1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 2 （5 分）复数 z= 1+2的虚部为（ ） A1 5 B1 5i C 1 3 D 1 3i 3 （5 分）已知 = 2 1 2， = 3 1 3， = 3 2，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 4 （5 分）在等差数列an中，若
2、 a2+a4+a66，则 a3+a5（ ） A2 B4 C6 D8 5 （5 分）函数() = ()2 （其中 e 为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ） Am0，0n1 Bm0，1n0 Cm0，0n1 Dm0，1n0 6 （5 分）将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，为“梯形数” 根据图形 的构成，此数列的第 2018 项为（ ） A10092021 B10102017 C10102023 D10112019 7 （5 分）已知数列an中，a1= 1 2，an+11 1 ，利用下面程序框图计算该数列的项时， 若输出的是 2，则判断框内的条件不可能是（ ） 第 2 页（共
3、 19 页） An2 015 Bn2 018 Cn2 020 Dn2 021 8 （5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积 与原正方体体积的比值为（ ） A1 8 B1 7 C1 6 D1 5 9 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）满足 f（x1）f（x+1）f（1x） ，当 x1， 2时，f（x）log2x，若方程 f（x）ax0 在（0，+）上恰好有两个实数根，则正实 数 a 的值为（ ） A 2 B 1 2 C1 2 D2 10（5 分） 已知向量 ， 满足| | = 4， 在 方向上的投影为 2， 则| + 3 |的最小值为 （ ）
4、A2 B10 C10 D12 11 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的 直线 l 与双曲线 C 的左支交于 A、B 两点若|AB|AF2|，BAF2120，则双曲线 C 第 3 页（共 19 页） 的渐近线方程为（ ） Ay（3 1）x By 6 2 x Cy（3 2）x Dy 3 3 12 （5 分）下列命题正确的个数为（ ）个 若 ， 是第一象限角，且 ，则 sinsin； 函数 = ( 4 )的单调减区间是2 3 4 ， 2 + 4， 函数 y|tanx|的最小正周期是 2； 若 cosa0，则 a 是第二或第三象限角 A0
5、 B1 C2 D3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）(1 + 1 2)(1 + ) 6展开式中 x2的系数为 14 （5 分）在公比大于零的等比数列an+2n，a12，a310，则 a4 ，数列an 的前 n 项和 Sn 15 （5 分）若椭圆 2 2 + 2 2 =1 的焦点在 x 轴上，过点（1，1 2）作圆 x 2+y21 的切线，切点 分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 16 （5 分）如图，在三棱锥 DAEF 中，A1、B1、C1分别是 DA、DE、DF 的中点，B、C
6、分别是 AE、AF 的中点，设三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V1，三棱锥 DAEF 的体积为 V2，则 V1：V2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3（a2+b2c2） sinC acosBbcosAc （）证明：ABC 是直角三角形； （）若 c2，求ABC 周长的最大值 18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，BCDC1，BCD90， 第 4 页（共 19 页） E、F 分别是 AC 和 AD 上的动点，且 EF平面
7、 BCD，二面角 BCDA 为 60 （1）求证：EF平面 ABC （2）若 BEAC，求直线 BF 与平面 ACD 所成的角的正切值 19 （12 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，C 的准线与 x 轴的交点为 E，点 A 是 C 上的动点当AEF 是等腰直角三角形时，其面积为 2 （1）求 C 的方程； （2）延长 AF 交 C 于点 B，点 M 是 C 的准线上的一点，设直线 MF，MA，MB 的斜率分 别是 k0，k1，k2，证明：k1+k22k0 20 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重
8、的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中， 利用小白鼠进行科学试验 为 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该 试验的设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周 期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个
9、接种周期结束 后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxax2+bx，曲线 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 y 2x1 （1）求实数 a，b 的值； 第 5 页（共 19 页） （2）如果不等式() (+1)+1恒成立，求整数 k 的最大值 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （t 为参数） ，以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极
10、坐标方程为2= 12 3+2 （1）若 a2，求曲线 C 与 l 的交点坐标； （2） 过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线， 交l于点A， 且|PA|的最大值为25， 求a 的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）已知 x，y，z 都是正数，求证： （x+y） （y+z） （z+x）8xyz （2）已知不等式 ax2+（a1）x+a10 对于所有实数 x 都成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（
11、共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 【解答】解：集合 AxN|x1，Bx|x5， ABxN|1x52，3，4 故选：C 2 （5 分）复数 z= 1+2的虚部为（ ） A1 5 B1 5i C 1 3 D 1 3i 【解答】解：z= 1+2 = (12) (1+2)(12) = 2+ 5 = 2 5 + 1 5 ， 复数 z= 1+2的虚部为 1 5 故选：A 3 （5 分）已知 = 2 1 2， = 3 1 3， = 3 2，则
12、（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 【解答】解：a= 2 = 8 6 ，b= 3 3 = 9 6 ，1ab cln3 2 1 cab 故选：C 4 （5 分）在等差数列an中，若 a2+a4+a66，则 a3+a5（ ） A2 B4 C6 D8 【解答】解：等差数列an中，若 a2+a4+a663a4，a42 a3+a52a44， 故选：B 5 （5 分）函数() = ()2 （其中 e 为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ） 第 7 页（共 19 页） Am0，0n1 Bm0，1n0 Cm0，0n1 Dm0，1n0 【解答】解：根据题意，设 t= ()2 = 1 （xn） 2
13、，为二次函数，其对称轴为 xn， 则 yet， 当 m0 时，t= 1 （xn） 2 在（0，n）上为减函数，在（n，+）上为增函数， 而 yet，在 R 上为增函数， 根据复合函数的单调性，() = ()2 在（0，n）为减函数，在（n，+）上为增函数， 与题干图象不符合，故 m0 不成立 当 m0 时，t= 1 （xn） 2 在（0，n）上为增函数，在（n，+）上为减函数， 而 yet，在 R 上为增函数， 根据复合函数的单调性，() = ()2 在（0，n）为增函数，在（n，+）上为减函数， 符合题意； 故 m0，且 0n1； 故选：C 6 （5 分）将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5
14、，9，14，20，为“梯形数” 根据图形 的构成，此数列的第 2018 项为（ ） A10092021 B10102017 C10102023 D10112019 【解答】解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为： n1 时，a12+3= 1 2 （2+3）2； n2 时，a22+3+4= 1 2 （2+4）3； 由此我们可以推断： 第 8 页（共 19 页） an2+3+（n+2）= 1 2 2+（n+2）（n+1） a2018= 1 2 2 + (2018+ 2) (2018 + 1) =10112019 故选：D 7 （5 分）已知数列an中，a1= 1 2，a
15、n+11 1 ，利用下面程序框图计算该数列的项时， 若输出的是 2，则判断框内的条件不可能是（ ） An2 015 Bn2 018 Cn2 020 Dn2 021 【解答】解：因为 a1= 1 2，an+11 1 ， 所以2= 1 1 1 = 1 2 = 1，3= 1 1 2 = 1 + 1 = 2，4= 1 1 3 = 1 1 2 = 1 2， 所以数列an是以 3 为周期的周期数列，循环的三项分别是1 2 ， 1，2，即输出的数字 2 是循环数列中的第三项， 2015 3 = 671 2，2018 3 = 672 2，2020 3 = 673 1，2021 3 = 673 2， 只有选项
16、C 对应的余数是 1，不是 2， 故选：C 8 （5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积 与原正方体体积的比值为（ ） 第 9 页（共 19 页） A1 8 B1 7 C1 6 D1 5 【解答】解：由三视图得，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，截去四面体 AA1B1D1，如 图所示，设正方体棱长为 a，则 V三棱锥= 1 3 1 2a 3=1 6a 3， 故正方体的体积为：a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为：1 6 故选：C 9 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）满足 f（x1）f（x+1）f（1x） ，当 x1， 2时，f（
17、x）log2x，若方程 f（x）ax0 在（0，+）上恰好有两个实数根，则正实 数 a 的值为（ ） A 2 B 1 2 C1 2 D2 【解答】解：由 f（x1）f（x+1）f（1x） ，可知 f（x）为偶函数，且一条对称轴 为 x1， 再由 f（x+1）f（1x） ，取 xx+1，可得 f（2+x）f（x） ，求得周期为 2 根据 x1，2时，f（x）log2x，作出函数 f（x）的草图，如图所示： 第 10 页（共 19 页） 方程 f（x）ax0 在（0，+）上恰好有两个实数根， 函数 yax 与 yf（x）的图象在 y 轴右侧有两个交点， 设 yax 与 ylog2x 相切时，切点坐
18、标为（x0，log2x0） ， 由= 1 2，得 1 02 = 20 0 ，解得 x0e2 由图象可知，当直线 yax 过点（2，1）时，方程 f（x）ax0 在（0，+）上恰好 有两个实数根， a= 1 2 故选：C 10（5 分） 已知向量 ， 满足| | = 4， 在 方向上的投影为 2， 则| + 3 |的最小值为 （ ） A2 B10 C10 D12 【解答】解：| | = 4， 在 方向上的投影为| |cos= | |=2， 所以 =2| |8， 又| |= 2 2， 所以 cos1 时| |2 为最小值； 所以( + 3 )2= 2 +6 +9 2 =16+68+9 2 16+4
19、8+94100， 所以| + 3 |的最小值为 10 故选：C 11 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的 直线 l 与双曲线 C 的左支交于 A、B 两点若|AB|AF2|，BAF2120，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） 第 11 页（共 19 页） Ay（3 1）x By 6 2 x Cy（3 2）x Dy 3 3 【解答】解：如图， 设|AB|AF2|m，|AF1|n， mn2a， |BF2|BF1|2a， |BF2|BF1|+2a2a+|AB|AF1|2a+mn4a， |BF1|2a，则|BF2|4a， BAF2120，
20、( 2) 2 + 42= 2，解得 m= 4 33a， 即|AF2|= 4 33a，则|AF1|= 436 3 由 cosF1AF2= 1 2 = (436 3 )2+(43 3 )242 2436 3 43 3 ， 整理可得 c2（523）a2，即 =3 1 双曲线 C 的渐近线方程为 y（3 1）x 故选：A 12 （5 分）下列命题正确的个数为（ ）个 若 ， 是第一象限角，且 ，则 sinsin； 函数 = ( 4 )的单调减区间是2 3 4 ， 2 + 4， 函数 y|tanx|的最小正周期是 2； 若 cosa0，则 a 是第二或第三象限角 A0 B1 C2 D3 【解答】解：，若
21、 ， 是第一象限角，且 ，比如 = 6，= 13 6 ，则 sinsin= 第 12 页（共 19 页） 1 2，故错误； ，函数 = ( 4 )即 ycos（x 4） ，由 2kx 4 2k+，可得 2k+ 4 x 2k+ 5 4 ， 可得单调减区间是2k+ 4，2k+ 5 4 ，kZ，即为2k 7 4 ，2k 3 4 ，kZ，故 错误； 函数 y|tanx|，可得|tan（x+）|tanx|，可得其最小正周期是 ，故错误； ，若 cosa0，则 a 是第二或第三象限角或终边在 x 轴的负半轴上，故错误 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题
22、 5 分）分） 13 （5 分）(1 + 1 2)(1 + ) 6展开式中 x2的系数为 30 【解答】解：当（1+ 1 2）选择 1 时， （1+x） 6 展开式选择 x2的项为6 22；当（1+ 1 2）选 择 1 2时， （1+x） 6 展开式选择为6 44， 所以（1+ 1 2） （1+x） 6 展开式6 2 + 6 4 =30； 故答案为：30 14 （5 分）在公比大于零的等比数列an+2n，a12，a310，则 a4 105 ，数列an 的前 n 项和 Sn 1;(5)(1:5) 2 【解答】解：在公比大于零的等比数列an+2n，a12，a310， q= 3 1 =10 2 =
23、5， a42（5）3105， 数列an的前 n 项和： Sn= 21(5) 15 = 1(5)(1+5) 2 故答案为：105， 1(5)(1+5) 2 15 （5 分）若椭圆 2 2 + 2 2 =1 的焦点在 x 轴上，过点（1，1 2）作圆 x 2+y21 的切线，切点 分别为 A， B， 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 则椭圆方程是 2 5 + 2 4 = 1 第 13 页（共 19 页） 【解答】 解： 设过点 （1， 1 2） 的圆 x 2+y21 的切线为 l： y1 2 =k （x1） ， 即 kxyk+ 1 2 =0 当直线 l 与 x 轴垂直时，k 不存在，直线
24、方程为 x1，恰好与圆 x2+y21 相切于点 A （1，0） ； 当直线 l 与 x 轴不垂直时，原点到直线 l 的距离为：d= |+1 2| 2+1 =1，解之得 k= 3 4， 此时直线 l 的方程为 y= 3 4x+ 5 4，l 切圆 x 2+y21 相切于点 B（ 3 5， 4 5） ； 因此，直线 AB 斜率为 k1= 04 5 13 5 = 2，直线 AB 方程为 y2（x1） 直线 AB 交 x 轴交于点 A（1，0） ，交 y 轴于点 C（0，2） 椭圆 2 2 + 2 2 =1 的右焦点为（1，0） ，上顶点为（0，2） c1，b2，可得 a2b2+c25，椭圆方程为 2
25、5 + 2 4 = 1 故答案为： 2 5 + 2 4 = 1 16 （5 分）如图，在三棱锥 DAEF 中，A1、B1、C1分别是 DA、DE、DF 的中点，B、C 分别是 AE、AF 的中点，设三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V1，三棱锥 DAEF 的体积为 V2，则 V1：V2 3 8 【解答】解：设三棱柱 ABCA1B1C1的高为 h，则三棱锥 DAEF 的高为 2h， 由题意知： V1SABCh= 1 2 ， 2= 1 3 2 = 1 3 1 2 2 2 2 = 8 3 （1 2 ） ， V1：V21：8 3 = 3 8 故答案为：3 8 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分
26、小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 14 页（共 19 页） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3（a2+b2c2） sinC acosBbcosAc （）证明：ABC 是直角三角形； （）若 c2，求ABC 周长的最大值 【解答】解： （I） 因为 3（a2+b2c2） sinCacosBbcosAc 所以 6abcosCsinCacosB+bcosAc， 由正弦定理可得，6bsinAsinCcosCsinAcosB+sinBcosAsinC0， 所以 cosC0，即 C90， 所以ABC 是直角三角形， （II）因为 c
27、2， 所以 a2+b24，即（a+b）24+2ab 4 + (+)2 2 ， （当且仅当 ab 时取等号） ， 解可得，a+b 22， 又因为 a+bc， 所以 4a+b+c 22 + 2即最大值 2+22 18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，BCDC1，BCD90， E、F 分别是 AC 和 AD 上的动点，且 EF平面 BCD，二面角 BCDA 为 60 （1）求证：EF平面 ABC （2）若 BEAC，求直线 BF 与平面 ACD 所成的角的正切值 【解答】解： （1）证明：EF平面 BCD，又 EF平面 ACD， 且平面 ACD平面 BCDCD，EFCD
28、CDBC，EFBCAB平面 BCD， ABCD，ABEF，EF平面 ABC （2）解：由（1）知 CD平面 ABC， ACB 是二面角 BCDA 的平面角，ACB60， 第 15 页（共 19 页） = 3 2 ， = = 3 4， = 3 4 CD平面 ABC，平面 ABC平面 ACD BEAC，BE平面 ACD，所求线面角是BFE， = = 23 3 直线 BF 与平面 ACD 所成的角的正切值为23 3 19 （12 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，C 的准线与 x 轴的交点为 E，点 A 是 C 上的动点当AEF 是等腰直角三角形时，其面积为 2 （1）求 C 的方程
29、； （2）延长 AF 交 C 于点 B，点 M 是 C 的准线上的一点，设直线 MF，MA，MB 的斜率分 别是 k0，k1，k2，证明：k1+k22k0 【解答】解： （1）当AEF 是等腰直角三角形时，EFAF，点 A（ 2，p） ， 1 2 =2，p2， 抛物线方程为：y24x； （2）抛物线方程为：y24x，准线方程为：x1，焦点 F（1，0） ， 设 M（1，y0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 当直线 AB 的斜率不存在时，A（1，2） ，B（1，2） ， 0= 0 2，1 = 02 2 ，2= 0+2 2 ， 1+ 2= 20 2 =2k0， 即 k1+k22k0，
30、 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为：yk（x1） ， 联立方程 = ( 1) 2= 4 ，消去 y 得：k2x2（2k2+4）x+k20， 第 16 页（共 19 页） 1+ 2= 22+4 2 ，x1x21，y1+y2k（x1+x2）2k= 4 ， 0= 0 2，1 = 01 11，2 = 02 12， k1+k2= 01 11 + 02 12 = (01 1+1 + 02 1+2 ) = (01)(1+2)+(02)(1+1) (1+1)(1+2) = 20+0(1+2)(1+2)212+(1+2) 1+(1+2)+12 = 20+0(2+ 4 2) 4 2+(2+ 4
31、2) 4+ 4 2 = 0(4+ 4 2) 4+ 4 2 y0， k1+k22k0， 故 k1+k22k0得证 20 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中， 利用小白鼠进行科学试验 为 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该 试验的设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率
32、均为1 4，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周 期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束 后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 【解答】解： （）连续接种三天为一个接种周期，每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的 第 17 页（共 19 页） 概率均为1 4， 假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验， 由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法
33、公式，得： 一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为： P1= 1 4 + 3 4 1 4 + 3 4 3 4 1 4 = 37 64 （）随机变量 1，2，3，设事件 C 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状” ， P（X1）P（C）= 3 2(1 4) 2(3 4) + 3 3(1 4) 3 = 5 32， P（X2）1P（C）P（C）（1 5 32） 5 32 = 135 1024， P（X3）1P（C）1P（C）1（1 5 32）（1 5 32）1= 729 1024， 所以 X 的分布列为： 1 2 3 P 5 32 135 1024 729 1024 X 的数学
34、期望 E（X）= 1 5 32 + 2 135 1024 + 3 729 1024 = 2617 1024 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxax2+bx，曲线 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 y 2x1 （1）求实数 a，b 的值； （2）如果不等式() (+1)+1恒成立，求整数 k 的最大值 【解答】解： （1）f（x）lnxax2+bx， f（x）= 1 2x+b， 由题意可得，(1) = 1 (1) = 2， 解可得，a0，b1， （2）由（I）可得 f（x）lnx+x，f（x）= 1 +1， 由() (+1)+1恒成立可得，k +1 1 + ( + 1)， 令
35、g（x）= +1 1 + ( + 1)， 第 18 页（共 19 页） 则 g（x）= 1(+1) 2 ， 令 h（x）xln（x+1） ， 则 h（x）= +1 0， h（x）单调递增，而 h（2）0，h（3）0， 所以 h（x）有唯一的实数根 x0（2，3） ，且 0x0ln（x0+1） ， g（x）ming（x0）= 1+0 0 1+ln（1+x0）1+x0（3，4） ， k3，kz， 故 k 的最大值 3 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （
36、t 为参数） ，以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2 （1）若 a2，求曲线 C 与 l 的交点坐标； （2） 过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线， 交l于点A， 且|PA|的最大值为25， 求a 的值 【解答】解： （1）曲线 C 的直角坐标方程为： 2 4 + 2 3 = 1， 当 a2 时，直线 l 的普通方程为 x+2y20， 由 + 2 2 = 0 2 4 + 2 3 = 1 解得 = 2 = 0或 = 1 = 3 2 ， 从而 C 与 l 的交点坐标为（2，0） ，(1， 3 2)； （2）l 的普通方程为 x+2y
37、a0，C 的参数方程为 = 2 = 3（ 为参数） ， 故 C 上任一点(2，3)到 l 的距离为 = |2+23| 5 = |4(+ 6)| 5 则| = 300 = 2 = 2 5 |4( + 6) |， 当 a0 时，|PA|的最大值为2(4:) 5 = 25，所以 a1； 当 a0 时，|PA|的最大值为2(4;) 5 = 25，所以 a1 综上，a1 或 a1 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 第 19 页（共 19 页） 23 （1）已知 x，y，z 都是正数，求证： （x+y） （y+z） （z+x）8xyz （2）已知不等式 ax2+（a1）x+a10 对于所有实数 x 都成立，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）证明：已知 x，y，z 都是正数， （x+y） （y+z） （z+x）2 2 2 =8xyz， 当且仅当 xyz 时，取等号， 故原命题成立； （2）不等式 ax2+（a1）x+a10 对于所有实数 x 都成立， 当 a0 时，x+a10 不恒成立； 当 a0 时，根据题意0 = ( 1)2 4( 1)0， 解得 a1 或 a 1 3， 综上，a1 或 a 1 3
