1、数学试卷第 1页（共 13页）德宏州 20222023 年度高三年级秋季学期期末教学质量统一监测数学试卷考试时间：120 分钟满分：150 分注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将答题卡交回。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集0,1,2,3U，集合0,1,3A，1
2、,2B，则集合U()AB （）A 0B 1C0,3D0,1,32若复数1aii为纯虚数，则2ai等于（）A3B5C3D53在ABC中，若AD为BC边上的中线，2EADAEED点 在上且，则EB （）A2133ABAC B2133ACAB C7566ABAC D7566ACAB 4如下图所示，在正方体1111ABCDABC D中，如果点 E 是1AA的中点，那么过点1D、B、E 的截面图形为（）A三角形B矩形C正方形D菱形数学试卷第 2页（共 13页）5若直线12yxb是曲线 ylnx（x 0）的一条切线，则实数 b 等于（）A1 ln2B1ln2Cln2D16已知函数()yf x的周期为 2，
3、当 1,1x 时，()21xf x 如果5()()logF xf xx，那么()F x的零点个数是（）A3B4C5D67已知抛物线24yx的焦点为 F，直线2ykx与抛物线交于两个不同的点 A，B如果AF，2，BF成等差数列，那么 k 等于（）A1B2C13D138 已知函数()f x是定义在 R 上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线 若(,0 x ，且12xx，112212()()0 x f xx f xxx，则不等式22()(1)(1)0a f aaf a的解集为（）A1515(,)22 B(1,1)C15(,1)2 D(0,1)二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 2
4、0 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。9在整数集 Z 中，若将被 4 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为|4Zknk n（k=0，1，2，3），则下列结论正确的为（）A 20213B 22 C 0123Z D整数 a，b 属于同一“类”的充要条件是“0ab”10下述四个结论正确的是（）A过点(1,3)B与圆224xy相切的直线方程为340 xyB直线0 xyk与圆221xy相交的充分不必要条件是1k C直线10axy 表示过点0,1的所有直线D过点 A（1,1）且在坐标轴上截距相等的直线方程是20 xy
5、数学试卷第 3页（共 13页）11已知函数 11f xx，则下列说法中正确的是（）A f x的值域是0y y B f x的图象关于直线1x 对称C当1,1x 时，有 max1f x D方程 240f xx有四个不同的根12已知函数 3 sin4 cosf xxx，则（）A是 f x的一个周期B f x的对称轴方程为()xkkZC f x在0,2上单调递减D f x的最小值是 3三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13高三某位同学准备参加物理、化学、政治科目的等级考已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的概率分别为23、34、45，假定这三门科目考试成绩的结果互不影
6、响，那么这位同学恰好得2个A的概率是_14二项式51()(1)xxx的常数项为_15 已知在正方体1111ABCDABC D的棱长为3，点 E、F 分别为棱11DC、1BB上的动点 若2EF，当三棱锥11BEFC的体积取最大值时，三棱锥11BEFC的外接球的体积为_16已知椭圆 C：2212516xy，1F，2F为椭圆的左右焦点若点 P 是椭圆上的一个动点，点 A 的坐标为（2,1），则1PAPF的范围为_数学试卷第 4页（共 13页）四、解答题：本题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题 10 分）已知(1,3cos)OAx，(1sin,1)OBx
7、 如果定义()f xOA OB （1）求()f x的单调递增区间；（2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c若()3f A，且22caab，求B18（本小题 12 分）如下图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA 底面ABCD，点 E，F 分别是PC，PD上的动点，且EFCD（1）求证：EF 平面PAD；（2）如果35PEPC，PC与底面ABCD所成角的正弦值为35，求平面PAE与平面AED夹角的余弦值数学试卷第 5页（共 13页）19（本小题 12 分）2021年9月3日，中华人民共和国教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调
8、研结果调研结果数据显示，我国大中小学的学生健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加；但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下表：（1）根据以上统计数据，完成下面22列联表：并据此判断：依据小概率值0.05的独立性检验，能否认为该市学生体质测试是否达标与性别有关？（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）（2）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良
9、的概率在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为X，求X的分布列及数学期望附：22()=()()()()n adbcab cd ac bd；20（本小题 12 分）如果数列na满足：121nnaan，且11a（1）求数列na的通项公式；（2）设1nnba，记数列 nb的前 n 项和为nS，证明53nS 数学试卷第 6页（共 13页）21（本小题 12 分）已知双曲线1C：22221(0,0)xymnnm的焦点F到渐近线3yx的距离为2 3如果双曲线1C的顶点和焦点分别是椭圆2C的焦点和顶点（1）求椭圆2C的方程；（2）设椭圆2C的左右焦点分别是1F、2F，点 P
10、 为椭圆上一点，过点P作x轴的垂线（不过点2F）交椭圆2C于点N，连接2PF延长交椭圆于点Q，连接NQ试判断直线NQ是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由22（本小题 12 分）已知函数2()exf x，2()lng xxa当0a 时，()()g xf x在0 ，上的最大值为ln4（1）求实数 a 的值；（2）0 x ，有1(2)1()2xf xmkxkge当0k 时，求2mkk的最大值数学试卷第 7页（共 13页）德宏州 20222023 年度高三年级秋季学期期末教学质量统一监测数学参考答案及评分建议一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。序号
11、12345678答案CBADBCDA二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。序号9101112答案BCDABCDAD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1313301410154316102,102四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。17（本小题 10 分）解：（1）(1,3cos)OAx，(1sin,1)OBx,()f xOA OB ()1sin3cos2sin()13f xxxx()f x的单调递增区间是52,266kk，kZ5 分（2）由（1）知：2sin()133fAA，解得6A22caab，由余弦定理得：222cos2 cos2
12、2bcaabAcAabbcc，由正弦定理得：2sincossinsinsinsin()CAABAAC，2sincossinsincoscossinCAAACAC，sincossincossinsin()sinCAACACAA，在ABC 中，解得：CAA或CAA，6A23CA，所以2BAC 10 分数学试卷第 8页（共 13页）18（本小题 12 分）解：（1）PA 底面ABCD，CD 平面ABCD，PACD，又CDAD，且PAADA，,PA AD 平面PAD，CD 平面PAD，又EFCD，EF 平面PAD4 分（2）由PA 底面ABCD，得PC与底面ABCD所成角即为PCA，3sin5PCA，
13、5PC，则3PA，4AC，2 2ABBC，以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴，以 AP 所在直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系则(0,0,0)A，(2 2,0,0)B，(0,2 2,0)D，2 2 2 2(,2)33E，2 2 2 2(,2)33AE ，(0,2 2,0)AD 设平面ADE的一个法向量为(,)nx y z，则0,0,n AEn AD 2 22 220,332 20.xyzy令2x，则23z ，2(2,0,)3n 又BD 平面PAE，而(2 2,2 2,0)BD ，平面PAE的一个法向量(1,1,0)m ，3 22cos,22m nm
14、 nm n ，由图可知平面PAE与平面AED夹角为钝二面角，所以平面PAE与平面 AED 夹角的余弦值为3 222212 分数学试卷第 9页（共 13页）19（本小题 12 分）解：（1）由题意得，22列联表为：假设0H：该市学生体质达标与性别无关221080 5406060420271.68753.841600480960 12016根据小概率值0.05的独立性检验，没有充分的证据推断0H不成立，所以，可以认为该市学生体质测试达标与性别无关5 分（2）由题意知，男生体质测试优良率114P，女生体质测试优良率213P.X的所有可能取值为 0，1，2，3，4.00200222131210C()(
15、)C()()44334P X 11100200211122221312131251C()()C()()C()()C()()4433443312P X 2200020022201111112222221312131213122C()()C()()C()()C()()C()()C()()443344334433P X 3714422011111122022221312131253C()()C()()C()()C()()4433443372P X 22022022131214C()()C()()4433144P X 所以，X的分布列为：所以，1537517()01234412144721446E X
16、 12 分数学试卷第 10页（共 13页）20（本小题 12 分）解：（1）121nnaan，121nnaan，1223nnaan，325aa，213aa1(21)53naan，11a，2135(21)nann，所以2nan5 分（2）由（1）知，21nbn2221144112141212121214nnnnnnn，123nnSbbbb11111112()35572121bnn115212()321321nn，又1n，2021n，所以，53nS 12 分21（本小题 12 分）解：（1）设椭圆方程为22221xyab，由焦点为F到渐近线3yx的距离为2 3，得：2 3n，又双曲线的渐近线方程为
17、：nyxm，解得：2m，在椭圆2C中，224amn，2cm，2 3b，所以，椭圆2C的方程为：2211612xy 4 分数学试卷第 11页（共 13页）（2）直线NQ过定点理由如下：设11,P x y，22,Q xy，11,N xy因为直线PQ经过点22,0F，所以可设直线PQ方程为2xty（0t）联立方程组：222,34480,xtyxy得：22(34)12360tyty，2212144(34)0tt，1221234tyyt，1223634y yt，2222112122222144144241()4(34)3434ttyyyyy yttt2121NQyykxx，直线NQl：211121()y
18、yyyxxxx，112xty，222xty，直线NQl：211121(2)()yyyyxtyt yy，可得：211211()()()(2)t yyyyyyxty，整理得：12211212220yyxt yyyty yyy，将代入上式得：22222122417224034343434tt tttxytttt，0t，整理得：212241960 xty，令0y，得8x，故直线NQ恒过定点(8,0)12 分22（本小题 12 分）解：（1）设()()F xg xf x，则 22lnxF xxae22()xF xex当0 x，时，令()02F xx，()002F xx，所以函数()F x在0 2，上单调
19、递增，在(2)，上单调递减，因此，max()(2)1F xFa5 分数学试卷第 12页（共 13页）（2）由1(2)1()2xf xmkxkge，得：21,11(),2f xmkxkxkxkge即e1,1ln,x mkxkkxkx（I）对于e1x mkxk，由题设知：不等式e10 x mkxk 在(0,)上成立令()e1x mu xkxk，则()0u x 在(0,)上成立而()ex mu xk，0k，令()0lnu xxmk，()0lnu xxmk，当ln0mk时，有mke，min()(ln)ln1u xu mkmkkk()0u x，得ln10mkkk，即1lnmkkk当ln0mk时，有0mk
20、e，()u x在(0,)上单调递增，(0)10muek，()(0)0u xu；得：lnmk-（II）对于1lnkxkx，由题设知：不等式ln10 xkxk 在(0,)上成立，设()ln1(0)v xxkxkx，即：()0v x 在(0,)上成立，1()v xkx，0k，令1()00v xxk，1()0v xxk，()v x在1(0,)k上单调递增，在1(,)k上单调递减，max1()()ln0v xvkkk，得：ln0kk，即lnkk.综上所述，当mke时，由得：22221ln11mkkkkkkk，即2max(1mkk)=；当0mke时，由得：2222ln0mkkkkkkk，即2max(0mkk)=12 分
