1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 37 专题研究 1 递推数列的通项的求法 1 (2018 海南三亚一模 )在数列 1， 2， 7， 10， 13， 中 ， 2 19是这个数列的第 ( )项 ( ) A 16 B 24 C 26 D 28 答案 C 解析 设题中数列 an， 则 a1 1 1， a2 2 4， a3 7， a4 10， a5 13， ， 所以 an 3n 2.令 3n 2 2 19 76， 解得 n 26.故选 C. 2 设数列 an的前 n 项和 Sn n2， 则 a8的值为 ( ) A 15 B 16 C 49 D 64 答案 A 解析 a1 S1 1， an S
2、n Sn 1 n2 (n 1)2 2n 1(n2) a8 28 1 15.故选 A. 3 已知数列 an满足 a1 0， an 1 an 2n， 则 a2 017等于 ( ) A 2 017 2 018 B 2 016 2 017 C 2 015 2 016 D 2 017 2 017 答案 B 解析 累加法易知选 B. 4 已知数列 xn满足 x1 1， x2 23， 且 1xn 1 1xn 1 2xn(n2) ， 则 xn等于 ( ) A (23)n 1 B (23)n C.n 12 D. 2n 1 答案 D 解析 由关系式易知 ? ?1xn为首项为 1x1 1， d 12的等差数列 ，
3、1xn n 12 ， 所以 xn 2n 1. 5 已知数列 an中 a1 1， an 12an 1 1(n2) ， 则 an ( ) A 2 (12)n 1 B (12)n 1 2 C 2 2n 1 D 2n 1 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设 an c 12(an 1 c)， 易得 c 2， 所以 an 2 (a1 2)(12)n 1 (12)n 1， 所以选A. 6 若数列 an的前 n 项和为 Sn 32an 3， 则这个数列的通项公式 an ( ) A 2(n2 n 1) B 2 3n C 3 2n D 3n 1 答案 B 解析 an Sn Sn 1， 可知选 B
4、. 7 (2018 云南玉溪一中月考 )已知正项数列 an中 ， a1 1， a2 2， 2an2 an 12 an 12(n2) ，则 a6的值为 ( ) A 2 2 B 4 C 8 D 16 答案 B 解析 因为正项数列 an中 ， a1 1， a2 2， 2an2 an 12 an 12(n2) ， 所以 an2 an 12 an 12 an2(n2) ， 所以数列 an2是以 1 为首项 ， a22 a12 3 为公差的等差数列 ， 所以 an2 1 3(n 1) 3n 2， 所以 a62 16.又因为 an0， 所以 a6 4， 故选 B. 8 (2018 华东师大等四校联考 )已知
5、数列 an满足： a1 17， 对于任意的 n N*， an 1 72an(1 an)， 则 a1 413 a1 314 ( ) A 27 B.27 C 37 D.37 答案 D 解析 根据递推公式计算得 a1 17， a2 72 17 67 37， a3 72 37 47 67， a4 72 67 17 37， ，可以归纳通项公式为：当 n 为大于 1 的奇数时 ， an 67；当 n 为正偶数时 ， an 37.故 a1 413a1 314 37.故选 D. 9 (2018 湖南衡南一中段考 )已知数列 an， 若 a1 2， an 1 an 2n 1， 则 a2 016 ( ) A 2
6、011 B 2 012 C 2 013 D 2 014 答案 C 解析 因为 a1 2， 故 a2 a1 1， 即 a2 1.又因为 an 1 an 2n 1， an an 1 2n 3， 故=【 ;精品教育资源文库 】 = an 1 an 1 2， 所以 a4 a2 2， a6 a4 2， a8 a6 2， ， a2 016 a2 014 2， 将以上 1 007个等式两边相加可得 a2 016 a2 21 007 2 014， 所以 a2 006 2 014 1 2 013， 故选 C. 10 在数列 an中 ， a1 3， an 1 an 1n（ n 1） ， 则通项公式 an _ 答案
7、 4 1n 解析 原递推式可化为 an 1 an 1n 1n 1， 则 a2 a1 11 12， a3 a2 12 13， a4 a3 13 14， ， an an 1 1n 1 1n. 逐项相加 ， 得 an a1 1 1n.又 a1 3， 故 an 4 1n. 11 已知数列 an满足 a1 1， 且 an 1 an3an 1(n N*)， 则数列 an的通项公式为 _ 答案 an 13n 2 解析 由已知 ， 可得当 n1 时 ， an 1 an3an 1. 两边取倒数 ， 得 1an 1 3an 1an 1an 3. 即 1an 1 1an 3， 所以 1an是一个首项为 1a1 1，
8、 公差为 3 的等差数列 则其通项公式为 1an 1a1 (n 1)d 1 (n 1)3 3n 2. 所以数列 an的通项公式为 an 13n 2. 12 在数列 an中 ， a1 1， 当 n2 时 ， 有 an 3an 1 2， 则 an _ 答案 23 n 1 1 解析 设 an t 3(an 1 t)， 则 an 3an 1 2t. t 1， 于是 an 1 3(an 1 1) a n 1是以 a1 1 2 为首项 ， 以 3 为公比的等比数列 an 23 n 1 1. 13 在数列 an中 ， a1 2， an 2an 1 2n 1(n 2)， 则 an _ 答案 (2n 1)2 n
9、 解析 a 1 2， an 2an 1 2n 1(n2) ， an2n an 12n 1 2.令 bn an2n， 则 bn bn 1 2(n2) ， b1 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = bn 1 (n 1)2 2n 1， 则 an (2n 1)2 n. 14 已知数列 an的首项 a1 12， 其前 n 项和 Sn n2an(n1) ， 则数列 an的通项公式为_ 答案 an 1n（ n 1） 解析 由 a1 12， Sn n2an， Sn 1 (n 1)2an 1. ， 得 an Sn Sn 1 n2an (n 1)2an 1， 即 an n2an (n 1)2an 1， 亦即
10、anan 1 n 1n 1(n2) ana1 anan 1 an 1an 2 a3a2 a2a1 n 1n 1 n 2n n 3n 1 24 13 2n（ n 1） . an 1n（ n 1） . 15 (2017 太原二模 )已知数列 an满足 a1 1， an an 1 2anan 1n（ n 1） (n N*)， 则 an_ 答案 n3n 2 解析 由 an an 1 2anan 1n（ n 1） 得 1an 1 1an 2n（ n 1） 2( 1n 1n 1)， 则由累加法得 1an 1a1 2(1 1n)，又因为 a1 1， 所以 1an 2(1 1n) 1 3n 2n ， 所以 a
11、n n3n 2. 16 (2018 河北唐山一中模拟 )已知首项为 7 的数列 an满足 ni 2 ai2i 1 3n 1(n N*)， 则数列an的通项公式为 _ 答案 an?7（ n 1） ，6n（ n2 ） ， 解析 当 n2 时 ， ?i 2n 1ai2i 1 3n， 又 ?i 2nai2i 1 3n 1， 两式相减 ， 得 an2n 1 23 n， 所以 an 6n.由于 a1 7 不符合 an 6n， 所以数列 an的通项公式为 an?7（ n 1） ，6n（ n2 ） . 17 数列 an的前 n 项和为 Sn， 且 Sn n(n 1)(n N*) (1)求数列 an的通项公式；
12、 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若数列 bn满足： an b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1， 求数列 bn的通项公式 答案 (1)an 2n (2)bn 2(3n 1) 解析 (1)当 n 1 时 ， a1 S1 2， 当 n2 时 ， an Sn Sn 1 n(n 1) (n 1)n 2n， 知 a1 2 满足该式 ， 数列 an的通项公式为 an 2n. (2)a n b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1(n1) ， an 1 b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1 bn 13n 1 1. ， 得 bn 13n 1 1 an 1
13、an 2， bn 1 2(3n 1 1) 故 bn 2(3n 1)(n N*) 1 (2017 衡水调研 )运行如图的程序 框图，则输出的结果是 ( ) A 2 016 B 2 015 C. 12 016 D. 12 015 答案 D 解析 如果把第 n 个 a 值记作 an， 第 1 次运行后得到 a2 a1a1 1， 第 2 次运行后得到 a3a2a2 1， ， 第 n 次运行后得到 an 1anan 1， 则这个程序框图的功能是计算数列 an的第 2 015项将 an 1 anan 1变形为 1an 1 1an 1， 故数列 1an是首项为 1， 公差为 1 的等差数列 ， 故 1ann
14、， 即 an 1n， 所以输出结果是 12 015.故选 D. 2 若数列 an满足 a1 1， an 1 2nan， 则数列 an的通项公式 an _ 答案 2n（ n 1）2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由于 an 1an 2n， 故 a2a1 21， a3a2 22， ， anan 1 2n 1， 将这 n 1 个等式叠乘 ， 得 ana1 21 2 (n 1) 2n（ n 1）2 ， 故 an 2n（ n 1）2 . 3 已知 Sn为数列 an的前 n 项 ， a12 a23 a34 an 1n an 2(n2) ， 且 a1 2， 则 an的通项公式为 _ 答案 an n 1 解析 a12 a23 a34 an 1n an 2(n2) ， 当 n 2 时 ， a12 a2 2， 解得 a2 3.a12 a23a34 an 1n ann 1 an 1 2，ann 1 an 1 2 (an 2)(n2) ， 得an 1n 2ann 1(n2) ， an 1n 2 ann 1 a23 1， an n 1(n2) ， 当 n 1 时也满足 ， 故 an n 1.
