1、 西南名师联盟西南名师联盟 2020 届高考实用性联考卷（六）届高考实用性联考卷（六） 文科数学文科数学 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 2 =20Ax xx，210Bxx ，则AB（ ） A1, B 1 ,1 2 C 1 ,2 2 D 1 , 2 2已知i为虚数单位，若复数2iz ，z为z的共轭复数，则1zz（ ） A5 i B5 i C7i D7i 3太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的 哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被 函数2sin
2、 8 yx 的图象分割为两个对称的鱼形图案（如图所示） ，其中阴影部分小圆的半径均为 2，现从 大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A 1 36 B 1 18 C 1 16 D 1 8 4从 2020 年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语 3 门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中 学业水平考试等级性考试科目成绩构成等级性考试成绩位次由高到低分为A，B，C，D，E，各等级 人数所占比例依次为：A等级 15%，B等级 40%，C等级 30%，D等级 14%，E等级 1%现采用分层抽 样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取 1000 人作为样本，则该样本中获得A或B等
3、级的学生人数 为（ ） A275 B400 C550 D450 5已知点3,4P在角的终边上，则 3 cos 2 的值为（ ） A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 6我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛，若 x， y满足约束条件 25, 1 1, 2 8, xy yx x ，则该小组最多选拔学生（ ） A24 名 B19 名 C16 名 D14 名 7函数 2 2 x x e y 的大致图象为（ ） A B C D 8已知为任意角，则“ 1 cos2 2 ”是“ 1 sin 2 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要
4、条件 D既不充分也不必要条件 9 某长方体被一个平面所截， 得到几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体积与表面积分别为 （ ） A16，16 B14，20 C12，162 6 D8，202 6 10三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所 谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法按照这样的思路 刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正 3072 边形，利用刘徽的割圆术设计的程序框图如图 3 所示，若 输出的48n， 则p的值可以是 （参考数据：sin150.2588，sin7.50.1305，sin3.750
5、.0654） A2.6 B3 C3.132 D3.1056 11 已知抛物线 2 :2C xpy的焦点为F， 定点 2,0M， 若直线FM与抛物线C相交于A，B两点 （点 B在F，M中间） ，且与抛物线C的准线交于点N，若3BNBF，则AF的长为（ ） A 3 4 B1 C 3 2 D3 12若定义域为R的偶函数 f x满足 2fxfx ，且当01x时， 1f xx ，则函数 x g xf x e在2,2上的最大值为（ ） A1 Be C2e De 二、填空题 13已知向量a和b的夹角为 120，且2a ，1b ，则 2aba_ 14在ABC中，边a，b，c满足3ab，120C，则边c的最小值
6、为_ 15如图所示， 1 F， 2 F分别是双曲线 2 2 2 :1 x Cy a 的左、右焦点，过 2 F的直线与双曲线C的两条渐近线 分别交于A，B两点，若 2 F AAB， 12 0FB F B，则双曲线C的离心率为_ 16 已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PAABC 平面，6PA，2 3AB ，2AC ， 4BC ，则球O的半径为_；若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是 _ （本题不分难易，做对一空得 3 分，两空都对得 5 分） 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分昆明
7、斗南毗邻滇池东岸，是著名 的花都，有“全国 10 支鲜花 7 支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉为进一步了解鲜花品种的销售 情况，现随机抽取甲、乙两户斗南花农，对其连续 5 日的玫瑰花日销售情况进行跟踪调查，将日销售量作 为样本绘制成茎叶图如图所示，单位：扎（20 支/扎） （1）求甲、乙两户花农连续 5 日的日均销售量，并比较两户花农连续 5 日销售量的稳定性； （2）从两户花农连续 5 日的销售量中各随机抽取一个，求甲的销售量比乙的销售量低的概率 18已知数列 n a满足 1 2 3 a ，且 * nN时， 1n a ， n a， 1 3 成等差数列 （1）求证：数列 1 3 n a
8、为等比数列； （2）求数列 n a的前n项和 n S 19 如图所示， 在三棱锥PABC中，PABABC平面平面，6AB，2 3BC ，2 6AC ，D， E分别为线段AB，BC上的点，且2ADDB，2CEEB，PDAC （1）求证：CDPAB 平面； （2）若PA与平面ABC所成的角为 4 ，求三棱锥PABC的体积 20已知函数 1 ln1f xx x （1）求函数 f x的单调区间与极值； （2）若函数 1 ln1g xxxa x有两个极值点时，求a的取值范围 21 如图所示， 椭圆 22 2 1 02 2 xy b b 的离心率为 2 2 ， 过点2,0P作直线l交椭圆于不同两点A， B
9、 （1）求椭园的方程； （2）设直线的斜率为k，求出与直线l平行且与椭圆相切的直线方程（用k表示） ； 若C，D为椭圆上的动点，求四边形ABCD面积的最大值 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 22cos , 2sin, x y （为参数） ，以O为极点，x轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin3cos3 （1）求C的极坐标方程； （2）射线 11 : 63 OM 与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求OP OQ的取值 范围 23 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 f xxaxbc （1）若1a ，2b，3c ，
10、求不等式 1012f x的解集； （2）当0a，0b，0c 时，若 f x的最小值为 2，求证： 1119 2abc 西南名师联盟西南名师联盟 2020 届高考实用性联考卷（六）届高考实用性联考卷（六） 文文科数学参考答案科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D C D B A B D C C A 【解析】 112Axx ， 1 2 Bx x ，1,AB ，故选 A 22iz ，2iz ，则13 i2i7izz，故选 D 3因为函数2sin 8 yx 的周期为 2 16 8 T ，所以大圆的半径为 8，故大圆的面积为64，小圆的半
11、 径为 2，故小圆的面积为2 48 ，由几何概型可知现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概 率为 81 648 小圆的面积 大圆的面积 ，故选 D 4由题意，A，B等级人数所占比例依次为A等级 15%，B等级 40%，则A或B等级所占比例为 55%， 1000 人的样本中，获得A或B等级的学生一共有1000 55% 550 人，故选 C 5点3,4P在角的终边上， 22 345r ， 34 cossin 25 y r ，故选 D 6画出x，y满足约束条件 25, 1 1, 2 8 xy yx x 表示的平面区域，如图所示要求招入的人数最多，即zxy 取得最大值，目标函数化为yxz ，在可
12、行域内任意取x，y且为正整数，使得目标函数代表的斜率 为定值1，截距最大时的直线过点A，联立 8, 25, x xy 得8,11A，此时目标函数取得最大值为 8 11 19z ，故选 B 7 任意xR， 2e 0 2 x x y ， 排除C， 2 2 2e 2 ee 22 x xx xx xx y ， 在区间, 2 ，0,上， 0y ，y单调递增，在区间2,0上，0y，y单调递减，故选 A 8若 1 cos2 2 ，则 2 cos212sin ， 1 sin 2 ，所以“ 1 cos2 2 ”是“ 1 sin 2 ”的必要 不充分条件，故选 B 9如图所示，三视图复原的几何体是长方体的一部分，
13、长方体的长、宽、高分别是 2，2，3，所以这个几 何体的体积为 21 3 8 2 x ， 表面积为 12231 2 222222 22 3202 6 222 ， 故选 D 10执行程序框图，结合题意知，6n， 13 3 6sin60 22 Sp 不成立；2612n， 1 12sin303 2 Sp 不 成 立 ；21 22 4n， 1 24sin153.1056 2 Sp 不 成 立 ； 2 2448n ， 1 48sin7.53.132 2 Sp 成立，从而输出48n，综上，3.10563.132p， 故p的值可以是 3.132，故选 C 11如图所示，过B作 BB 垂直于准线，垂足为 B
14、，则BF BB ，由3BNBF，得3BN BB ， 可得 1 sin 3 BNB ， 2 2 cos 3 BNB ， 1 tan 2 2 BNB ，又 2, 0M，AB的方程为 1 2 2 2 yx ，取0x，得 1 2 y ，即 1 0, 2 F ，则1p ，抛物线方程为 2 2xy，联立 2 1 2 , 2 2 2 , yx xy 解得1 A y ， 113 1 222 A AFy ，故选 C 12 设1,2x， 则20 , 1x，2121fxxx ，当1,2x时 ， 21f xfxx 又 f x为 偶 函 数 ，当2,0x 时 ， 1fxx， 1e , 20, 1e ,02, x x x
15、x g x xx 2e , 20, e ,02, x x xx gx xx 当20x 时， 0g x，当 02x时， 0g x， g x在2,0上递增，在0,2上递减， g x在2,2上的最大值为 0 01 e1g ，故选 A 二、填空题 题号 13 14 15 16 答案 6 3 3 2 2 13，4 【解析】 13 21 242 2 1 cos120446 2 abaab 143ab，120C， 2 9 24 ab ab ，当且仅当ab时取等号，由余弦定理可得 2 222 927 2cos12099 44 cababababab ， 3 3 2 c ， 则边c的最小值为 3 3 2 15如
16、图所示，设,0 m A mm a ， 2 ,0F c，由中点坐标公式可得， 2 2, m Bmc a ，代入渐近线方 程 x y a ，得 21 2 m mc aa ，得 4 c m 由 12 0FB F B，得 2 2 221 2,22,4140 mm mmcmmc aaa ，将 4 c m 代入，得 22 2 1 10 164 cc a ，得 2 1 3 a ， 22 1 1 3 2 1 3 cab e aa 16如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径2 2 BC r ，球心为过底面外 接圆的圆心 O 垂直于底面与中截面的交点O，即3 2 PA OO ，连接OA，设
17、外接球的半径为R，所以 22222 2313Rr OO ， 解得13R 若D是BC的中点， 过点D作球O的截面，D， O 重合， 则截面面积最小时是与 OO 垂直的面，即是三角形ABC的外接圆，而三角形ABC是外接圆半径是斜边的 一半，即 2，所以截面面积为 2 24 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17解： （1）记甲、乙连续 5 日的日平均销售量分别是x甲，x乙， 则 1 (1924273040)28 5 x 甲 ， 1 (25273031 37)30 5 x 乙 ， 由茎叶图可知乙的数据比较集中，说明乙的销售量比较稳定 （2） 从两户花农连续 5 日的销售量中各随机
18、抽取一个， 总的基本事件为 25 个， 分别为19,25，19,27， 19,30，19,31，19,37，24,25，24,27，24,30，24,31，24,37，27,25，27,27， 27,30，27,31，27,37，30,25，30,27，30,30，30,31，30,37，40,25，40,27， 40,30，40,31，40,37， 其中甲高于乙的有 15 个基本事件，分别为19,25，19,27，19,30，19,31，19,37，24,25， 24,27，24,30，24,31，24,37，27,30，27,31，27,37，30,31，30,37， 甲的销售量比乙的销售
19、量低的概率 3 2 15 55 P 18 （1）证明：由题意，当 * nN时， 1n a ， n a， 3 1 成等差数列， 则 1 1 2 3 nn aa ，即 1 2 1 3 nn aa ， 1 1 22 3 1 3 1 33 1 nnn aaa ， 又 1 12 1 33 1 3 a ， 数列 3 1 n a 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 （2）解：由（1） ，知 1 1 2 3 n n a ， 即 1 1 2 3 n n a ， * nN 12nn Saaa 121 11 1222 33 11 33 n 121 (1222) 3 n n 1 2 1 23 n n 21 3 n
20、 n 19 （1）证明：如图所示，连接DE，由题意知4AD ，2BD 因为 222 ACBCAB，所以90ACB， 所以 2 33 cos 63 BC ABC AB 在BCD中， 由余弦定理得 222 3 2cos4 122 2 2 38 3 CDBCBDBC BDDBC 所以2 2CD， 222 CDADAC， 所以90CDA，所以CDAB， 又因为平面PABABC 平面， 故CDPAB 平面 （2）解：由（1）知CDPAB 平面，又PDPAB 平面， 所以CDPD，又PDAC，ACCDC， 所以PDABC 平面 又PA与平面ABC所成的角为PAD，即 4 PAD， 所以4PDAD，6 2
21、ABC S ， 从而三棱锥PABC的体积为 1 8 2 3 P ABCABC VSPD 20解： （1）由 1 ( )ln1(0)f xxx x ， 则 22 111 ( ) x fx xxx ， 令( )0fx，则1x ， 令( )0fx，即 2 1 0 x x ，解得1x ， 所以函数( )f x的单调递增区间为(1)，； 令( )0fx，即 2 1 0 x x ，解得01x， 所以函数( )f x的单调递减区间为(0 1)， 故函数的极小值为(1)2f 综上所述，单调递增区间为(1)，；单调递减区间为(0 1)，( )f x的极小值为 2 （2）由( )(1)ln(1)g xxxa x，
22、 则 1 ( )(1) ln(1)(ln )ln x g xxxxxaxa x ， 若( )g x有两个极值点，则( )0g x有两个根， 即 1 ln0 x xa x 有两个解，即 1 ln x xa x ， 即 11 ( )lnln1 x f xxx xx 与ya有两个交点， 由（1）可知( )f x在(0 1)，上单调递减；在(1)，上单调递增， 所以( )(1)2f xf， 若( )f x与ya有两个交点，则2a 21解： （1）椭圆 22 2 1(02) 2 xy b b 中， 2a ， 2 2cb， 椭圆的离心率为 2 22 22 cb e a ，解得1b， 椭圆的方程为 2 2
23、1 2 x y （2）设直线的斜率为k，设切线方程为ykxm， 代入 2 2 1 2 x y，可得 222 (1 2)4220kxkmxm， 由0 ，可得 22 12mk ，故切线方程为 2 1 2ykxk 要使得四边形ABCD的面积最大，需满足C，D两点到直线l的距离之和最大， 即两条切线间的距离 2 22 2|2 1 2 11 mk d kk 最大 设 11 )(A xy， 22 )(B xy，直线l的方程为2ykxk， 联立 2 2 1 2 2 x y ykxk ， ， 整理得 2222 (1 2)8820kxk xk， 则 2 12 2 8 12 k xx k ， 2 12 2 82
24、1 2 k x x k ， 故 2 2222 121212 2 2 2(1 2) |1|1()41 1 2 k ABkxxkxxx xk k ， 故 22 2 2 2 2 2(1 2)11 2 |1 21 2 1 ABCD kk SdABk k k 四边形 2 2 2 2(12) 12 k k 2 22 (1 2)22 2 22 212 2 1 21 2 k kk ， 当且仅当0k ，且(0 1)C，(01)D，或(01)C，(0 1)D ，时等号成立 故所求最大值为2 2 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 解： （1）圆C的参数方程为 22cos , 2sin, x y （为参数)，
25、圆C的普通方程是 2 2 24xy， 又cosx，siny， 圆C的极坐标方程为4cos （2）设 11 ,P ，则有 11 4cos， 设 21 ,Q ，且直线l的方程是 sin3cos3， 则有 2 11 3 sin3cos ， 1 121 111 12cos12 63sin3cos3tan OP OQ ， 2 33 3OP OQ， OP OQ的取值范围为2 3,3 3 23 【选修 45：不等式选讲】 （1）解：根据题意，1a ，2b，3c ， 函数 22,2, 1236, 12, 42 ,1, xx f xxxx x x 解 2, 102212 x x 或 1, 104212, x x 得45x或43x ， 所以解集为 4, 34,5 （2）证明：因为 f xxaxbcxaxbcabc ， 当且仅当axb 时，等号成立， 又0a，0b，所以abab， 所以 f x的最小值为a b c ，所以2a b c 所以 1111111 2 abc abcabc 119 33222 222 baaccb abcabc ， 当且仅当abc时取等号， 所以 1119 2abc
