1、理科数学参考答案第 1页（共 8 页）南充市高南充市高 2023 届届高考适应高考适应性考试性考试（二二诊）诊）理科数学参考答案理科数学参考答案一一选择题：选择题：本题共本题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 60 分分123456789101112CABCBDACBDDA二二.填空题：填空题：本题共本题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 20 分分13.0.614.115.(0,2)16.三.解答题解答题17.(1)解：若选：因为数列 na是等比数列，设公比为q.26S，且24a，32a，4a成等差数列.所以1132111644aa qa qa qa q，.
2、2 分解得12,2aq，.4 分所以1222nnna；.6 分若选：因为数列 na是递增的等比数列，1432a a，2312aa，所以1423233212a aa aaa，.2 分所以234,8aa，322aqa，.4 分所以222422nnnnaa q；.6 分(2)证明：由（1）知12212211111loglog11log 2log 2nnnnnbaan nnn，所以11111111111223nTnnn，.10 分理科数学参考答案第 2页（共 8 页）因为101n，所以1111n，.11 分即1nT.12 分18.解:（1）由题意可得X的所有可能取值为10,15,20,25,30，21
3、11024P X，111152233P X，2111520226318P X，111252369P X，21130636P X，.4 分则 X 的分布列为X1015202530P141351819136故1151150101520253043189363E X.6 分（2）由题意可得列联表如下：有蛀牙无蛀牙合计爱吃甜食9030120不爱吃甜食305080合计12080200.3 分理科数学参考答案第 3页（共 8 页）所以22200 90 5030 3028.1257.879120 80 120 80K，.11 分根据临界值表可知，有 99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关.12
4、 分19.（1）证明：连接 BD 交 AC 于 O，连接 PO.因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，所以BDAC，.2 分因为 O 是 BD 中点，PBPD，所以BDPO.因为ACPOO，ACPO、平面 PAC，.4 分所以BD 平面 PAC，.5 分（2）如图，取线段 BC 的中点 H，连接 AH，易知AHAD.以 A 为坐标原点，分别以 AH，AD，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系Axyz，则0,0,0A，3,1,0B，3,1,0C，0,0,3P.0,2,0BC uuu r，3,1,3CP .7 分设M点坐标为,MMMxyz由01CMCP ，则有 3
5、,1,3,3MMMxyz，解得33,1,3M，进而33,1,3AM.设平面 PBC 的法向量为,mx y z.由00m BCm PC ，得20330yxyz，取1,0,1m.9 分设直线 AM 与平面 PBC 所成的角为，则2222sincos,32331434321478m AMAM mmAM （）化简得240（7），解得47，.11 分所以满足条件的M点存在.满足47CMCP .12 分理科数学参考答案第 4页（共 8 页）20.（1）解：由题知max241222PABABaSa b，.2 分得21ab.3 分故椭圆 M 的标准方程为：2214xy.4 分（2）方法一：因为点00(,)P
6、xy在椭圆2214xy上，所以220041xy，00y.5 分设切线l方程为：00()yyk xx，即00ykxykx.令00mykx，则ykxm.由2214xyykxm，得224()40 xkxm.222(41)84(1)0kxkmxm因为直线l与椭圆 M 相切，所以222(8)4(41)(44)0kmkm.所以2241km.7 分代入00mykx，得220041()kykx.即2220000(4)210 xkx yky.因为220041xy，所以220044xy，220041xy.所以22200004204xy kx yk，有200(2)02xy k.由于00y，所以004xky.故切线l
7、方程为：0000()4xyyxxy，即0014x xy y.9 分令2x 得0012(2,)xDy，则直线 BD 为：001224xyxy.令2x，得0012(2,)xCy，则直线 AC 为：001224xyxy.理科数学参考答案第 5页（共 8 页）由知：2022220114441616xyxxy点 N 的轨迹方程为22414xy，0y.11 分由椭圆定义知：存在定点115,02F，2015,2F，使得12NFNF为定值 4.12 分方法二：因为点00(,)P xy在椭圆2214xy上，则220041xy，即220014xy.又因为2214xy ，由于0y，不妨设0y 取2211442xyx
8、，所以22 4xyx，所以切线的斜率0202 4xkx，所以切线l方程为00020()2 4xyyxxx，.7 分由220014xy，可得220044xy，已知00y，得20042xy所以切线l方程为：0000()4xyyxxy，即0014x xy y.9 分令2x 得0012(2,)xDy，则直线 BD 为：001224xyxy.令2x，得0012(2,)xCy，则直线 AC 为：001224xyxy.由知：2022220114441616xyxxy由对称性知：点 N 的轨迹方程为22414xy，0y.11 分理科数学参考答案第 6页（共 8 页）由椭圆定义知：存在定点115,02F，201
9、5,2F，使得12NFNF为定值 4.12 分说明:未经证明，直接写出椭圆切线方程0014x xy y，扣 4 分.20.解：（1）因为 2e()xf xmxmR在(0,)有 2 个极值点，所以 e2xfxmx在(0,)有两个不同的异号零点.2e0 xfxmx得e2xmx，(0,)x.显然0m.构造函数e()2xg xmx，(0,)x.2e(1)()xxg xx当01x时，0g x，g x在(0,1)单调递减；当1x 时，0gx，g x在(1,)单调递增.所以 min120g xgem，得2me，.4 分当01x时，1xe，1122e2e212mmmmm，得102gm，又(1)0g，g x在(
10、0,1)单调递减.故存在唯一11(,1)2xm，使得1()0g x.当1x 时，由于函数e()2xg xmx在(0,1)单调递减，(1,)单调递增.所以exyx在(0,1)单调递减，(1,)单调递增.得exex.所以xeex，则202xexe，得2222()4xxe xee.所以24xee xx，2e8()24xe xmg xmx得280mge，又(1)0g，g x在(1,)单调递增.故存在唯一228(1,)mxe，使得2()0g x.理科数学参考答案第 7页（共 8 页）综上：m的取值范围为(,)2e.6 分（2）方法一：()2 sin22 sin0 xh xfxnxemxnx在(0,)有零
11、点，得esin02xmxnx，此方程可以看作mOn坐标平面的直线l的方程.则直线l上的任意一点(,)m n到原点的距离满足不等式：22222sinxemnxx则222224(sin)xemnxx.8 分先证：22sin(sin)(sin)0 xxxxxx，(0,)x.构造函数()sinp xxx，(0,)x.则()1cos0p xx.()sinp xxx在(0,)单调递增.0 x，得()sin(0)0p xxxp.即当0 x 时sin0 xx.同理：构造函数()sinq xxx，(0,)x.则()1 cos0q xx.()sinq xxx在(0,)单调递增.0 x，得()sin(0)0q xx
12、xq.即当0 x 时sin0 xx.所以22sin(sin)(sin)0 xxxxxx.10 分222222222212()4(sin)4()8884xxxeeeeeemnxxxxx所以224emn证毕.12 分方法二：()2 sin22 sin0 xh xfxnxemxnx在(0,)有零点，得esin02xmxnx，则由柯西不等式知：2222esinsin2xmxnxmnxx22222sinxemnxx，则222224(sin)xemnxx.8 分先证：22sin0 xx，(0,)x.构造函数22()sinh xxx，(0,)x.则()22sincos2sin2h xxxxxx.理科数学参考
13、答案第 8页（共 8 页）构造函数()sink ttt，(0,)t，则()1 cos0k tt.()sink ttt 在(0,)单调递增.20 x，得(2)(0)0kxk.所以函数22()sinh xxx在(0,)单调递增.当0 x 时，22sin0 xx.10 分由（1）知exex.222222222212()4(sin)4()8884xxxeeeeeemnxxxxx所以224emn证毕.12 分另：22222222211()14(sin)4(sin)4()4144xxxxxeeeeeemnexxxxxxxxx 阅卷说明：考生如按以下方法，请酌情给分.当0 x 时，22sin0 xx，得si
14、nxx；当0 x 时，11xex，得11xex.22.解：（1）将cosx，siny代入曲线 E.得2cos，0即1 cos.所以 E 的极坐标方程为1 cos.5 分（2）不妨设1,P，2,2Q，即11 cos，21 cos()1 sin2 ，则222212(1 cos)(1 sin)32(sincos)32 2sin()4PQ因为sin()1,14，.8 分所以32 221PQ.9 分当且仅当()242k时，即324k，kZ.所以PQ的最大值为21.10 分理科数学参考答案第 9页（共 8 页）23.解：（1）因为()|()|1()()11f xxmxnxmxnmn ，当且仅当()()0 xmxn时，即,xm n 时，即等号成立.又0m，0n.所以min()13f xmn.故2mn.5 分（2）由（1）知2mn，又0m，0n.所以12121112159()()(2)(2 1)222222224nmmnmnmnmn.当且仅当222mnnmmn，即23m，43n 时，等号成立.因为12924mn，.8 分所以3212log22mn.则32lo12g42mnmn即3212log42nmmn.10 分
