此时 OA OB PA PB OC OD 2PC PD 3 4 7. 故存在常数 2， 使得 OA OB PA PB 为定值 7. 1 已知抛物线 y2 2px(p0)， O 是坐标原点 ， F 是抛物线的焦
12、点 ， P 是抛物线上一点 ， 则使得 POF 是直角三角形的 点 P 共有 ( ) A 0 个 B 2 个 C 4 个 D 6 个 答案 B 解析 当 OFP 为直角时 ， 作出图形如图所示 ， 过焦点 F 作 PFx 轴 ，交抛物线于点 P， P， 则 OFP ， OFP 都是直角三角形显然 POF不可能为直角若 OPF 90， 易知 F(p2， 0)， 设 P(y22p， y)， 可得 OP (y22p， y)， FP (y22pp2， y)， OP FP y22p(y22pp2) y2 y44p23y24 .y44p20，3y24 0， OP FP 0， cos OPF0， OPF 为
13、锐角 ， 不可能为直角综上 ， 使 得 POF 是直角三角形的点 P 有且有 2 个 2 (2018 江苏盐城中学摸底 )命题 p：已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)， F1， F2是椭圆的两个焦点， P 为椭圆上的一个动点 ， 过 F2作 F 1PF2外角的平分线的垂线 ， 垂足为 M， 则 OM 的长为定值类比此命题 ， 在双曲线中也有命题 q：已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)， F1， F2是双曲线的两个焦点 ， P 为双曲线上的一个动点 ， 过 F2作 F 1PF2的 _的垂线 ， 垂足为 M，则 OM 的长为定值 _ 答案 内角平分线 a 解析 F 1， F2是
14、椭圆的两个焦点 ， P 为椭圆上的一个动点 ， 过 F2作 F 1PF2外角的平分线的=【 ;精品教育资源文库 】 = 垂线 ， 垂足为 M， 点 F2关于 F 1PF2的外角平分线 PM 的对称点 Q 在 F1P 的延长线上 ， |F1Q| |PF1| |PF2| 2a(椭圆长轴长 )， 又 OM 是 F 2F1Q 的中位线 ， 故 |OM| a.不妨设点 P 在双曲线右支上 ， 当过 F2作 F 1PF2的内角平分线的垂线 ， 垂足为 M 时 ， 点 F2关于 F 1PF2的内角平分线 PM 的对称点 Q 在 PF1上 ， |F1Q| |PF1| |PF2| 2a， 又 OM 是 F 2F
15、1Q 的中位线 ， 故 |OM| a. 3 (2018 海南海口三模 )已知椭圆 C： x2a2 y2 1(a1)的左、右焦点分别为 F1( c， 0)， F2(c，0)， P 为椭圆 C 上任意一点 ， 且 PF1 PF2 的最小值为 0. (1)求椭圆 C 的方程； (2 )若动直线 l1， l2均与椭圆 C 相切 ， 且 l1 l2， 试探究在 x 轴上是否存在定点 B， 使得点B 到 l1， l2的距离之积恒为 1？若存在 ， 请求出点 B 的坐标 ；若不存在 ， 请说明理由 答案 (1)x22 y2 1 (2)略 解析 (1)设 P(x， y)， 则有 F1P (x c， y)， F2P (x c， y)， PF1 PF2 x2 y2 c2 （ a2 1） x2a2 1 c2， x a， a， 由 PF1 PF2 的最小值为 0， 得 1 c2 0， c 1， a2 2， 椭圆 C 的方程为 x22 y2 1. (2) 当直线 l1， l2斜率存在时 ， 设其方程分别为 y kx m， y kx n， 把 l1的方程代入椭圆方程得 (1 2k2)
