1、 1.31.3 组合组合 【基础梳理】 【典型例题】 题型一题型一 组合数及其运用组合数及其运用 【例 1】 （1） （2020浙江高三专题练习）已知 2 33 0!4 m AC,则m（） A0 B1 C2或 3 D3 （2） （2019广东高二期末（理） ） 01218 34521 CCCC的值等于（ ） A7351 B7355 C7513 D7315 （3） （2019上海财经大学附属北郊高级中学高二期末）满足方程 22 1717 xx CC 的解为_ (4)设k，n N，且2n，求证： 1 1 kk nn kCnC ； (5)求满足 12 12 100 n nnn n CCC nnn 的
2、正整数n的最大值； 【举一反三】 1 （2019云南省泸西县第一中学高二期中（理） ）若 22 1 3 nn AC ，则n的值为（ ） A4 B5 C6 D7 2 （2019上海高二期末）已知n，*mN，nm，下面哪一个等式是恒成立的（ ） A ! ! m n n C m B ! ()! Am n n nm C 11 1 mmm nnn CCC D 11 1 mmm nnn CCC 3 （2019上海市延安中学高二期末）计算： 0122018 1232019 CCCCL_ 4 （2019林芝市第二高级中学高二期末（理） ）若C9 = C9 23，则 x 的值为_ 5 （2017湖北省松滋市第一
3、中学高二课时练习） （1）已知 53 13 3 3 4 3 5 nn n CC C ，求n的值. （2）已知 2 11 , 11 , 3 xx nn xx nn CC CC 求 , x n的值. 题型二题型二 组合概念的判断组合概念的判断 【例 2】给出下列问题： (1)从a，b，c，d四名学生中选 2 名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选 2 名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ (5)某人射击 8 枪，命中 4
4、枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪中恰有 3 枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ 【举一反三】 1下列问题不是组合问题的是 ( ) A10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B平面上有 2015 个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C集合a1，a2，a3，an的含有三个元素的子集有多少个？ D从高三(19)班的 54 名学生中选出 2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 题型三题型三 组合的运用组合的运用-有限
5、制条件有限制条件 【例 3】 （2020全国高三专题练习）某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 【举一反三】 【思路总结】【思路总结】 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出， “不含”的可把所 指元素去掉再取
6、，分步计数； 二是“至多” “至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不 重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏 1 （2019西藏拉萨那曲第二高级中学高二期中）男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人,选派5 人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法. （1）任选5人 （2）男运动员3名,女运动员2名 （3）至少有1名女运动员 （4）队长至少有一人参加 （5）既要有队长,又要有女运动员 题型四 分组分配 【例 4-1】 （2019固镇县第一中学高二月考（理） ）按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配 方式? （1）分成三份,1 份 1
7、 本,1 份 2 本,1 份 3 本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; （3）平均分成三份,每份 2 本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; （5）分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; 【例 4-2】 将 6 个相同的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子，求下列方法的种数 (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子 【举一反三】 1（2018青海高二月考（理） ）按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1
8、）分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; （3）平均分成三份,每份 2 本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; （5）分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; （7）甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本. 2.某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同 的赠送方法共有( ) A4 种 B10 种 C18 种 D20 种 【思路总结】【思路总结】
9、 一不同元素的分组分配 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，mp，其中k组元素数 目相等，那么分组方法数是Cm 1nCm2nm1Cm3nm1m2Cmpmp A k k 二(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空 隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒” 每一种插入隔板的方法对应着小球放入 盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题 (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有 C m1 n1种方法可描述为n1 个空中插入 m1 块板 3 （2018黑龙江鹤岗一中高二月考（理） ）按照下列要求
10、,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答) (1) 6个不同的小球放入4个不同的盒子； (2) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (3) 6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (4) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,恰有1个空盒. 【强化训练】 1 （2020 云南师大附中高三月考 （理） ） 在高中阶段， 我们学习的数学教材有必修 15， 选修 2 系列 3 册， 选修 4 系列 2 册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教 材的概率是（ ） A 1 3 B 2 9 C 5 9 D 1 5 2 （2017上
11、海华师大二附中高三期中）若组合数 7 76 5 3 2 1 m C ，则实数m_. 3 （2019江苏启东中学高一期中）计算： 012341617 234561819 CCCCCCC_ 4 （2019上海高二期末）推广组合数公式，定义 11 ! m x x xxm C m L ，其中xR，mN， 且规定 0 1 x C （1）求 3 15 C的值； （2）设0x，当x为何值时，函数 3 2 1 x x C f x C 取得最小值？ 5 （2019辽河油田第二高级中学高二期中（理） ）计算： （1） 2973 100100101 CCA （2） 333 3410 CCC. 6 （2019湖北高二
12、月考）10 双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取 4 只，求各有多少种情 况出现如下结果 （1）4 只袜子没有成双； （2）4 只袜子恰好成双； （3）4 只袜子 2 只成双，另两只不成双 7 （2019 周口市中英文学校高二期末 （理） ） 一个口袋里装有 7 个白球和 1 个红球， 从口袋中任取 5 个球 (1)共有多少种不同的取法？ (2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？ 8 （2018海林市朝鲜族中学高二课时练习）将四个编号为 1,2,3,4 的小球放入四个编号为 1,2,3,4 的盒 子中. (1)有多少种放法? (2)若
13、每盒至多一球,则有多少种放法? (3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法? (4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法? 9 （2017天津高二期末（理） ）从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加座谈会，问： (1)如果 4 人中男生和女生各选 2 人，有多少种选法？ (2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，有多少种选法？ (3)如果 4 人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 10 （1）计算： 59998 899100 CCC； 012345 555555 CCCCCC； 1 1 nn nn CC 的值； （2）某书店有 11
14、种杂志，2 元 1 本的 8 种，1 元 1 本的 3 种小张用 10 元钱买杂志（每种至多买一本， 10 元钱刚好用完） ，则不同买法的种数是（用数字作答） 11 （2019江西高安中学高二期中（理） ）如图，一个正方形花圃被分成 5 份. （1）若给这 5 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿 4 种颜色不同 的花，求有多少种不同的种植方法? （2）若向这 5 个部分放入 7 个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法? 12 （2019北京高二期末）把 6 本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种 分法？（用数字作答）
15、 ()甲得 2 本； ()每人 2 本； ()有 1 人 4 本，其余两人各 1 本 13 （2019江西景德镇一中高二期中（理） ）一次游戏有 10 个人参加，现将这 10 人分为 5 组，每组两人。 （1）若任意两人可分为一组，求这样的分组方式有多少种？ （2）若这 10 人中有 5 名男生和 5 名女生，要求各组人员不能为同性，求这样的分组方式有多少种？ （3）若这 10 人恰为 5 对夫妻，任意两人均可分为一组，问分组后恰有一对夫妻在同组的概率是多少？ 14按下列要求把 12 个人分成 3 个小组,各有多少种不同的分法? (1)各组人数分别为 2,4,6 人; (2)平均分成 3 个小
16、组; (3)平均分成 3 个小组,进入 3 个不同车间. 15 （2020全国高三专题练习）在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不 同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率. 16 （2020浙江高三专题练习）用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的自然数 （1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，数字 1 和 3 相邻的个数有多少? （3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124
17、排第几个? 17 （2019吉林高二期中）从 1 到 7 的 7 个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数 试问： （1）能组成多少个不同的五位偶数？ （2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？ （3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示） 18 （2019辽河油田第二高级中学高二期中（理） ）从 8 名运动员中选 4 人参加4 100米接力赛，在下列 条件下，各有多少种不同的排法？ （1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒； （2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； （3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒； （4）甲不在第一棒. 19 （2
18、019江苏高二期中（理） ）从 5 本不同的科普书和 4 本不同的数学书中选出 4 本，送给 4 位同学， 每人 1 本，问： （1）如果科普书和数学书各选 2 本，共有多少种不同的送法？（各问用数字作答） （2）如果科普书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？ （3）如果选出的 4 本书中至少有 3 本科普书，共有多少种不同的送法？ 20 （2019无锡市第一中学高二期中（理） ）现有 4 个不同的球，和 4 个不同的盒子，把球全部放入盒内 （1）共有多少种不同的方法？ （2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？ （3）若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？ （4）若恰有两个盒子不放
19、球，共有多少种放法？ 21 （2019江苏高二月考）A（1）, ,A B C D E五人站一排，B必须站A右边，则不同的排法有多少种； （2）晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又加了 2 个节目，若将这 2 个节目插入原节目单中，则不 同的插法有多少种 B有四个编有 1、2、3、4 的四个不同的盒子，有编有 1、2、3、4 的四个不同的小球，现把小球放入盒子 里 小球全部放入盒子中有多少种不同的放法； 恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法； 恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法 22 （2018山西祁县中学高二月考（理） ）从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？ （2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？ （3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （4）在（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？ （答题要求：先列式，后计算 , 结果用具体数字表示 ）
