1、 中考数学第三章变量与函数 3.1位置的确定与变量之间的关系考点一平面直角坐标系内点的坐标特征1.(2020四川成都,4,3分)在平面直角坐标系中,将点P(3,2)向下平移2个单位长度得到的点的坐标是()A.(3,0)B.(1,2)C.(5,2)D.(3,4)答案答案A将点P(3,2)向下平移2个单位长度,横坐标不变,纵坐标减2,平移点P后得到的点的坐标为(3,0).故选A.方法指导方法指导将点向左平移n个单位长度,纵坐标不变,横坐标减n;将点向右平移n个单位长度,纵坐标不变,横坐标加n;将点向上平移n个单位长度,横坐标不变,纵坐标加n;将点向下平移n个单位长度,横坐标不变,纵坐标减n.2.(
2、2019甘肃兰州,10,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,将四边形ABCD先向下平移,再向右平移得到四边形A1B1C1D1,已知A(-3,5),B(-4,3),A1(3,3),则点B1坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,4)D.(4,1)答案答案B3=-3+6,3=5-2,将四边形ABCD先向下平移2个单位长度,再向右平移6个单位长度,得到四边形A1B1C1D1,B1的坐标是(2,1),故选B.3.(2019内蒙古呼和浩特,9,3分)已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A、B、C、D按逆时针依次排列,若A点的坐标为(2,),则B点与D点的坐标分别为()A.(-2,),(2,-)
3、B.(-,2),(,-2)C.(-,2),(2,-)D.,3333333721-,22721,-22答案答案B如图所示,连接AO,DO,作AEx轴,DFy轴,四边形ABCD为正方形,O为对称中心,AO=DO,AOD=EOF=90,1=2,AEO=DFO=90,AOE DOF.OF=OE=2,DF=AE=,D(,-2),点B与点D关于原点对称,B(-,2),故选B.333思路分析思路分析根据题意画出图形,分别过点A,D作AEx轴,DFy轴,垂足分别为E,F,证AOE DOF,根据点A的坐标求出点D的坐标,再由中心对称求出点B的坐标.4.(2020新疆,13,5分)如图,在x轴,y轴上分别截取OA
4、,OB,使OA=OB,再分别以点A,B为圆心,以大于AB长为半径画弧,两弧交于点P.若点P的坐标为(a,2a-3),则a的值为.12答案答案3解析解析由作图可知点P在BOA的平分线上,点P到x轴和y轴的距离相等,又点P在第一象限,点P的坐标为(a,2a-3),a=2a-3,a=3.故答案为3.5.(2020广西北部湾经济区,17,3分)以原点为中心,把点M(3,4)逆时针旋转90得到点N,则点N的坐标为.答案答案(-4,3)解析解析如图所示,连接OM、ON,作MAx轴于A,NBx轴于B,由旋转的性质可知MON=90,且OM=ON,故1+2=90,又1+3=90,所以2=3,所以OAM NBO,
5、所以BN=OA=3,OB=AM=4,故N(-4,3).6.(2019江西,12,3分)在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(4,0),(4,4),(0,4),点P在x轴上,点D在直线AB上,若DA=1,CPDP于点P,则点P的坐标为.答案答案(2,0),(2+2,0),(2-2,0)22解析解析(1)当点D在第一象限时,如图1.图1CPPD,CPD=90,易证COPPAD.=,=.(4-OP)OP=4,即OP2-4OP+4=0,即(OP-2)2=0,OP=2,点P的坐标为(2,0).(2)当点D在第四象限时,OCPAOPAD44-OP1OP当点P在点A左侧时,如图2,CPPD,CPD
6、=90,易证COPPAD,=,=.OP2+4OP=4,(OP+2)2=8,OP+2=2.OP=2-2或OP=-2-2(舍).点P的坐标为(2-2,0).图2OCPAOPAD44OP1OP2222图3当点P在点A右侧时,如图3,CPPD,CPD=90,易证COPPAD,=,=.OP2-4OP=4.(OP-2)2=8,OP-2=2.OP=2+2或OP=2-2(舍).点P的坐标为(2+2,0).OCAPOPAD4-4OP1OP2222综上,点P的坐标为(2,0),(2+2,0),(2-2,0).227.(2018吉林,11,3分)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,A
7、B长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C的坐标为.答案答案(-1,0)解析解析A(4,0),B(0,3),AB=5,AC=AB,OC=AC-AO=AB-AO=5-4=1,C(-1,0).2243考点二函数的概念及三种表示方法1.(2019内蒙古包头,5,3分)在函数y=-中,自变量x的取值范围是()A.x-1B.x-1C.x-1且x2D.x-1且x23-2x1x 答案答案D由题意可得解得x-1且x2.故选D.10,-20,xx 2.(2020湖北武汉,8,3分)一个容器有进水管和出水管,每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开始4min内只进水不出水,从第4min到第24min内既进水
8、又出水,从第24min开始只出水不进水,容器内水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示,则图中a的值是()A.32B.34C.36D.38答案答案C由题图可知每分钟的进水量为=5L,设每分钟的出水量为nL,则(5-n)(16-4)=35-20=15,解得n=,第24min时,y=35+(24-16)=45,45=12,a=24+12=36.204154155-4154思路分析思路分析由点(4,20)、(16,35)及题意可求每分钟的进水量和出水量,再求第24min时容器内水量y,然后求出第24min后容器内水流完所用的时间即可求出a.3.(2019黑龙江齐齐哈尔,7,3分)
9、“六一”儿童节前夕,某部队战士到福利院慰问儿童.战士们从营地出发,匀速步行前往文具店选购礼物,停留一段时间后,继续按原速步行到达福利院(营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上).到达后因接到紧急任务,立即按原路匀速跑步返回营地(赠送礼物的时间忽略不计).下列图象能大致反映战士们离营地的距离s与时间t之间函数关系的是()答案答案B由题中的条件可知,该问题应分为远离,静止,远离,返回四段来考虑.远离时,s随t的增加而缓慢增大;静止时,s随t的增加不变;再次远离时,s随t的增加而增大;返回时,s随t的增加快速减小.结合图象,可得B正确.4.(2020内蒙古包头,13,3分)函数y=中,自变量x的取
10、值范围是.-3xx答案答案x3解析解析根据题意得,x-30,解得x3.5.(2020重庆A卷,17,4分)A,B两地相距240km,甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地,到达B地后停止.在甲出发的同时,乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地,到达A地后停止.两车之间的路程y(km)与甲货车出发时间x(h)之间的函数关系如图中的折线CD-DE-EF所示.其中点C的坐标是(0,240),点D的坐标是(2.4,0),则点E的坐标是.答案答案(4,160)解析解析因为点D的坐标是(2.4,0),所以出发2.4小时后两车相遇,所以乙车的速度v乙=60km/h,因为E为转折点,说明这时乙到达了A地,用
11、时=4h,此时甲所走的路程为404=160km,E(4,160).240-2.4 402.424060思路分析思路分析本题主要是理解两个转折点的意义.点D说明出发2.4小时后两车相遇,从而可求得乙的速度.点E说明此时乙到达了A地,从而通过乙车行驶时间,确定了甲车的行驶时间和路程,从而可求得点E的坐标.6.(2020重庆A卷,22,10分)在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数y=性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.(1)请把下表补充完整,并在图中补全该函数图象;261xx x-5-4-3-2-1012345y=
12、-30326xx11513241712512524171513(2)根据函数图象,判断下列关于该函数性质的说法是否正确,正确的在相应的括号内打“”,错误的在相应的括号内打“”;该函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y轴.()该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值.当x=1时,函数取得最大值3;当x=-1时,函数取得最小值-3.()当x1时,y随x的增大而减小;当-1x2x-1的解集(保留1位小数,误差不超过0.2).261xx 解析解析(1)补充表格如下,补全的函数图象如图所示.x-5-4-3-2-1012345y=-1.8-3031.826xx1151324171251252417151
13、3(4分)(2).(7分)(3)x-1,-0.3x1.8.(10分)注:当不等式解集的端点值误差在0.2范围内,均给相应分值.解题关键解题关键本题考查数形结合思想,作图要准确,观察要仔细,特别是第三问不要漏掉情况.7.(2019江西,21,9分)数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究:如图1,将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上,一端A固定在桌面上,图2是示意图.活动一如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转,AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时,铅笔AB的中点C与点O重合.数学思考(1)设CD=xcm,点B到OF的距离GB=ycm.用含x的代数式表示:AD的长是
14、cm,BD的长是cm;y与x的函数关系式是,自变量x的取值范围是.活动二(2)列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格;x(cm)6543.532.5210.50y(cm)00.551.21.582.4734.295.08描点:根据表中数值,继续描出中剩余的两个点(x,y);连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.数学思考(3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结论.解析解析(1)(6+x);(6-x).y=,0 x6.(2)补全表格:6(6-)6xxx(cm)6543.532.5210.50y(cm)00.551.21.5822.4734.295.086描点与
15、连线:(3)y随着x的增大而减小;图象关于直线y=x对称;函数y的取值范围是0y6.(写出两条即可)思路分析思路分析(1)由于CD=x,所以AD=AC+CD=6+x,DB=CB-CD=6-x.由题易证GDBODA,得到=,即=,通过变形得到y=.由0CDAB可得x的取值范围.(2)将x=3,x=0分别代入y=中,就可得到相应的y值.根据中的结果在平面直角坐标系中描点.利用平滑的曲线连接各点.(3)根据图象,从变化趋势、对称性和取值范围等角度进行分析.ADDBOAGB66-xx6y6(6-)6xx126(6-)6xx考点三与函数有关的应用型问题1.(2019辽宁大连,16,3分)甲、乙两人沿同一
16、条直路走步,如果两人分别从这条路上的A,B两处同时出发,都以不变的速度相向而行,图1是甲离开A处后行走的路程y(单位:m)与行走时间x(单位:min)的函数图象,图2是甲、乙两人之间的距离s(单位:m)与甲行走时间x(单位:min)的函数图象,则a-b=.答案答案0.5解析解析由题图1可得v甲=1202=60m/min,由题图2可得v甲+v乙=120=120=140m/min,所以v乙=140-60=80m/min,b所对应的时间为乙到达A点的时间,故b=12080=1.5,a所对应的时间为甲到达B点的时间,故a=12060=2,所以a-b=2-1.5=0.5,故答案为0.5.6776解题关键
17、解题关键本题解题关键是能结合函数图象,得出甲、乙的速度.2.(2019新疆,21,10分)某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克,销售了部分苹果后,余下的苹果每千克降价4元销售,全部售完.销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示.请根据图象提供的信息完成下列问题:(1)降价前苹果的销售单价是元/千克;(2)求降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围;(3)该水果店这次销售苹果盈利了多少元?解析解析(1)16.(2分)(2)由题意得y=640+(16-4)(x-40)=12x+160.(6分)当y=760时,x=50.自变量的取值范围是40
18、 x50.(8分)(3)760-508=360(元),该水果店这次销售苹果盈利了360元.(10分)3.(2020天津,23,10分)在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境.已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上,食堂离宿舍0.7km,图书馆离宿舍1km.周末,小亮从宿舍出发,匀速走了7min到食堂;在食堂停留16min吃早餐后,匀速走了5min到图书馆;在图书馆停留30min借书后,匀速走了10min返回宿舍.给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系.请根据相关信息,解答下列问题:(1)填表:离开宿舍的时间/
19、min25202330离宿舍的距离/km0.20.7(2)填空:食堂到图书馆的距离为km;小亮从食堂到图书馆的速度为km/min;小亮从图书馆返回宿舍的速度为km/min;当小亮离宿舍的距离为0.6km时,他离开宿舍的时间为min.(3)当0 x28时,请直接写出y关于x的函数解析式.解析解析(1)由题意,食堂距宿舍0.7km,用时7min,所以07min时速度为0.1km/min,所以第5min时,离宿舍的距离为50.1=0.5km;由图象可知,23min时离宿舍的距离为0.7km,30min时离宿舍的距离为1km.故答案为0.5;0.7;1.(2)由题意知,食堂距宿舍0.7km,图书馆距宿
20、舍1km,因为宿舍、食堂、图书馆依次在一条直线上,所以食堂距图书馆1-0.7=0.3km.故答案为0.3.由图象可知,从食堂到图书馆用时28-23=5min,所以小亮从食堂到图书馆的速度为=0.06km/min.故答案为0.06.由图象知,小亮从图书馆返回宿舍用时68-58=10min,所以小亮从图书馆返回宿舍的速度为=0.1km/min.故答案为0.1.由图象分析,小亮距宿舍0.6km时是在去食堂的路上或从图书馆回宿舍的路上,当在去食堂的路上时,=6min,当在从图书馆回宿舍的路上时,68-=62min,故当6min或62min时,小亮距宿舍0.6km.故答案为6或62.(3)由图象知,当0
21、 x7时,小亮的速度为0.1km/min,故离宿舍的距离为y=0.1x;当7x23时,小亮在食堂0.351100.60.10.60.1停留,故y=0.7;当23x28时,小亮以0.06km/min的速度从食堂前往图书馆,故y=0.7+0.06(x-23)=0.06x-0.68.综上所述,y=0.1(07),0.7(723),0.06-0.68(2328).xxxxx考点一平面直角坐标系内点的坐标特征教师专用题组1.(2020天津,8,3分)如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C在第一象限,则点C的坐标是()A.(6,3)B.(3,6)C.(0,6)D.
22、(6,6)答案答案DO(0,0),D(0,6),OD=6.四边形OBCD是正方形,BC=CD=OD=6,CDOD,CBOB,点C的坐标是(6,6),故选D.2.(2019山东青岛,6,3分)如图,将线段AB先向右平移5个单位,再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90,得到线段AB,则点B的对应点B的坐标是()A.(-4,1)B.(-1,2)C.(4,-1)D.(1,-2)答案答案D将线段AB先向右平移5个单位,此时点B的对应点坐标为(2,1),再将所得线段绕原点顺时针旋转90,得线段AB,则B的坐标为(1,-2).方法规律方法规律在平面直角坐标系内,把一个图形的各点的横坐标都加上(或减去)一个正
23、数a,对应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把一个图形的各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,对应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度;图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求旋转后的对应点的坐标.3.(2019浙江杭州,2,3分)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则()A.m=3,n=2B.m=-3,n=2C.m=2,n=3D.m=-2,n=3答案答案B点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),m=-3,n=2,故选B.4.(2018湖北武汉,6,3分)点A(2,-5)关于x轴对称的点的坐标是()A.(
24、2,5)B.(-2,5)C.(-2,-5)D.(-5,2)答案答案A关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数,所以点A(2,-5)关于x轴对称的点的坐标为(2,5).故选A.5.(2018新疆,10,5分)点(-1,2)所在的象限是第象限.答案答案二解析解析因为-10,所以点(-1,2)所在的象限是第二象限.考点二函数的概念及三种表示方法1.(2018内蒙古包头,3,3分)函数y=中,自变量x的取值范围是()A.x1B.x0C.x1D.x11-1x答案答案D根据题意得,x-10,则x1.故选D.2.(2020黑龙江齐齐哈尔,5,3分)李强同学去登山,先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又
25、匀速下山,上山的速度小于下山的速度,在登山的过程中,他行走的路程s随时间t的变化规律的大致图象是()答案答案B李强在登山过程中,可大致分为三个过程:先匀速登上山顶;在原地休息一段时间;匀速下山,且下山速度比上山速度快.可采取排除法解决.过程中,李强原地休息,因此s随着时间t的变化不发生改变,即图象为平行于x轴的线段,故可排除A、C选项;过程和中,上山和下山的速度均为匀速,但上山速度小于下山速度,因此,从图象上看,下山时对应的图象应比上山时对应的图象更陡,故可排除D.因此选B.3.(2020安徽,10,4分)如图,ABC和DEF都是边长为2的等边三角形,它们的边BC,EF在同一条直线l上,点C,
26、E重合.现将ABC沿着直线l向右移动,直至点B与F重合时停止移动.在此过程中,设点C移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图象大致为()答案答案AABC和DEF都是边长为2的等边三角形,BC=EF=2,0 x4.当0 x2时,重叠部分是等边三角形,边长为x,y=xsin60 x=x2;当2x4时,重叠部分仍然是等边三角形,边长为4-x,y=(4-x)sin60(4-x)=(4-x)2,观察选项,只有选项A符合.12341234思路分析思路分析由ABC和DEF都是边长为2的等边三角形确定重叠部分是等边三角形,并分两种情况:0 x2,边长为x;2x4,边长为4-x,然后根
27、据三角形的面积公式求出y关于x的表达式,对照选项即可判断.难点突破难点突破本题的突破口是判断两种情况下的重叠部分都是等边三角形.4.(2019山东潍坊,9,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D.设运动的路程为x,ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是()答案答案D由题意得,当0 x3时,y=3;当3xn,所以y=2n-1=20-1=-11,故B选项不符合题意;当m=1,n=2时,mn,所以y=2n-1=21-1=1,故D选项符合题意.故选D.6.(2017内蒙古呼和浩特,10,3分)函数y=的大致图象是()21|xx答案答案B
28、由解析式可知,当x取互为相反数的两个数(x0)时,y的值相等,所以函数的图象关于y轴对称,故排除D选项;当x无限接近于0时,y的值接近于+,故排除A选项;当x=1时,y取最小值,最小值为2,故排除C选项.故选B.7.(2020黑龙江齐齐哈尔,12,3分)在函数y=中,自变量x的取值范围是.3-2xx答案答案x-3且x2解析解析对于函数y=,自变量x满足x+30且x-20,所以x-3且x2.3-2xx8.(2019河南,21,10分)模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:(1)建立函数模型设矩
29、形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得xy=4,即y=;由周长为m,得2(x+y)=m,即y=-x+,满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.(2)画出函数图象函数y=(x0)的图象如图所示,而函数y=-x+的图象可由直线y=-x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.4x2m4x2m(3)平移直线y=-x,观察函数图象当直线平移到与函数y=(x0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m的值为;在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.(4)得出结论若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m的取值范围为.4x解析解析(1)
30、一.(1分)(2)如图.(3分)(3)8.(4分)把(2,2)代入y=-x+得2=-2+,解得m=8.在直线平移过程中,交点个数还有0个,2个两种情况.2m2m当有0个交点时,周长m的取值范围是0m8.(8分)(4)m8.(10分)解题关键解题关键本题为运用函数图象解决实际问题型题目,理解函数图象的意义以及图象的性质是根本,根据直线与双曲线的交点以及交点的个数确定m的值或其取值范围是解题关键.9.(2018北京,24,6分)如图,Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点,P是弦AB上一动点,连接PQ并延长交于点C,连接AC.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为xcm,P,C两点间的距离为y1
31、cm,A,C两点间的距离为y2cm.小腾根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值;ABABx/cm0123456y1/cm5.624.673.762.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;(3)结合函数图象,解决问题:当APC为等腰三角形时,AP的长度约为cm.解析
32、解析(1)通过画图观察可得当x=3时,y1=3.00.(2)如图所示.(3)3.00或4.83或5.86.在坐标系中画出直线y=x,则三个图象中,两两图象交点的横坐标即为APC为等腰三角形时线段AP的长度,则AP的长度约为3.00cm或4.83cm或5.86cm.考点三与函数有关的应用型问题1.(2018内蒙古呼和浩特,2,3分)二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶,它与白昼时长密切相关.当春分、秋分时,昼夜时长大致相等;当夏至时,白昼时长最长.根据下图,在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气()A.惊蛰B.小满C.立秋D.大寒答案答案D由题图可知白昼时长低于11小时的节气有立春
33、、立冬、冬至、大寒.故选D.2.(2018重庆A卷,17,4分)A,B两地相距的路程为240千米,甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地,分别以一定的速度匀速行驶.甲车先出发40分钟后,乙车才出发.途中乙车发生故障,修车耗时20分钟,随后,乙车车速比发生故障前减少了10千米/时(仍保持匀速前行),甲、乙两车同时到达B地.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如图所示,则乙车修好时,甲车距B地还有千米.答案答案90解析解析甲车先出发40分钟,由题图可知,所行驶的路程为30千米,故甲车的速度为=45千米/时.设乙车发生故障前的速度为v乙千米/时,可得452=10+v乙,所以
34、v乙=60,因此乙车发生故障后的速度为60-10=50千米/时.甲车走完全程所用时间为24045=小时.设乙车发生故障时,已经行驶了a小时,可得60a+50=240,解得a=,所以乙车修好时,甲车行驶的时间为+=小时,所以乙车修好时,甲车距B地还有45=90千米.402603小时302322-316316 40 20-360 60a73406073206010316 10-33解题关键解题关键解决此类问题的关键是能够将实际问题情境与函数图象相互转换,能够从图象的横、纵两个方向分别获取信息,判断相应的实际意义,运用数形结合的思想,找到解题的途径.3.(2020内蒙古包头,23,10分)某商店销售
35、A,B两种商品,A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元,2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元.(1)求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元;(2)该商店计划购进A,B两种商品共60件,且A,B两种商品的进价总额不超过7800元,已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元,应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多?解析解析(1)设A种商品的销售单价为x元,B种商品的销售单价为y元.根据题意得解得答:A种商品的销售单价为140元,B种商品的销售单价为180元.(4分)(2)设A,B两种商品全部售出后总获利为w元,购进A种商品a件,则购进B种商品(60-a)
36、件.根据题意得w=(140-110)a+(180-140)(60-a),化简得w=-10a+2400.110a+140(60-a)7800,a20.k=-100,w随a的增大而减小,当a=20时,w取最大值.当购进A种商品20件,B种商品40件时,才能使这两种商品全部售出后总获利最多.(10分)-40,23820,y xxy140,180.xy思路分析思路分析(1)设A种商品的销售单价是x元,B种商品的销售单价是y元,根据A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元,2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元,可列二元一次方程组,进而得解;(2)设总获利为w元,购进A种商品a件,则购进B
37、种商品(60-a)件.由A,B两种商品的进价总额不超过7800元,得110a+140(60-a)7800,求得a的取值范围.由A,B的利润和件数,可得总利润w关于a的一次函数,利用一次函数的性质得解.4.(2020贵州贵阳,22,10分)第33个国际禁毒日到来之际,贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动,某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下:(1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下,为什么说学习委员搞错了;(2)学习委员连忙拿出发票,发现的确错了,因为他还买了一本笔记本,但笔记本的单价已模糊不清,只能辨认出单价是小于10元的整数,那么笔记本
38、的单价可能是多少元?解析解析(1)设单价为6元的钢笔买了x支,则单价为10元的钢笔买了(100-x)支,根据题意,得6x+10(100-x)=1300-378,解得x=19.5.因为钢笔的数量不可能是小数,所以学习委员搞错了.(2)设笔记本的单价为a元,根据题意,得6x+10(100-x)+a=1300-378,整理,得x=a+,因为0a10,x随a的增大而增大,所以19.5x22,x取整数,x=20或21.当x=20时,a=420-78=2,当x=21时,a=421-78=6,所以笔记本的单价可能是2元或6元.143925.(2019河北,24,10分)长为300m的春游队伍,以v(m/s)
39、的速度向东行进.如图,当队伍排尾行进到位置O时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进的时间为t(s),排头与O的距离为S头(m).(1)当v=2时,解答:求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围);当甲赶到排头位置时,求S头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为S甲(m),求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围);(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.解析解析(1)排头走的路程为2tm,则S头=
40、2t+300.(2分)甲从排尾赶到排头时,有4t=2t+300,得t=150.此时,S头=2150+300=600.(5分)甲从排头返回的时间为(t-150)s,则S甲=600-4(t-150)=-4t+1200.(7分)(2)设甲从排尾赶到排头用时为t1s,则2vt1=vt1+300,t1=.设甲返回到排尾用时为t2s,则300=2vt2+vt2,t2=.T=t1+t2=.(9分)队伍在此过程中行进的路程是Tv=v=400(m).(10分)300v100v400v400v思路分析思路分析(1)当v=2时,排头走的路程为2tm,则有S头=2t+300;甲赶到排头位置,即甲走的路程等于S头,则4
41、t=2t+300,求得t值,代入得出S头的值,甲从排头返回的时间为(t-150)s,最后得出S甲=600-4(t-150)=-4t+1200;(2)分析得出甲从排尾赶到排头时有2vt1=vt1+300,解得t1=,当甲从排头返回到排尾时,有300=2vt2+vt2,解得t2=,可得T=t1+t2=,最后得出队伍在此过程中行进的路程.300v100v400vA组20182020年模拟基础题组时间:45分钟分值:55分一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2020甘肃兰州一诊,6)若点P(a-1,2a)在第二象限,则a的取值范围是()A.-1a0B.0a1C.a1答案答案B点P(a-1
42、,2a)在第二象限,解得0a0,60,点P(-,6)在第一象限,故选A.3-83-83.(2018湖北武汉武昌一模,6)点P关于x轴的对称点P1的坐标是(4,-8),则P点关于y轴的对称点P2的坐标是()A.(-4,-8)B.(-4,8)C.(4,8)D.(4,-8)答案答案B根据题意,得点P的坐标是(4,8),则P点关于y轴的对称点P2的坐标是(-4,8).故选B.4.(2018四川宜宾二模,8)如图,正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的中点,动点E从点A向点B运动,到点B时停止运动;同时,动点F从点P出发,沿PDQ运动,点E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x,AEF的
43、面积为y,则y与x之间函数关系的图象是()答案答案A当点F在PD上运动时,AEF的面积y=AEAD=2x(0 x2);12当点F在DQ上运动时,AEF的面积y=AEAF=x(6-x)=-x2+3x(2x4).则y与x之间函数关系的图象如图:故选A.121212二、填空题二、填空题(每小题3分,共12分)5.(2020辽宁鞍山铁东一模,12)在函数y=中,自变量x的取值范围是.1xx答案答案x-1且x0解析解析根据题意得x+10且x0,解得x-1且x0.6.(2020内蒙古包头4月模拟,15)在平面直角坐标系中,点P(4,2)关于直线x=1的对称点的坐标是.答案答案(-2,2)解析解析点P到直线
44、x=1的距离为4-1=3,点P关于直线x=1的对称点P到直线x=1的距离为3,点P的横坐标为1-3=-2,又知点P与点P的纵坐标相同,对称点P的坐标为(-2,2).7.(2020四川成都青白江一诊,12)如图,等边OAB的边长为2,则点B的坐标为.答案答案(1,)3解析解析过B作BDOA于D,则BDO=90,OAB是等边三角形,OD=AD=OA=1.在RtBDO中,由勾股定理得BD=,点B的坐标为(1,).1222-OB OD222-1338.(2018黑龙江哈尔滨南岗一模,12)函数y=中,自变量x的取值范围是.-23xx答案答案x-3解析解析由题意得,x+30,解得x-3.三、解答题三、解
45、答题(共31分)9.(2020上海青浦二模,22)某湖边健身步道全长1500米,甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行.甲先到达终点后立刻返回,在整个步行过程中,甲、乙两人间的距离y(米)与出发的时间x(分)之间的关系如图中折线OA-AB所示.(1)用文字语言描述点A的实际意义;(2)求甲、乙两人的速度及两人相遇时x的值.解析解析(1)点A的实际意义为出发20分钟时,甲到达终点,此时甲、乙两人相距500米.(2)根据题意得,v甲=75(米/分),v乙=50(米/分).依题意,可列方程得75(x-20)+50(x-20)=500,解这个方程,得x=24.答:甲的速度是75米/分,乙的速度是50米
46、/分,两人相遇时x的值为24.1500201500-5002010.(2019新疆乌鲁木齐高新区一模,21)“低碳生活,绿色出行”的理念已深入人心,现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末,小红与同学相约到郊外游玩,她从家出发0.5小时后到达甲地,玩一段时间后按原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中.小红从家出发到返回家中,行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示.(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为km/h;(2)当1.5x2.5时,求出路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式,并求乙地离小红家多少千米.解析解析(1)在OA段,小红骑车的速度为=20
47、km/h,故答案为20.(2)当1.5x2.5时,设y=20 x+b,把(1.5,10)代入得,10=201.5+b,解得b=-20,y=20 x-20,当x=2.5时,y=202.5-20=30,乙地离小红家30千米.100.511.(2020江西南昌一模,21)数学活动课上,小明同学根据学习函数的经验,对函数的图象、性质进行了探究.下面是小明同学的探究过程,请补充完整:如图1,已知在RtABC中,ACB=90,A=30,BC=2cm,点P为AB边上的一个动点,连接PC,设BP=xcm,CP=ycm.【初步感知】(1)当CPAB时,x=,y=;【深入思考】(2)试求y与x之间的函数关系式并写
48、出自变量x的取值范围;(3)通过取点测量,得到了x与y的几组值,如下表:x/cm00.511.522.533.54y/cm21.81.722.32.63(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)(i)建立平面直角坐标系,如图2,根据补全后的表格中各组对应值,画出该函数的图象;(ii)结合画出的函数图象,写出该函数的两条性质:;.解析解析(1)当CPAB时,CPB=ACB=90,BCP=A=30,BP=BC=1cm,CP=BCcos30=cm,x=1,y=.故答案为1;.(2)过点C作CDAB于点D.ACB=90,A=30,BC=2cm,由(1)知BD=1cm,CD=cm.当0 x1时,如图1,P
49、D=(1-x)cm,PC=,y=.12333322PDCD22(1-)(3)x2-24xx2-24xx当1x4时,如图2,PD=(x-1)cm,PC=.综合得y=(0 x4).(3)由(2)知y=(0 x4).当x=1.5时,y=1.8.22PDCD22(-1)(3)x2-24xx2-24xx2-24xx233-2422当x=4时,y=23.5.表格中的横线上依次填1.8,3.5.(i)画出函数图象如图3所示.图3(ii)(答案不唯一,符合要求即可)当0 x1时,y随x的增大而减小;当1x4时,y随x的增大而增大;y的最小值约为1.7.24-2 443方法总结方法总结在利用函数图象判断函数性质
50、时,一般从下面几个方面观察:1.图象位置,如在哪个象限;2.图象的对称性,如轴对称性,中心对称性;3.图象的最高(低)点,即函数的最值;4.图象上升或下降的变化趋势,即函数的增减性;5.图象与坐标轴的交点.12.(2019天津南开一模,23)某商场进行促销活动,出售一种优惠购物卡(注:此卡只作为购物优恵凭证,不能顶替货款),花300元买这种卡后,凭卡可在这家商场按标价的8折购物.将不购卡购物和使用优惠卡购物分别视为方式一购物和方式二购物,设顾客购买商品的金额为x元.(1)根据题意,填写下表:商品金额(元)3006001000 x方式一的总费用(元)3006001000方式二的总费用(元)540
