1、教材同步复习第一部分 第23讲矩形、菱形、正方形第五章四边形知识要点知识要点 归纳归纳人教：八下第十八章人教：八下第十八章P52P69；湘教：八下第二章湘教：八下第二章P58P74；沪科：八下第十九章沪科：八下第十九章P86P98.知识点知识点1矩形的性质及判定矩形的性质及判定1性质一般性质一般性质具有平行四边形的所有性质特殊性质特殊性质(1)矩形的四个角都是_；(2)矩形的对角线_且互相平分 对称性对称性既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴面积面积S_(a，b分别表示长和宽)直角直角(或或90)相等相等ab2.判定判定(1)有一个角是_的平行四边形是矩形；(2)有三个角都是_的四边形
2、是矩形；(3)对角线_的平行四边形是矩形直角直角(或或90)直角直角(或或90)相等相等知识点知识点2 菱形的性质及判定菱形的性质及判定1性质一般性质一般性质具有平行四边形的所有性质特殊性质特殊性质(1)菱形的四条边都_；(2)菱形的两条对角线_且互相平分，并且每条对角线平分一组对角对称性对称性既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴面积面积S_(m，n分别表示两条对角线的长)相相等等互相垂直互相垂直12mn2.判定判定(1)有一组邻边 _的平行四边形是菱形；(2)四条边_的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的_是菱形相等相等都相等都相等平行四边形平行四边形知识点知识点3 正方形的性质及判
3、定正方形的性质及判定1性质一般性质一般性质具有平行四边形的所有性质特殊性质特殊性质(1)正方形的四条边都_；(2)正方形的四个角都是_；(3)正方形的两条对角线互相_且相等，并且每一条对角线平分一组对角对称性对称性既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴面积面积Sa2(a表示正方形的边长)相等相等直角直角(或或90)垂直平分垂直平分2.判定判定(1)有一个角是_的菱形是正方形；(2)两条对角线_的菱形是正方形；(3)有一组_相等的矩形是正方形；(4)两条对角线互相_的矩形是正方形(5)有一组邻边相等，并且有一个角是_的平行四边形是正方形直角直角(或或90)相等相等邻边邻边垂直垂直直角直角
4、(或90)知识点知识点4 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系广西真题广西真题 精选精选命题点命题点1矩形的性质及判定矩形的性质及判定C 第1题图1(2018北部湾经济区12题3分)如图，矩形纸片ABCD，AB4，BC3，点P在BC边上，将CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OPOF，则cos ADF的值为()A BC D1113131515171719 第2题图2(2020北部湾经济区卷23题8分)如图，在ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点连接ED并延长至点F，使DFDE，连接AF，BF，BE.(1)求证：A
5、DEBDF;(2)若ABECBE，求证：四边形AFBE为矩形证明：证明：(1)D是是AB的中点，的中点，ADBD.在在ADE与与BDF中，中，ADEBDF(SAS),DEDFADEBDFADBD (2)由由(1)知知ADBD，DEDF，四边形四边形AFBE是平行四边是平行四边形形在在ABC中，中，D，E分别是边分别是边AB，AC的中点，的中点，DEBC，DEBCBE.ABECBE,ABEDEB，DBDE,ABEF，四边形四边形AFBE为矩形为矩形拓展训练拓展训练3(2019百色18题3分)四边形具有不稳定性如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形ABCD，当变形后图形面积是原图形面积的一半
6、时，则A_30 第3题图4(2019梧州25题10分)如图，在矩形ABCD中，AB4，BC3，AF平分DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AHDF，分别交BD，BF于点G，H.(1)求DE的长；(2)求证：1DFC.第4题图(1)解：解：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADCF，DAFAFC.AF平分平分DAC，DAFCAF，FACAFC，ACCF.AB4，BC3，AC 5，CF5.ADCF，ADEFCE，.设设DEx，则则 ，解得，解得x ，DE .ADFC22ABBC 2234 DECE354xx 3232(2)证明：证明：ADFH，AHDF，四边形四边形AD
7、FH是平行四边形，是平行四边形，ADFH3，CH2，BH5.ADBH，ADGHBG，DG .DE ，EGBC，1AHC.又又DFAH，AHCDFC，1DFC.DGBGADHB5DGDG 3515832DEDGDCDB45命题点命题点2菱形的性质及判定菱形的性质及判定 第5题图5(2019北部湾经济区16题3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AHBC于点H.已知BO4，S菱形ABCD24，则AH_245 第6题图6(2018北部湾经济区23题8分)如图，在 ABCD中，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，且BEDF.(1)求证：ABCD是菱形；(2)若AB5，AC6
8、，求 ABCD的面积(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，BD.AEBC，AFCD，AEBAFD90.在在AEB和和AFD中，中，AEBAFD(ASA)，ABAD，ABCD是菱形是菱形,BDBEDFAEBAFD (2)解：解：如答图，连接如答图，连接BD交交AC于点于点O.四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，AC6，ACBD，AOOC AC 63.AB5，AO3，BO 4，BD2BO8，S ABCD ACBD24.121222ABAO 2253 12第6题答图7(2020玉林15题3分)如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD_
9、菱形(填“是”或“不是”)是是 第7题图8(2020河池15题3分)如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OEAB，则OE的长是_2 第8题图C 第9题图9(2020梧州10题3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，延长BC到点F，使CF BC.连接AF，DF，AF分别交CD，BD于点G，O，则下列结论错误的是()A四边形ACFD是平行四边形BBD2 FD2 BF2COE BDD面积关系：SGEO SADO1414第10题图10(2020桂林23题8分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点(1)求证：ABEADF；(2)若BE ，
10、C60，求菱形ABCD的面积3(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABAD.点点E，F分别分别是边是边AD，AB的中点，的中点，AE AD，AF AB，AEAF.在在ABE与与ADF中，中，ABEADF(SAS)1212,ABADAAAEAF 第10题答图(2)解：解：连接连接BD，如答图，如答图.四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABAD，AC60，ABD是等边三角形是等边三角形点点E是是AD的中点，的中点，BEAD，AEB90.在在RtABE中，中，sin A，AB2，ADAB2，S菱形菱形ABCDADBE2 2 .BEAB3AB3233第11题图11(2019百色22
11、题8分)如图，菱形ABCD中，作BEAD，CFAB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.(1)求证：AEBF；(2)若点E恰好是AD的中点，AB2，求BD的值(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABBC，ADBC.ACBF.BEAD，CFAB，AEBBFC90，在在ABE和和BCF中，中，AEBBFC(AAS)，AEBF.,ACBFAEBBFCABBC (2)解：解：点点E恰好是恰好是AD的中点，且的中点，且BEAD，直线直线BE为为AD的垂直平分线，的垂直平分线，BDAB2.命题点命题点3正方形的性质及判定正方形的性质及判定 第12题图12(2016南宁11题3分)有3个正
12、方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则 S1：S2等于()A1 B1 2 C2 3 D4 92D拓展训练拓展训练第13题图13(2019河池9题3分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BECF，则图中与AEB相等的角的个数是()A1 B2 C3 D4C重点难点重点难点 突破突破重难点重难点1矩形的性质矩形的性质(重点重点)如图，在矩形ABCD中，CEBD于点E，CF平分DCE与DB交于点F.(1)求证：BFBC;例1题图【解答】【解答】四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，BCD90，CDBDBC90.CEBD，DBCECB90，ECBCDB.CFBCDBDC
13、F，BCFECBECF，CF平分平分DCE，DCFECF，CFBBCF,BFBC.(2)若AB4 cm，ABD30，求矩形ABCD的面积【解答】【解答】AB4 cm，ABD30，AD cm，矩形矩形ABCD的面积为的面积为4 (cm2)4 334 3316 331(2020咸宁)如图，在矩形ABCD中，AB2，BC2 ，E是BC的中点，将ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ECF的值为()5A BC D23104532 55第1题图C重难点重难点2菱形的判定与性质菱形的判定与性质(重点重点)例2题图 如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且AC16，BD1
14、2.图1图2(1)若四边形ABCD为平行四边形，添加下列条件后，仍不能判定图1中四边形ABCD为菱形的是()A.ABADBACBDCACBD DABOCBOB(2)如图1，若OBOD，ACBD，请添加一个条件_，使四边形ABCD为菱形；如图1，若BCAD，ABCD，请添加一个条件_，使四边形ABCD为菱形；如图1，若ABOCDO，CBDBDA，请添加一个条件_，使四边形ABCD为菱形OAOC(答案不唯一)ABAD(答案不唯一)ACBD(答案不唯一)(3)如图2，若四边形ABCD为平行四边形，已知点A，点C关于直线BD对称，点H为BC上的一点在四边形ABCD中，BCD为_三角形，对角线AC，BD
15、的位置关系为_；四边形ABCD的面积为_；四边形ABCD的周长为_；连接OH，若OHBC于点H，求cos COH的值等腰等腰ACBD9640【解答】【解答】BO6，OC8，BC10，SBCO BCOH BOOC，10OH68，OH ，cos COH .1212245OHOC35解题技巧解题技巧1菱形判定的一般思路：首先判定其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等来判定其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时也可以考虑其他判定方法，如四条边相等或对角线互相垂直平分2与菱形有关的计算常涉及下面几种：(1)求长度(线段长或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质；若菱形中存在一个顶角为60，则菱形
16、被连接另外两点的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；(2)求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于两对角线之积的一半进行计算重难点重难点3正方形的判定和性质正方形的判定和性质(重点重点)已知，平行四边形ABCD，连接AC，BD交于一点O.例3题图(1)如图1，若ABAD，请添加一个条件_，使平行四边形ABCD为正方形；(2)如图1，若ACBD，请添加一个条件_，使平行四边形ABCD为正方形；(3)如图1，若ADC90，请添加一个条件_，使平行四边形ABC
17、D为正方形ABC90(答案不唯一答案不唯一)ABAD(答案不唯一答案不唯一)ACBD(答案不唯一答案不唯一)(4)如图1，使平行四边形ABCD为正方形，添加的条件是_(5)如图2，在正方形ABCD中，连接AC，BD交于点O，延长CB到点F，使FBBC，连接FD交AB于点E，连接AF.求证：ADEBFE；ABC90，ABAD(答案不唯一)【解答】【解答】四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，ADBC,ADBC,ADEBFE.又又BCBF，FBAD.在在ADE和和BFE中，中，ADEBFE(AAS),AEDBEFADEBFEADBF 若AC4，求DF的值【解答】【解答】AC4，ABBCDC2 ，
18、FBBCDC2 ，FC4 ，DF 2 .22222DCCF 22(2 2)(4 2)2方法指导方法指导1正方形判定的一般思路(1)若四边形是平行四边形，则需要证一个角是直角和一组邻边相等；(2)若四边形是矩形，则需要证一组邻边相等或者对角线互相垂直；(3)若四边形是菱形，则需要证一个内角是直角或者对角线相等；(4)若已知一个四边形，要先证明其为平行四边形，再证明其为正方形；也可以直接证明其既是矩形又是菱形方法指导方法指导2对于正方形的相关计算问题，应注意合理应用其性质及由性质得到的一些结论：(1)四边相等，四个角均为90；(2)对角线互相垂直平分且相等；(3)对角线平分一组对角得到45角；(4
19、)边长与对角线的比为1 .2第2题图2如图，在正方形ABCD中，BC2，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DFBE，连接AE，AF.(1)求证：ADFABE；(2)若BE1，求sin AED的值(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABBCCDDA，ABCBCDCDADAB90，ABEADF90，在在ADF和和ABE中，中，ADFABE(SAS),ADABADEABEDFBE 第2题答图(2)解：解：BC2，BE1，CDADAB2，CE3，DE ，AE ，如答图，过点如答图，过点A作作AHDE于于点点H，则则SAED DEAH，又又SAED ADAB2，DEAH2，AH ，sinAED .22CECD 1322BEAB 51212124 1313AHEA4 6565
