1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（13） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 2 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 3 （5 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C
2、充要条件 D既不充分也不必要 4 （5 分）对于分类变量 A 与 B 的随机变量 k2，下列说法正确的是（ ） Ak2越大，说明“A 与 B 有关系”的可信度越大 Bk2越大，说明“A 与 B 无关”的程度越大 Ck2越小，说明“A 与 B 有关系”的可信度越大 Dk2越接近于 0，说明“A 与 B 无关”的程度越小 5 （5 分）已知 cos（+ 2）= 4 5， 2 3 2 ，则 sin2 的值等于（ ） A12 25 B 12 25 C24 25 D 24 25 6 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B4 3 C2 3 D1 3 7 （5 分）若函数 f
3、（x）alnx（aR）与函数 g（x）= 在公共点处有共同的切线，则实 数 a 的值为（ ） 第 2 页（共 19 页） A4 B1 2 C 2 De 8 （5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲 同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（ ） A24 B12 C8 D6 9 （5 分）已知函数 f（x）2sin2x（0）的最小正周期为 ，若将其图象沿 x 轴向右平 移 m（m0）个单位，所得图象关于 = 3对称，则实数 m 的最小值为（ ） A 4 B 3 C3 4 D 10 （5 分）已知 F1，F2分别为椭圆 C： 2 2 + 2 2 =
4、1（ab0）的左、右焦点，点 P 是椭 圆上位于第一象限内的点，延长 PF2交椭圆于点 Q若PF1Q 是等腰直角三角形且 PF1 为斜边，则椭圆 C 的离心率为（ ） A6 3 B2 1 C3 2 D22 11 （5 分）如图所示，在三棱锥 PABC 中，ABBC，AB3，BC2，点 P 在平面 ABC 内的投影 D 恰好落在 AB 上，且 AD1，PD2，则三棱锥 PABC 外接球的表面积为 （ ） A9 B10 C12 D14 12 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 在双 曲线的右支上，点 N 为 F2M 的中点，O 为坐标原点
5、，|ON|NF2|2b，ONF260， F1MF2的面积为 23，则该双曲线的方程为（ ） A 2 4 2 2 =1 B 2 4 2 4 =1 C 2 8 2 2 =1 D 2 8 2 4 =1 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知 （12x） 5a0+a1x+a2x2+a5x5， 则 a0a1+a2a3+a4a5 的值为 第 3 页（共 19 页） 14 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件 2 + + 3 0 2 + 4 0 2 0 ，则 zx+ 1 3y 的最大值是 15 （5 分）在ABC 中，内角 A，B
6、，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sinAsinBcosCsin2C， 则 2:2 2 = ，sinC 的最大值为 16 （5 分）若 22x2ax+1对任意的 x0，1成立，则正实数 a 的取值范围为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an、bn、cn中，a11， 1 +1 = 2 + 1，= 1 + ， = 1 1 （1）求证：数列bn是等比数列，并求数列an，bn的通项公式； （2）求数列cn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD 是等边三角形且垂直于
7、底面 ABCD， 底面 ABCD 是矩形，AB2AD2，E 是 PD 的中点 （1）证明：CE平面 PAD； （2）点 F 在棱 PB 上，且直线 AF 与直线 BC 所成角的余弦值为 13 13 ，求二面角 ADF C 的余弦值 19 （12 分）已知点 P（x，y）是平面内的动点，定点 F（1，0） ，定直线 l：x1 与 x 轴 交于点 E，过点 P 作 PQl 于点 Q，且满足 = （1）求动点 P 的轨迹 t 的方程； （2）过点 F 作两条互相垂直的直线 l 和 l，分别交曲线 t 于点 AB，和点 C，D设线段 AB 和线段 CD 的中点分别为 M 和 N，记线段 MN 的中点为
8、 K，点 O 为坐标原点，求直线 OK 的斜率 k 的取值范围 20 （12 分）2019 年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了 第 4 页（共 19 页） 10 月 1 日 7：0023：00 这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客 购买商品共 5000 人次顾客购买商品时刻的的频率分布直方图如下图所示， 其中时间段 7： 0011：00，11：0015：00，15：0019：00，19：0023：00，依次记作7，11） ， 11，15） ，15，19） ，19，23 （1）求该天顾客购买商品时刻的中位数 t 与平均值（同一组中的数据用该组区间的中
9、 点值代表） ； （2） 由频率分布直方图可以近似认为国庆节假期期间该商场顾客购买商品时刻服从正态 分布 N（，2） ，其中 近似为，3.6，估计 2019 年国庆节假期期间（10 月 1 日 10 月 7 日）该商场顾客在 12：1219：24 之间购买商品的总人次（结果保留整数） ； （3） 为活跃节日气氛， 该商场根据题中的 4 个时间段分组， 采用分层抽样的方法从这 5000 个样本中随机抽取 10 个样本（假设这 10 个样本为 10 个不同顾客）作为幸运客户，再从 这 10 个幸运客户中随机抽取 4 人每人奖励 500 元购物券， 其他幸运客户每人奖励 200 元 购物券，记获得
10、500 元购物券的 4 人中在 15：0019：00 之间购买商品的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望； 参考数据：若 TN（，2） ，则P（T+）0.6827； P（2T+2）0.9545；P（3T+3）0.9973 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+1asinx，x0，aR，f（x）是函数 f（x）的导函 数 （1）当 a1 时，证明：函数 f（x）在区间0，没有零点； （2）若 f（x）+asinx+a0 在 x0，上恒成立，求 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系
11、xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = = （ 为参数） ，曲 线 C2的参数方程为 = = （ab0， 为参数）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴的极坐标系中，射线 l： 与 C1，C2各有一个交点当 0 时，这两个交点间 第 5 页（共 19 页） 的距离为 2，当 = 2时，这两个交点重合 （I）分别说明 C1，C2是什么曲线，并求出 a 与 b 的值； （II）设当 = 4时，l 与 C1，C2 的交点分别为 A1，B1，当 = 4时，l 与 C1，C2 的交 点为 A2，B2，求四边形 A1A2B2B1的面积 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|x
12、+2|+|x3| （）求不等式 f（x）9 的解集； （）若关于 x 的不等式 f（x）|3m2|有解，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（13） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4， 所以 AB
13、1，2，3， 故选：A 2 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 【解答】解： = 2+3 = (2+3)() 2 = 3 2， = 3 + 2 故选：B 3 （5 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【解答】 解： 若 cos2= 1 3， 则 cos212sin 2， sin= 3 3 ， 则 cos2= 1 3” 是 “sin= 3 3 ” 的 不充分条件； 若 sin= 3 3 ，则 cos21
14、2sin2，cos2= 1 3，则 cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的必要条 件； 综上所述： “cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的必要不充分条件 故选：B 4 （5 分）对于分类变量 A 与 B 的随机变量 k2，下列说法正确的是（ ） Ak2越大，说明“A 与 B 有关系”的可信度越大 Bk2越大，说明“A 与 B 无关”的程度越大 Ck2越小，说明“A 与 B 有关系”的可信度越大 Dk2越接近于 0，说明“A 与 B 无关”的程度越小 第 7 页（共 19 页） 【解答】解：由独立性检验的定义及 K2的意义，得： k2越大，说明“A 与 B 有关系”的可信度越大
15、， “A 与 B 无关”的程度越小， k2越小，说明“A 与 B 有关系”的可信度越小， k2越接近于 0，说明“A 与 B 无关”的程度越大 故选：A 5 （5 分）已知 cos（+ 2）= 4 5， 2 3 2 ，则 sin2 的值等于（ ） A12 25 B 12 25 C24 25 D 24 25 【解答】解：cos（+ 2）sin= 4 5， sin= 4 5， 2 3 2 ， cos= 1 2 = 3 5， sin22sincos2（ 3 5）（ 4 5）= 24 25 故选：C 6 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B4 3 C2 3 D1 3
16、【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为底边为直角三角形，高为 2 的三棱锥体 如图所示： 第 8 页（共 19 页） 所以 V= 1 3 1 2 2 1 2 = 2 3 故选：C 7 （5 分）若函数 f（x）alnx（aR）与函数 g（x）= 在公共点处有共同的切线，则实 数 a 的值为（ ） A4 B1 2 C 2 De 【解答】解：由已知得() = ，() = 1 2，设切点横坐标为 t， = = 1 2 ，解得 = 2， = 2 故选：C 8 （5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲 同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站
17、法种数为（ ） A24 B12 C8 D6 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： ，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有 2 种，乙的站法有 2 种， ，乙同学与老师相邻，则乙的站法有 2 种， ，将剩下的 2 人全排列，安排在剩下的 2 个位置，有 A222 种情况， 则不同站法有 2228 种； 故选：C 9 （5 分）已知函数 f（x）2sin2x（0）的最小正周期为 ，若将其图象沿 x 轴向右平 移 m（m0）个单位，所得图象关于 = 3对称，则实数 m 的最小值为（ ） A 4 B 3 C3 4 D 【解答】 解： f （x） cos2x+1， 由其最小正周期为 ，
18、 1， 所以 f （x） cos2x+1， 将其图象沿 x 轴向右平移 m（m0）个单位，所得图象对应函数为 ycos（2x2m） 第 9 页（共 19 页） +1， 因为其图象关于 = 3对称，则有( 2 3 2) = 1， 2 3 2 = ， ，解得 = 3 2 ， 由 m0，实数 m 的最小值为 3 故选：B 10 （5 分）已知 F1，F2分别为椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点，点 P 是椭 圆上位于第一象限内的点，延长 PF2交椭圆于点 Q若PF1Q 是等腰直角三角形且 PF1 为斜边，则椭圆 C 的离心率为（ ） A6 3 B2 1 C3 2 D22 【解
19、答】解：根据条件可得 PQF1Q 且 PQF1Q，设 PF1t，则 PQF1Q= 2 2 t， 根据椭圆的定义可知 PF22at， 则 QF2PQPF2= 2 2 t （2at） （ 2 2 +1） t2a， 则 t+2t4a，解得 t4（2 1）a， 所以 F2Q（ 2 2 +1）t2a（ 2 2 +1） 4(2 1)a2a2（2 1）a， F1Q= 2 2 t= 2 2 4(2 1) =22(2 1)a， 在 RTF1QF2中，F1Q2+F2Q2F1F22， 即2（2 1）a2+22(2 1)a24c2， 整理得 e2= 2 2 =3（322） ，则 e= 3（2 1）= 6 3， 故选：
20、A 11 （5 分）如图所示，在三棱锥 PABC 中，ABBC，AB3，BC2，点 P 在平面 ABC 内的投影 D 恰好落在 AB 上，且 AD1，PD2，则三棱锥 PABC 外接球的表面积为 （ ） A9 B10 C12 D14 【解答】解：由题意可知，PD平面 ABC， 第 10 页（共 19 页） 所以平面 PAB平面 ABC， 又因为 ABBC， 所以 BC平面 PAB，构造直三棱柱 PABMNC， 则直三棱柱 PABMNC 的外接球即为所求， 球心 O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心 连心线连心的中点， PAB 中，由正弦定理可得，r= 5 2 4 = 10 2 ， 故 R=1
21、+ ( 10 2 )2= 14 2 ， 故 S4 14 4 =14 故选：D 12 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 在双 曲线的右支上，点 N 为 F2M 的中点，O 为坐标原点，|ON|NF2|2b，ONF260， F1MF2的面积为 23，则该双曲线的方程为（ ） A 2 4 2 2 =1 B 2 4 2 4 =1 C 2 8 2 2 =1 D 2 8 2 4 =1 【解答】 解： 由 N 为 MF2的中点， 所以 ONMF1， 且|ON|= 1 2 |1|， 由题意可得F1MF2 60， |ON|NF2|= 1 2（|MF1
22、|MF2|）a，故 a2b，设双曲线的焦距为 2c，在MF1F2 中， 由余弦定理可得 4c2|MF1|2+|MF2|22|MF1|MF2|cos60（|MF1|MF2|）2+|MF1|MF2| 4a2|+|MF1|MF2|， 第 11 页（共 19 页） 所以|MF1|MF2|4c24a24b2， 12= 1 2|MF1|MF2|sin60= 3b 223，b22，a24b28，双曲线的方程为 2 8 2 2 =1 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知 （12x） 5a0+a1x+a2x2+a5x5， 则
23、 a0a1+a2a3+a4a5 的值为 243 【解答】解：因为（12x）5a0+a1x+a2x2+a5x5， 令 x1 可得：a0a1+a2a3+a4a512（1）5243 故答案为：243 14 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件 2 + + 3 0 2 + 4 0 2 0 ，则 zx+ 1 3y 的最大值是 3 【解答】解：画出变量 x，y 满足约束条件 2 + + 3 0 2 + 4 0 2 0 表示的平面区域如图：由 = 2 2 + 4 = 0解得 A（2，3） zx+ 1 3y 变形为 y3x+3z，作出目标函数对应的直线， 当直线过 A（2，3）时，直线的纵截距最小，z 最大
24、， 最大值为 2+3 1 3 =3， 故答案为：3 第 12 页（共 19 页） 15 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sinAsinBcosCsin2C， 则 2:2 2 = 3 ，sinC 的最大值为 5 3 【解答】解：sinAsinBcosCsin2C， 由正弦定理得到：abcosCc2，可得 cosC= 2 ， 又 cosC= 2+22 2 ， 2:2;2 2 = 2 ，整理可得 2:2 2 的值为 3 cosC= 2+22 2 = 2+22+ 2 3 2 = 2+2 3 2 3 = 2 3，当且仅当 ab 时等号成立， sinCmax= 1
25、 2 = 5 3 故答案为：3， 5 3 16（5 分） 若 22x2ax+1对任意的 x0， 1成立， 则正实数 a 的取值范围为 (2，+ ) 【解答】解：22x2ax+1对任意的 x0，1成立， （2x1）lg2（x+1）lga， 4 (2)0， 引入函数() = 4 (2)， 讨论：当 4 = 0时，a4，此时 f（x）lg8，满足题设； 当 4 0时，0a4，且 4 (2)0，24； 第 13 页（共 19 页） 当 4 0时，a4，且0 4 (2)0，a4 综上，所求实数 a 的取值范围是(2，+ ) 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题
26、12 分）分） 17 （12 分）已知数列an、bn、cn中，a11， 1 +1 = 2 + 1，= 1 + ， = 1 1 （1）求证：数列bn是等比数列，并求数列an，bn的通项公式； （2）求数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）证明：a11，= 1 + ，b12， = 1 + ， 1 +1 = 2 + 1，bn+1= 1 +1 + + 1 = 2 +2n2（ 1 + ） 2bn， 数列bn是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， = 1 + =2n，an= 1 2； （2）解：由（1）知= 1 1 = 2， Sn= 1 2 +2（1 2） 2+ 2， 1 2Sn（ 1
27、2） 2+1 2 + 2+1， 由得 1 2Sn= 1 2 +（1 2） 2+（1 2） 3+（1 2） n 2+1 = 1 21( 1 2) 11 2 2+1 =1（1 2） n 2+1 =1（1+ 2） （ 1 2） n， Sn2 +2 2 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD 是等边三角形且垂直于底面 ABCD， 底面 ABCD 是矩形，AB2AD2，E 是 PD 的中点 （1）证明：CE平面 PAD； （2）点 F 在棱 PB 上，且直线 AF 与直线 BC 所成角的余弦值为 13 13 ，求二面角 ADF C 的余弦值 第 14 页（共 19 页） 【解答】
28、解： （1）证明：平面 PCD平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD，AD 平面 ABCD，ADCD， AD平面 PCD， 又 CE平面 PCD， ADCE， 侧面 PCD 是等边三角形且 E 是 PD 的中点， CEPD， 又 ADPDD， CE平面 PAD； （2）以点 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则(0，0，0)，(1，0，0)，(1，2，0)，(0，2，0)，(0，1，3)， = (1， 1，3)， = (0，2，0)， = (1，0，0)， 点 F 在棱 PB 上，设 = (0 1)， 则 = (， ，3)， = + = (，2 ，3)， 第 15 页（共
29、19 页） 直线 AF 与直线 BC 所成角的余弦值为 13 13 ， | ， | = | | | | | = | ()2+(2)2+(3)2 = 13 13 ，解得 = 1 2，即 F 为 PB 的中点， = ( 1 2 ， 3 2， 3 2 )， = (1，0，0)， = (1 2， 3 2， 3 2 )， 设平面 ADF 的一个法向量为 = (，)，则 = 1 2 + 3 2 + 3 2 = 0 = = 0 ，则可 取 = (0，1， 3)， 设平面 CDF 的一个法向量为 = (，)，则 = 1 2 + 3 2 + 3 2 = 0 = 2 = 0 ，则可取 = (3，0，1)， ， =
30、 | |= 3 4 ，即二面角 ADFC 的余弦值为 3 4 19 （12 分）已知点 P（x，y）是平面内的动点，定点 F（1，0） ，定直线 l：x1 与 x 轴 交于点 E，过点 P 作 PQl 于点 Q，且满足 = （1）求动点 P 的轨迹 t 的方程； （2）过点 F 作两条互相垂直的直线 l 和 l，分别交曲线 t 于点 AB，和点 C，D设线段 AB 和线段 CD 的中点分别为 M 和 N，记线段 MN 的中点为 K，点 O 为坐标原点，求直线 OK 的斜率 k 的取值范围 【解答】 解：（1） 根据条件可知 = （x+1， y） ， = （2， 0） ， = （x1， y） ，
31、 = （2， y） ， 因为 = 所以 2x+22x+2+y2，即 y24x， 所以 P 的轨迹方程为 y24x； （1）设直线 AB：xmy+1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立 2 = 4 = + 1，整理得 y 24my40，且 y1+y24m，y1y24，16（m2+1） ， 所以 M（2m2+1，2m） ，同理，N（ 2 2 + 1， 2 ） ，所以 K（m 2+1 2 +1，m 1 ） ， 所以当 k= 1 2+ 1 2+1 = 1 (1 ) 2+3 = 1 1 + 3 1 ， 第 16 页（共 19 页） 令 tm 1 0，则 k= 1 +3 ， 当 t0 时，t+
32、 3 = （t 3 ）23，当且仅当 t= 3时取等号， 当 t0 时，t+ 3 23，当且仅当 t= 3时取等号， 则 k= 1 +3 3 6 ，0）（0， 3 6 20 （12 分）2019 年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了 10 月 1 日 7：0023：00 这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客 购买商品共 5000 人次顾客购买商品时刻的的频率分布直方图如下图所示， 其中时间段 7： 0011：00，11：0015：00，15：0019：00，19：0023：00，依次记作7，11） ， 11，15） ，15，19） ，19，23 （1
33、）求该天顾客购买商品时刻的中位数 t 与平均值（同一组中的数据用该组区间的中 点值代表） ； （2） 由频率分布直方图可以近似认为国庆节假期期间该商场顾客购买商品时刻服从正态 分布 N（，2） ，其中 近似为，3.6，估计 2019 年国庆节假期期间（10 月 1 日 10 月 7 日）该商场顾客在 12：1219：24 之间购买商品的总人次（结果保留整数） ； （3） 为活跃节日气氛， 该商场根据题中的 4 个时间段分组， 采用分层抽样的方法从这 5000 个样本中随机抽取 10 个样本（假设这 10 个样本为 10 个不同顾客）作为幸运客户，再从 这 10 个幸运客户中随机抽取 4 人每人
34、奖励 500 元购物券， 其他幸运客户每人奖励 200 元 购物券，记获得 500 元购物券的 4 人中在 15：0019：00 之间购买商品的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望； 参考数据：若 TN（，2） ，则P（T+）0.6827； P（2T+2）0.9545；P（3T+3）0.9973 【解答】解： （1）根据题意，中位数 t（15，19） ， 由 4（0.025+0.075）+（t15）0.1000.5，得 t16， 第 17 页（共 19 页） =4（90.025+130.075+170.100+210.050）15.8； （2）由题意可得，商场顾客购买商品时刻服从正态分布 N
35、（15.8，3.62） ， 12.2，+19.4， 所以 2019 年国庆节假期期间， 商场顾客在 12： 1219： 24 之间购买商品的概率为 P （12.2 T19.4）0.6827， 所以人数为 50000.6827723895； （3）根据题意 X 可能取值为 0，1，2，3，4， P（X0）= 6 4 10 4 = 1 14，P（X1）= 6 3 4 1 10 4 = 8 21， P（X2）= 6 2 4 2 10 4 = 3 7，P（X3）= 6 1 4 3 10 4 = 4 35，P（X4）= 4 4 10 4 = 1 210， X 的分布列如下 X 0 1 2 3 4 P 1
36、 14 8 21 3 7 4 35 1 210 E（X）0 1 14 +1 8 21 +2 3 7 + 3 4 35 + 4 1 210 = 1.6 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+1asinx，x0，aR，f（x）是函数 f（x）的导函 数 （1）当 a1 时，证明：函数 f（x）在区间0，没有零点； （2）若 f（x）+asinx+a0 在 x0，上恒成立，求 a 的取值范围 【解答】 （1）证明：若 a1，则 f（x）x2+1sinx，x0， 又 x2+11，所以 x2+1sinx0， 又 f（0）1，f（1 2 ）= 2 4 ，）1+2，当 x (0， 1 2 ) (1 2，
37、)时，1sinx 0， 所以 x2+1sinx0，恒成立， 所以当 a时，函数 f（x）在区间间0，上没有零点 （2）解：f（x）2xacosx，x0， 故 2xacosc+asinx+a0， 设 g（x）2xacosc+asinx+a，x0， 由 g（0）00，g（）2a+20， 则 a， 第 18 页（共 19 页） g（x）2+asinx+acosx2( + 4) + 2， 由 a，得 a0， 在区间0，1 4，上 g（x）单调减，2+ag（0）g（x） ( 4) =2+2， 在区间 x（ 4，） ，上 g（x）单调增，2+2 = ( 4) g（x）g（）2a， 又 a，所以 g（0）2
38、+a0，( 4) =2+20，g（）2a0， 故，g（x）在区间（ 4 ，）上存在唯一零点区间 x0，由 g（x）的单调性可知， 在区间0，x0上，g（x）0，g（x）单调减， 在区间x0，上，g（x）0，g（x）单调增， () (0) = 0 () () 0，故 a 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = = （ 为参数） ，曲 线 C2的参数方程为 = = （ab0， 为参数）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴的极坐标系中，射线 l： 与 C1，C2各有
39、一个交点当 0 时，这两个交点间 的距离为 2，当 = 2时，这两个交点重合 （I）分别说明 C1，C2是什么曲线，并求出 a 与 b 的值； （II）设当 = 4时，l 与 C1，C2 的交点分别为 A1，B1，当 = 4时，l 与 C1，C2 的交 点为 A2，B2，求四边形 A1A2B2B1的面积 【解答】解： （）C1是圆，C2是椭圆 当 0 时，射线 l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0） ， （a，0） ， 因为这两点间的距离为 2，所以 a3 当 = 2时，射线 l 与 C1，C2 交点的直角坐标分别为（0，1） （0，b） ， 因为这两点重合 所以 b1 （）C1，C
40、2的普通方程为 x2+y21 和 2 9 + 2= 1 当 = 4时，射线 l 与 C1 交点 A1的横坐标为 = 2 2 ， 第 19 页（共 19 页） 与 C2交点 B1的横坐标为= 310 10 当 = 4时，射线 l 与 C1，C2 的两个交点 A2， B2分别与 A1，B1关于 x 轴对称，因此四边形 A1A2B2B1为梯形 故四边形 A1A2B2B1的面积为(2:2)(;) 2 = 2 5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|x+2|+|x3| （）求不等式 f（x）9 的解集； （）若关于 x 的不等式 f（x）|3m2|有解，求实数 m 的取值范围 【解答】解： （）f（x）|x+2|+|x3|= 2 1，3 5， 2 3 2 + 1， 2 f（x）9，2 19 3 或2 + 19 2 ， x5 或 x4
