苏教版高中数学选择性必修一第4章4.3.1《等比数列的概念》教案及课件.zip

4.3等比数列等比数列4.3.1等比数列的概念等比数列的概念学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值导语同学们，看这一张 A4 纸，大家也可以随便找一张纸，看看能折叠多少次，大约折叠上 7 次就折不动了吧，我们可以做一个假设，假如十张纸的厚度为 1 毫米，如果你能折叠 50 次的话，你就可以沿着它到达太阳了，因为每折一次，它的厚度就会变为原来的两倍，其厚度的变化为 0.1 毫米，0.2 毫米，0.4 毫米，0.8 毫米，由其厚度产生的一组数，就是我们今天要研究的等比数列一、等比数列的概念问题观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题我国古代数学名著 孙子算经 中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.庄子天下中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：12，14，18，116，132，；12的 n 次幂按 1 次幂、2 次幂、3 次幂，依次排成一列数：12，14，18，116，；类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？提示我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律 对于我们发现9299，93929，94939，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于 9；对于141212，；对于141212，；也有相同的取值规律知识梳理等比数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0)注意点：(1)定义的符号表示：anan1q(nN*且 n2)或an1anq(nN*)；(2)定义强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为 0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为 0.例 1判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比(1)1，13，16，19，112，；(2)10,10,10,10,10，；(3)23，(23)2，(23)3，(23)4，；(4)1,0,1,0,1,0，；(5)1，4,16，64,256，.解(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为 1；(3)是等比数列，公比为23；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为4.反思感悟判断一个数列是否为等比数列的方法定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为 0，对于含参的数列需要分类讨论跟踪训练 1(多选)以下数列中，不能判定数列是等比数列的有()A数列 1,2,6,18，B数列an中，已知a2a12，a3a22C常数列 a，a，a，D数列an中，an1anq(q0)，其中 nN*答案ABC解析A，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；B，前 3 项是等比数列，多于 3 项时，无法判定，故不能判定是等比数列；C，当 a0 时，不是等比数列；D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列二、等比数列中的基本计算例 2(教材 144 页例 2 改编)求出下列等比数列中的未知项：(1)4，a,9；(2)1，b，c，8.解(1)根据题意，得a49a，所以 a236，所以 a6 或 a6.(2)根据题意，得Error!解得Error!所以 b2，c4.反思感悟一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可，但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列特别地，如果三个数 a，G，b 成等比数列，则我们把 G 称为 a，b 的等比中项，即 G2ab，若 G2ab，则三个数 a，G，b 不一定成等比数列，要考虑 0 的情况，但要注意的是 a，b 的符号必须相同且非零，其等比中项有两个，且互为相反数跟踪训练 2若 1，a,3 成等差数列，1，b,4 成等比数列，则ab的值为()A12 B.12 C1 D1答案D解析因为 1，a,3 成等差数列，1，b,4 成等比数列，所以 a1322，b 1 42，所以ab的值为1.三、等比数列的判定与证明例 3(教材 144 页例 3 改编)(1)已知数列an是等比数列，则 a2 2a1a3是否成立？(2)若在数列an中，有 a2 2a1a3，那么数列an一定是等比数列吗？解(1)因为数列an是等比数列，所以a2a1a3a2，即 a2 2a1a3成立(2)不一定，比如数列 0,0,0，或 1,2,4,5,6,7，虽然满足 a2 2a1a3，但是它们不是等比数列反思感悟若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有 a2n1anan2；反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性跟踪训练 3判断下列数列是否为等比数列：(1)an2n；(2)ann2；(3)an32n；(4)an2n1.解由等比数列的定义可知，anan1q(n2，nN*)，若 q 是一个与 n 无关的常数，则数列an是等比数列(1)anan12n2n12，是等比数列；(2)anan1n2n12，不是常数，故不是等比数列；(3)anan13 2n3 2n12，是等比数列；(4)anan12n12n11，不是常数，故不是等比数列1知识清单：(1)等比数列的概念(2)根据等比数列的定义进行简单的运算(3)等比数列的判定与证明2方法归纳：定义法，方程(组)思想3常见误区：由 a，G，b 成等比数列能推出 G2ab；但 G2ab 不能推出 a，G，b 成等比数列1下列数列是等比数列的是()A10,100,1 000,1 000 0B4,6,9,12 C1,0,1,2Dlg 2，lg 3，lg 6，lg 18答案A解析A 满足等比数列的定义，其余均不满足2(多选)已知 a 是 1,2 的等差中项，b 是1，16 的等比中项，则 ab 等于()A6 B6 C12 D12答案AB解析a12232，b2(1)(16)16，b4，ab6，故选 AB.3(多选)下列说法正确的有()A等比数列中的项不能为 0B等比数列的公比的取值范围是 RC若一个常数列是等比数列，则公比为 1D22,42,62,82，成等比数列答案AC解析A 显然正确；等比数列的公比不能为 0，故 B 错误；C 显然正确；由于42226242，故不是等比数列，D 错误4若数列 an3n1a2 是等比数列，则 a_.答案2解析由题意 a1a1，a2a1，a3a7，所以有(a1)2(a1)(a7)，解得 a2.课时对点练课时对点练1下列数列是等比数列的是()A1,11,111,1111 B1，2,4，8C1,5,25，125 D22,32,42,52答案B解析由等比数列的定义可知，只有 B 满足题意，其余均不是2若 2，a,6 成等比数列，则 a 等于()A1 B2 3 C2 D2答案B解析由等比中项的性质可得，a22612，所以 a2 3.3在等比数列an中，a18，a464，则 a3等于()A16 B16 或16C32 D32 或32答案C解析根据等比数列的定义Error!即Error!解得 a332.4在数列an中，若 an13an，a12，则 a4为()A108 B54 C36 D18答案B解析因为 an13an，所以数列an是公比为 3 的等比数列，则 a433a154.5 已知数列an和bn满足 bn|an|，则“数列an为等比数列”是“数列bn为等比数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案A解析若数列an为等比数列，公比为 q，则bn1bn|an1|an|q|，bn为等比数列，充分性成立，若bn为等比数列，公比 q2，若数列an为：2,4,8，16，32，满足|an1|an|2，但an不是等比数列，必要性不成立，“数列an为等比数列”是“数列bn为等比数列”的充分不必要条件6(多选)在等比数列an中，a118，q2，则 a4与 a8的等比中项为()A4 B4 C14 D.14答案AB解析由题意 a214，a312，a41，a52，a64，a78，a816，设 a4与 a8的等比中项为 x，则有 x216，所以 x4.7若an为等比数列，且 a3a44，a22，则公比 q_.答案1 或2解析由a3a2q，所以 a3a2q2q，由a4a3q，所以 a4a3q2q2，所以 2q22q4，即 q2q20，解得 q1 或 q2.8在ABC 中，若 sin A，sin B，sin C 成公比为 2的等比数列，则 cos B_.答案34解析由 sin A，sin B，sin C 成公比为 2的等比数列，即 sin B 2sin A，sin C2sin A，由正弦定理可知 b 2a，c2a，所以 cos Ba2c2b22aca24a22a22 a 2a34.9已知数列an的通项公式，判断它是否为等比数列(1)an3n；(2)an532n；(3)ann1；(4)an3.解由等比数列的定义可知，anan1q(n2，nN*)，若 q 是一个与 n 无关的常数，则数列an是等比数列(1)anan13n3n1，不是常数，故不是等比数列；(2)anan15 32n5 32n113，是等比数列；(3)anan1n1n11n1n，不是常数，故不是等比数列；(4)anan1331，是等比数列10已知在等比数列an中，a21，求 a1a3的取值范围解设等比数列an的公比为 q，由等比数列的定义可知 a11q，a3q，所以 a1a3q1q，当 q0 时，a1a3q1q2q1q2，当且仅当 q1 时，等号成立；当 q0 时，a1a3(q1q)2q1q2，当且仅当 q1 时，等号成立；综上所述，a1a3的取值范围是(，22，)11在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则“b2ac”是“a，b，c 成等比数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案C解析因为 a，b，c 是ABC 的三边，所以 a，b，c 均不为 0，则由 b2ac，可得abbc，所以 a，b，c 成等比数列，反之：当 a，b，c 成等比数列，可得 b2ac，所以“b2ac”是“a，b，c 成等比数列”的充要条件12“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自庄子天下篇，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下 a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下 a2尺，第五天被截取剩下的一半剩下 a5尺，则a1a2a5等于()A18 B20 C22 D24答案D解析设这根木棰总长为 1,每天截取其一半，剩下的部分记为 an，则an构成 a112，公比 q12的等比数列，所以 a112，a214，a5125，所以a1a2a5121413224.13已知不等式 x25x60 的解集中有三个整数解，构成等比数列an的前三项，则数列an的第四项是()A8 B.12 C8 或 2 D8 或12答案D解析不等式 x25x60 的解集为x|1x6，其中成等比数列的三个整数为 1,2,4，若数列前 3 项为 1,2,4，则第 4 项为 8，若数列前 3 项为 4,2,1，则第 4 项为12.14在等比数列 a,2a2,3a3，中，a_.答案4解析由题意，得(2a2)2a(3a3)，解得 a4 或 a1，当 a1 时，2a20,3a30，不满足条件当 a4 时，等比数列为：4，6，9，满足条件15已知在等差数列an中，a2a416，a11，a21，a41 成等比数列，把各项按如图所示排列则从上到下第 10 行，从左到右的第 11 个数值为_答案275 或 8解析设公差为 d，由 a2a416，得 a12d8，由 a11，a21，a41 成等比数列，得(a21)2(a11)(a41)，解得 d3 或 d0，当 d3 时，a12，an3n1.由题图可得第 10 行第 11 个数为数列an中的第 92 项，a923921275.当 d0 时，an8，a928.16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 a2c2acbc，求A 的大小及bsin Bc的值解(1)a，b，c 成等比数列，b2ac，又 a2c2acbc，a2c2b2bc，即 b2c2a2bc，在ABC 中，由余弦定理得 cos Ab2c2a22bcbc2bc12，A60.(2)在ABC 中，由正弦定理得：sin Bbsin Aa，b2ac，A60，bsin Bcb2sin Aacsin A32.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等比数列的概念等比数列的概念同学们，看这一张A4纸，大家也可以随便找一张纸，看看能折叠多少次，大约折叠上7次就折不动了吧，我们可以做一个假设，假如十张纸的厚度为1毫米，如果你能折叠50次的话，你就可以沿着它到达太阳了，因为每折一次，它的厚度就会变为原来的两倍，其厚度的变化为0.1毫米，0.2毫米，0.4毫米，0.8毫米，由其厚度产生的一组数，就是我们今天要研究的等比数列.导导 语语一、等比数列的概念一、等比数列的概念问题观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.我国古代数学名著孙子算经中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.庄子天下中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？提示我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；等比数列的概念一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都等于 常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的 ，通常用字母q表示(q0).注意点：(1)定义的符号表示：q(nN*且n2)或 q(nN*)；(2)定义强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.知识梳理知识梳理二前比同一个公比例1判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.解不是等比数列；(2)10,10,10,10,10，；解是等比数列，公比为1；c(4)1,0,1,0,1,0，；解不是等比数列；(5)1，4,16，64,256，.解是等比数列，公比为4.反思感悟判断一个数列是否为等比数列的方法定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.跟踪训练1(多选)以下数列中，不能判定数列是等比数列的有A.数列1,2,6,18，解析A，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；C，当a0时，不是等比数列；D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列.二、等比数列中的基本计算二、等比数列中的基本计算例2(教材144页例2改编)求出下列等比数列中的未知项：(1)4，a,9；所以a236，所以a6或a6.(2)1，b，c，8.所以b2，c4.反思感悟一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可，但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列.特别地，如果三个数a，G，b成等比数列，则我们把G称为a，b的等比中项，即G2ab，若G2ab，则三个数a，G，b不一定成等比数列，要考虑0的情况，但要注意的是a，b的符号必须相同且非零，其等比中项有两个，且互为相反数.解析因为1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，三、等比数列的判定与证明三、等比数列的判定与证明解不一定，比如数列0,0,0，或1,2,4,5,6,7，反思感悟若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有anan2；反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性.跟踪训练跟踪训练3判断下列数列是否为等比数列：(1)an2n；(2)ann2；(3)an32n；(4)an2n1.1.知识清单：(1)等比数列的概念.(2)根据等比数列的定义进行简单的运算.(3)等比数列的判定与证明.2.方法归纳：定义法，方程(组)思想.3.常见误区：由a，G，b成等比数列能推出G2ab；但G2ab不能推出a，G，b成等比数列.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.下列数列是等比数列的是A.10,100,1 000,1 000 0B.4,6,9,12 C.1,0,1,2D.lg 2，lg 3，lg 6，lg 18解析A满足等比数列的定义，其余均不满足.123412342.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是1，16的等比中项，则ab等于A.6 B.6 C.12 D.12ab6，故选AB.3.(多选)下列说法正确的有A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列，则公比为1D.22,42,62,82，成等比数列解析A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；123412344.若数列an3n1a2是等比数列，则a_.解析由题意a1a1，a2a1，a3a7，所以有(a1)2(a1)(a7)，解得a2.2课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.下列数列是等比数列的是A.1,11,111,1111 B.1，2,4，8C.1,5,25，125 D.22,32,42,52解析由等比数列的定义可知，只有B满足题意，其余均不是.12345678910 11 12 13 14 15 162.若2，a,6成等比数列，则a等于解析由等比中项的性质可得，a22612，12345678910 11 12 13 14 15 163.在等比数列an中，a18，a464，则a3等于A.16 B.16或16C.32 D.32或32解得a332.12345678910 11 12 13 14 15 164.在数列an中，若an13an，a12，则a4为A.108 B.54 C.36 D.18解析因为an13an，所以数列an是公比为3的等比数列，则a433a154.12345678910 11 12 13 14 15 16A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件必要性不成立，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)在等比数列an中，a1 ，q2，则a4与a8的等比中项为设a4与a8的等比中项为x，则有x216，所以x4.12345678910 11 12 13 14 15 167.若an为等比数列，且a3a44，a22，则公比q_.1或2所以a4a3q2q2，所以2q22q4，即q2q20，解得q1或q2.12345678910 11 12 13 14 15 168.在ABC中，若sin A，sin B，sin C成公比为 的等比数列，则cos B_.12345678910 11 12 13 14 15 16(1)an3n；12345678910 11 12 13 14 15 16(2)an532n；(3)ann1；(4)an3.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16当且仅当q1时，等号成立；综上所述，a1a3的取值范围是(，22，).综合运用11.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2ac”是“a，b，c成等比数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析因为a，b，c是ABC的三边，所以a，b，c均不为0，反之：当a，b，c成等比数列，可得b2ac，所以“b2ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自庄子天下篇，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则 等于A.18 B.20 C.22 D.2412345678910 11 12 13 14 15 16解析设这根木棰总长为1,每天截取其一半，剩下的部分记为an，解析不等式x25x60的解集为x|1x6，其中成等比数列的三个整数为1,2,4，若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.在等比数列a,2a2,3a3，中，a_.解得a4或a1，当a1时，2a20,3a30，不满足条件.当a4时，等比数列为：4，6，9，满足条件.4拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知在等差数列an中，a2a416，a11，a21，a41成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为_.275或812345678910 11 12 13 14 15 16解析设公差为d，由a2a416，得a12d8，由a11，a21，a41成等比数列，得(a21)2(a11)(a41)，解得d3或d0，当d3时，a12，an3n1.由题图可得第10行第11个数为数列an中的第92项，a923921275.当d0时，an8，a928.12345678910 11 12 13 14 15 1616.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，求A的大小及 的值.解(1)a，b，c成等比数列，b2ac，又a2c2acbc，a2c2b2bc，即b2c2a2bc，A60.b2ac，A60，12345678910 11 12 13 14 15 16