1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|x0，Bx|log2（3x2）2，则（ ） A = (0， 5 3 B = (0， 1 3 C = (1 3， + ) DAB（0，+） 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足1;2 = 1 + ，则|z|（ ） A 5 2 B32 2 C 10 2 D3 3 （5 分）在ABC 中， “ = ”是“| | |” （ ） A充分而不必
2、要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知 a，b 是两条直线， 是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 a，b，ab，则 B若 ，a，则 a C若 ，a，则 a D若 ，a，则 a 5 （5 分）三棱锥 PABC 内接于半径为 2 的球中，PA平面 ABC，BAC= 2，BC22， 则三棱锥 PABC 的体积的最大值是（ ） A42 B22 C4 3 2 D 3 4 2 6 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上的两个动点， 且满足AFB= 2 3 设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N， 则
3、| | 的最大值是 （ ） A3 B 3 2 C 3 3 D 3 4 7 （5 分）函数 f（x）sinx+cosx+sinxcosx 的值域为（ ） A1，1 B1，2 + 1 2 C1，2 1 2 D1，2 8 （5 分）函数 f（x）ln（x3+4）ex 1 的图象大致是（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 9（5 分） 如图是函数 yAsin （x+）（xR， A0， 0， 0 2） 在区间 6 ， 5 6 上的图 象，为了得到这个函数的图象，只需将 ysinx（xR）的图象上的所有的点（ ） A向左平移 3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 1 2，纵坐标不变
4、B向左平移 3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变 C向左平移 6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 1 2，纵坐标不变 D向左平移 6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变 10 （5 分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行） ，受地理条件和测量工具 的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取 A，B 两个观测点，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA45，AB120 米，由此可得河宽约为（精确到 1 米， 参考数据6 2.45，sin750.97） （ ） A170 米 B110 米 C95 米 D80 米 11
5、 （5 分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ） 第 3 页（共 21 页） A频率就是概率 B频率是随机的，与试验次数无关 C概率是稳定的，与试验次数无关 D概率是随机的，与试验次数有关 12 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜 率为24 7 的直线与双曲线在第一象限的交点为 A， 若(21 + 2 ) 1 = 0，则此双曲线的 标准方程可能为（ ） Ax2 2 12 =1 B 2 3 2 4 = 1 C 2 16 2 9 = 1 D 2 9 2 16 = 1 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满
6、分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设函数 f（x）= 2，0 5 ( 5)， 5，那么 f（18）的值 14 （5 分） 为估计池塘中鱼的数量， 负责人将 50 条带有标记的同品种鱼放入池塘， 几天后， 随机打捞 40 条鱼，其中带有标记的共 5 条利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有 鱼 条 15 （5 分）某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库 存货物的运费 y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10km 处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 km 处
7、，最少费用为 万元 16 （5 分） 如图， 圆形纸片的圆心为 O 半径为 4cm， 该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 O， E，F，G，H 为圆 O 上的点，ABE、BCF、CDG、DAH 分别是以 AB，BC，CD， DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 AB，BC，CD，DA 为折痕折起ABE、 BCF、CDG、DAH，使得 E，F，G，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取 得最大值，正方形 ABCD 的边长为 cm 第 4 页（共 21 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在a2+a3
8、a5b1，a2a32a7，S315 这三个条件中任选一个，补充 在下面问题中，并解答 已知等差数列an的公差 d0， 前 n 项和为 Sn， 若 _， 数列bn满足 b11， b2= 1 3， anbn+1nbnbn+1 （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和 Tn 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼 包子的利润为 40 元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损 20 元该包子店记录了 60 天包子的日需求量 n（单位：笼，nN） ，整理得到如图所示的条形图，以这 60 天各 需求
9、量的频率代替相应的概率 （）设 X 为一天的包子需求量，求 X 的数学期望 （）若该包子店想保证 80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？ （）为了减少浪费，该包子店一天只做 18 笼包子，设 Y 为当天的利润（单位：元） ， 求 Y 的分布列和数学期望 19 （12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，DAB60，AB 2，PAD 为等边三角形，平面 PAD平面 ABCD 第 5 页（共 21 页） （1）求证 ADPB （2）在棱 AB 上是否存在点 F，使 DF 与平面 PDC 所成角的正弦值为25 5 ？若存在，确 定线段 AF 的长度；若
10、不存在，请说明理由 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 12 + 2 4 =1，A、B 分别是椭圆 C 长轴的左、右端点，M 为椭圆 上的动点 （1）求AMB 的最大值，并证明你的结论； （2）设直线 AM 的斜率为 k，且 k（ 1 2， 1 3） ，求直线 BM 的斜率的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）xlnx+x2，R （）若 1，求曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）若关于 x 的不等式 f（x） 在1，+）上恒成立，求实数 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直
11、角坐标系 xOy 中，参数方程 = = （其中 为参数）的曲线经过伸缩 变换： = 2 = 得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）2|x|+|x2| （1）解不等式 f（x）4； （2）设函数 f（x）的最小值为 m，若实数 a、b 满足 a2+b2m2，求 4 2 + 1 2:1最小值 第 6 页（共 21 页） 20
12、20 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|x0，Bx|log2（3x2）2，则（ ） A = (0， 5 3 B = (0， 1 3 C = (1 3， + ) DAB（0，+） 【解答】解：集合 Ax|x0，Bx|log2（3x2）2， Bx|2 3 x2， 则 AB（0，+） ，AB（2 3，2） ， 故选：D 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足1;2 = 1 +
13、 ，则|z|（ ） A 5 2 B32 2 C 10 2 D3 【解答】解：由1;2 =1+i，得 z= 12 1+ = (12)(1) (1+)(1) = 1 2 3 2， |z|=( 1 2) 2+ (3 2) 2 = 10 2 故选：C 3 （5 分）在ABC 中， “ = ”是“| | |” （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为在ABC 中 = 等价于 =0 等价于 （ + ）0， 因为 + 的方向为 AB 边上的中线的方向 即 AB 与 AB 边上的中线相互垂直，则ABC 为等腰三角形，故 ACBC， 即| = |
14、|，所以为充分必要条件 故选：C 4 （5 分）已知 a，b 是两条直线， 是三个平面，则下列命题正确的是（ ） 第 7 页（共 21 页） A若 a，b，ab，则 B若 ，a，则 a C若 ，a，则 a D若 ，a，则 a 【解答】解：A若 a，b，ab，则 ，不正确，可能相交； B若 ，a，则 a 或 a，因此不正确； C若 ，a，则 a，正确； 证明：设 b，c，取 P，过点 P 分别作 mb，nc， 则 m，n，ma，na，又 mnP，a D若 ，a，则 a 或 a 故选：C 5 （5 分）三棱锥 PABC 内接于半径为 2 的球中，PA平面 ABC，BAC= 2，BC22， 则三棱锥
15、 PABC 的体积的最大值是（ ） A42 B22 C4 3 2 D 3 4 2 【解答】 解： 由题意三棱锥PABC 内接于半径为2 的球中， PA平面ABC， BAC= 2， BC 22， 棱锥的高为 PA，可得 168+PA2，所以 PA22， 所以三棱锥的体积为：1 3 1 2 = 2 3 ABAC 2 3 2+2 2 = 42 3 ，当 且仅当 ABAC2 时，三棱锥的体积取得最大值 故选：C 6 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上的两个动点， 且满足AFB= 2 3 设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N， 则| | 的最大值
16、是 （ ） 第 8 页（共 21 页） A3 B 3 2 C 3 3 D 3 4 【解答】解：设|AF|a，|BF|b，A、B 在准线上的射影点分别为 Q、P， 连接 AQ、BQ 由抛物线定义，得|AF|AQ|且|BF|BP|， 在梯形 ABPQ 中根据中位线定理，得 2|MN|AQ|+|BP|a+b 由余弦定理得|AB|2a2+b22abcos2 3 =a2+b2+ab， 配方得|AB|2（a+b）2ab， 又ab（ : 2 ） 2， （a+b）2ab（a+b）2（ : 2 ） 2=3 4（a+b） 2 得到|AB| 3 2 （a+b） 所以| | + 2 3 2 (:) = 3 3 ， 即
17、| | 的最大值为 3 3 故选：C 7 （5 分）函数 f（x）sinx+cosx+sinxcosx 的值域为（ ） A1，1 B1，2 + 1 2 C1，2 1 2 D1，2 【解答】解：设 sinx+cosxt（2 2） 所以： = 21 2 则：f（x）sinx+cosx+sinxcosx 第 9 页（共 21 页） = + 21 2 = 1 2 ( + 1)2 1 当 t= 2时，函数取最大值：()= (2) = 2 + 1 2 当 t1 时，函数取最小值：f（x）minf（1）1 所以函数的值域为：1，2 + 1 2 故选：B 8 （5 分）函数 f（x）ln（x3+4）ex 1
18、的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：x3+40，x34，解得 x 4 3 ，函数的定义域为x|x 4 3 ， 当 x4 3 时，f（x），排除选项 A； f（x）ln（x3+4）ex 1，() =32 3+4 ;1， f（0）ln（0+4）e 1ln4e10，排除选项 C； f（x）ln（x3+4）ex 1， f（0）e 10，即 x0 在函数的单调递减区间内，排除选项 D 故选：B 9（5 分） 如图是函数 yAsin （x+）（xR， A0， 0， 0 2） 在区间 6 ， 5 6 上的图 象，为了得到这个函数的图象，只需将 ysinx（xR）的图象上的所有的点（ ） 第 10
19、 页（共 21 页） A向左平移 3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 1 2，纵坐标不变 B向左平移 3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变 C向左平移 6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 1 2，纵坐标不变 D向左平移 6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变 【解答】解：由图可知 A1，T， 2， 又 6+2k（kZ） ， 2k+ 3（kZ） ，又 0 2， = 3， ysin（2x+ 3） 为了得到这个函数的图象，只需将 ysinx（xR）的图象上的所有向左平移 3个长度单 位，得到 ysin（x+ 3）的图象，再将
20、ysin（x+ 3）的图象上各点的横坐标变为原来的 1 2（纵坐标不变）即可 故选：A 10 （5 分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行） ，受地理条件和测量工具 的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取 A，B 两个观测点，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA45，AB120 米，由此可得河宽约为（精确到 1 米， 参考数据6 2.45，sin750.97） （ ） A170 米 B110 米 C95 米 D80 米 【解答】解：在ABC 中，ACB180754560， 由正弦定理得： = ， 第 11 页（共 21 页） AC= = 120 2 2 3 2 =40
21、6， SABC= 1 2ABACsinCAB= 1 2 120 406 75 5703.6， C 到 AB 的距离 d= 2 = 25703.6 120 95 故选：C 11 （5 分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ） A频率就是概率 B频率是随机的，与试验次数无关 C概率是稳定的，与试验次数无关 D概率是随机的，与试验次数有关 【解答】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值 故选：C 12 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜 率为24 7 的直线与双曲线在第一象限的交点为 A， 若(21
22、 + 2 ) 1 = 0，则此双曲线的 标准方程可能为（ ） Ax2 2 12 =1 B 2 3 2 4 = 1 C 2 16 2 9 = 1 D 2 9 2 16 = 1 【解答】解：若（21 + 2 ） 1 =0，即为若（21 + 2 ） （21 + 2 ）0， 可得2 2= 21 2，即有|AF2|F2F1|2c， 由双曲线的定义可得|AF1|2a+2c， 在等腰三角形 AF1F2中，tanAF2F1= 24 7 ， cosAF2F1= 7 25 = 42+42(2+2)2 222 ， 第 12 页（共 21 页） 化为 3c5a， 即 a= 3 5c，b= 4 5c， 可得 a：b3：
23、4，a2：b29：16 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设函数 f（x）= 2，0 5 ( 5)， 5，那么 f（18）的值 9 【解答】解：函数 f（x）= 2，0 5 ( 5)， 5， f（18）f（35+3）f（3）329 故答案为：9 14 （5 分） 为估计池塘中鱼的数量， 负责人将 50 条带有标记的同品种鱼放入池塘， 几天后， 随机打捞 40 条鱼，其中带有标记的共 5 条利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有 鱼 400 条 【解答】解：为估计池塘中鱼的数量，负责人将 50 条带有标记的同品
24、种鱼放入池塘， 几天后，随机打捞 40 条鱼，其中带有标记的共 5 条 设池塘中原来有鱼 n 条，则 5 40 = 50 ， 解得 n400 故答案为：400 15 （5 分）某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库 存货物的运费 y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10km 处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km 处，最少费用为 8 万元 【解答】解：设 x 为仓库与车站距离，由题意可设 y1= 1 ，y2k2x， 把 x10，y12 与 x10，y28 分别代入上式得 k1
25、20，k20.8， y1= 20 ，y20.8x 费用之和 yy1+y20.8x+ 20 220 0.8 =248， 当且仅当 0.8x= 20 ，即 x5 时等号成立 第 13 页（共 21 页） 当仓库建在离车站 5km 处两项费用之和最小最少费用为 8 万元 故答案为：5，8 16 （5 分） 如图， 圆形纸片的圆心为 O 半径为 4cm， 该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 O， E，F，G，H 为圆 O 上的点，ABE、BCF、CDG、DAH 分别是以 AB，BC，CD， DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 AB，BC，CD，DA 为折痕折起ABE、 BCF、CDG、D
26、AH，使得 E，F，G，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取 得最大值，正方形 ABCD 的边长为 16 5 cm 【解答】解：连接 OG 交 CD 于点 M，则 OGDC，点 M 为 CD 的中点，连接 OC， OCM 为直角三角形，设正方形的边长为 2x，则 OMx，由圆的半径 为 4，则 MG4x，设额 E，F，G，H 重合于点 P，则 PMMG4xx 则 0x2，高 PO= (4 )2 2= 16 8， V= 1 3 (2)216 8 = 82 3 24 5， 设 y2x4x5，y8x35x4x3（85x） ，当0 8 5时，y0，y2x 4x5 单调递 增； 当8 5 2时，y0
27、，y2x4x5单调递减， 所以当 x= 8 5时，V 取得最大值，此时，2x= 16 5 即正方形 ABCD 的边长为16 5 时，四棱锥体积取得最大值 第 14 页（共 21 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在a2+a3a5b1，a2a32a7，S315 这三个条件中任选一个，补充 在下面问题中，并解答 已知等差数列an的公差 d0， 前 n 项和为 Sn， 若 _， 数列bn满足 b11， b2= 1 3， anbn+1nbnbn+1 （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和 Tn 注：如果
28、选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】解：若选： （1）anbn+1nbnbn+1，当 n1 时，a1b2b1b2，b11，b2= 1 3，a12 又a2+a3a5b1，d3， an3n1； （2）由（1）知： （3n1）bn+1nbnbn+1，即 3nbn+1nbn，b :1= 1 3 又 b11， 所以数列bn是以 1 为首项，以1 3为公比的等比数列， b = (1 3) ;1，Tn= 1(1 3) 11 3 = 3 2 (1 3;) 若选： 第 15 页（共 21 页） （1）anbn+1nbnbn+1，当 n1 时，a1b2b1b2，b11，b2= 1 3，a12 又a2a
29、32a7，（2+d） （2+2d）2（2+6d） ，d0，d3， an3n1； （2）由（1）知： （3n1）bn+1nbnbn+1，即 3nbn+1nbn，b :1= 1 3 又 b11， 所以数列bn是以 1 为首项，以1 3为公比的等比数列， b = (1 3) ;1，Tn= 1(1 3) 11 3 = 3 2 (1 3;) 若选： （1）anbn+1nbnbn+1，当 n1 时，a1b2b1b2，b11，b2= 1 3，a12 又S315，d3， an3n1； （2）由（1）知： （3n1）bn+1nbnbn+1，即 3nbn+1nbn，b :1= 1 3 又 b11， 所以数列bn是
30、以 1 为首项，以1 3为公比的等比数列， b = (1 3) ;1，Tn= 1(1 3) 11 3 = 3 2 (1 3;) 18 （12 分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼 包子的利润为 40 元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损 20 元该包子店记录了 60 天包子的日需求量 n（单位：笼，nN） ，整理得到如图所示的条形图，以这 60 天各 需求量的频率代替相应的概率 （）设 X 为一天的包子需求量，求 X 的数学期望 （）若该包子店想保证 80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？ （）为了减少浪费，该包子店一天只做 18 笼包
31、子，设 Y 为当天的利润（单位：元） ， 求 Y 的分布列和数学期望 第 16 页（共 21 页） 【解答】 解： （） 由题意得， X 的数学期望为() = 16 10 60 + 17 15 60 + 18 20 60 + 19 10 60 + 20 5 60 = 17.75 （）因为( 18) = 3 4 0.8，( 19) = 11 12 0.8， 所以包子店每天至少要做 19 笼包子 （）当 n16 时，Y1640220600； 当 n17 时，Y174020660； 当 n18 时，Y1840720 所以 Y 的可能取值为 600，660，720， ( = 600) = 1 6，(
32、= 660) = 1 4，( = 720) = 1 1 6 1 4 = 7 12 所以 Y 的分布列为 Y 600 660 720 P 1 6 1 4 7 12 所以 Y 的数学期望为() = 600 1 6 + 660 1 4 + 720 7 12 = 685 19 （12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，DAB60，AB 2，PAD 为等边三角形，平面 PAD平面 ABCD （1）求证 ADPB （2）在棱 AB 上是否存在点 F，使 DF 与平面 PDC 所成角的正弦值为25 5 ？若存在，确 定线段 AF 的长度；若不存在，请说明理由 第 17 页（共
33、 21 页） 【解答】 （1）证明：取 AD 中点 O，连接 PO，OB， 因为平面 PAD平面 ABCD，PAD 为等边三角形，O 为 AD 的中点， 所以 PO平面 ABCD，POAD 因为四边形 ABCD 为菱形，且DAB60，O 为 AD 中点， 所以 BOAD 因为 POBOO，所以 AD面 PBO，所以 ADPB； （2）解：在OCD 中，OC=1 + 4 2 1 2 ( 1 2) = 7，PC= 10， SPCD= 1 2 10 6 2 = 15 2 设 A 到平面 PCD 的距离为 h，则1 3 1 2 2 2 120 3 = 1 3 15 2 h， h= 215 5 ， DF
34、 与平面 PDC 所成角的正弦值为25 5 ， 215 5 = 25 5 ， DF= 3， F 是 AB 的中点，AF1 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 12 + 2 4 =1，A、B 分别是椭圆 C 长轴的左、右端点，M 为椭圆 上的动点 第 18 页（共 21 页） （1）求AMB 的最大值，并证明你的结论； （2）设直线 AM 的斜率为 k，且 k（ 1 2， 1 3） ，求直线 BM 的斜率的取值范围 【解答】解： （1）根据椭圆的对称性，不妨设 M（x0，y0） ， （23x023，0y0 2） ， 过点 M 作 MHx 轴，垂足为 H，则 H（x0，0） （0y02） ， 于
35、是又 tanAMH= | | = 0+23 0 ，tanBMH= | | = 230 0 ， tanAMBtan（AMH+BMH）= + 1 = 430 02+0212， 因为点 M（x0，y0）在椭圆 C 上，所以0 2 12 + 02 4 =1， 所以 x02123y02， 所以 tanAMB= 23 0 ，而 0y02， 所以 tanAMB= 23 0 3， 因为 0AMB， 所以AMB 的最大值为2 3 ，此时 y02， 即 M 为椭圆的上顶点， 由椭圆的对称性，当 M 为椭圆的短轴的顶点时，AMB 取最大值，且最大值为2 3 ； （2）设直线 BM 的斜率为 kM（x0，y0） ，则
36、 k= 0 0+23，k= 0 023， 所以 kk= 02 0212， 又0 2 12 + 02 4 =1，所以 x02123y02， 所以 kk= 1 3 因为 1 2k 1 3，所以 k（ 2 3，1） 所以直线 BM 的斜率的取值范围 （2 3，1） 第 19 页（共 21 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）xlnx+x2，R （）若 1，求曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）若关于 x 的不等式 f（x） 在1，+）上恒成立，求实数 的取值范围 【解答】解： （）当 1 时，f（x）xlnx+x2，则 f（x）lnx+12x 故 f（1）1，又 f（1）1 故
37、所求期限的方程为 y（1）1 （x1） ，即 x+y0； （）由题意得，xlnx+x2 在1，+）上恒成立， 设函数 g（x）xlnx+（x21） 则 g（x）lnx+1+2x 故对任意 x1，+） ，不等式 g（x）0g（1）恒成立， 当 g（x）0，即:1 2恒成立时，函数 g（x）在1，+）上单调递减， 设 r（x）= +1 ，则 r（x）= 2 0， r（x）maxr（1） ，即 12，解得 1 2，符合题意； 当 0 时，g（x）0 恒成立，此时函数 g（x）在1，+）上单调递增， 则不等式 g（x）g（1）0 对任意 x1，+）恒成立，不符合题意； 当 1 2 0 时，设 q（x）
38、g（x）lnx+1+2x，则 q（x）= 1 +2， 令 q（x）0，解得 x= 1 2 1， 故当 x（1， 1 2）时，函数 g（x）单调递增， 当 x（1， 1 2）时，g（x）0 成立，不符合题意， 综上所述，实数 的取值范围为（， 1 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，参数方程 = = （其中 为参数）的曲线经过伸缩 第 20 页（共 21 页） 变换： = 2 = 得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 3
39、10 2 （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 【解答】 解：（） 参数方程 = = （其中 为参数） 的曲线经过伸缩变换： = 2 = 得 到曲线 C： 2 4 + 2= 1； 曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 转化为直角坐标方程为： + 35 = 0； （）设点 P（2cos，sin）到直线 x+y35 =0 的距离 d= |2+35| 2 = |5(+)35| 2 ， 当 sin（+）1 时，dmin= 10 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）2
40、|x|+|x2| （1）解不等式 f（x）4； （2）设函数 f（x）的最小值为 m，若实数 a、b 满足 a2+b2m2，求 4 2 + 1 2:1最小值 【解答】解： （1）当 x0 时，则 f（x）3x+24，解得： 2 3 x0， 当 0x2 时，则 f（x）x+24，解得：0x2， 当 x2 时，则 f（x）3x24，此时无解， 综上，不等式的解集是x| 2 3 x2； （2）由（1）知，当 x0 时，f（x）3x+22， 当 0x2 时，则 f（x）x+22， 当 x2 时，则 f（x）3x24， 故函数 f（x）的最小值是 2， 故 m2，即 a2+b24， 则 4 2 + 1 2:1 = 1 5（a 2+b2+1） （4 2 + 1 2:1） 第 21 页（共 21 页） = 1 55+ 4(2+1) 2 + 2 2+1 1 5（5+2 4(2+1) 2 2 2+1） 9 5， 当且仅当4( 2:1) 2 = 2 2:1且 a
