1、高三：圆锥曲线专题讲义目录11.4 平面向量问题211.4 平面向量问题【课前测】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1椭圆的离心率为，且过点. （）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求的值.2.已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.()求椭圆的标准方程;()已知过点的直线与椭圆交于,两点.()若直线垂直于轴,求的大小;()若直线
2、与轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.【知识点一：向量相关知识点问题】1. 三点共线：；存在实数，使；若存在实数，且，使2.给出，等于已知，即是直角；给出，等于已知是钝角，给出，等于已知是锐角3.给出，等于已知是的平分线4.在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）5.如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化【知识点二：垂直问题】1.垂直以为直径的圆过原点 故两边同时乘以，整体处理得消去高次项得即找了
3、的关系式.推广：以为直径的圆过焦点可以看得出，同样可以采用整体法处理.2.角度问题成锐角或钝角原点在以为直径的圆内易得原点在以为直径的圆外易得【典型例题】考点一：垂直问题之矩形问题例1-已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为,离心率，过右焦点的直线交椭圆于，两点（）求椭圆的方程；（）当直线的斜率为1时，求的面积；（）若以为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程. 练1.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆交于两点，是否存在实数，使 成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 例2
4、已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于两点（）求椭圆的方程；（）当四边形为矩形时，求直线的方程例3.已知椭圆的离心率为，且过点.（）求椭圆的标准方程；（）直线交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数的取值范围.练3.已知椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点.（）求的离心率及短轴长；（）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.练4已知椭圆，（1）求椭圆的离心率.（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关
5、系，并证明你的结论.考点二：垂直问题之三角形问题例1.椭圆的离心率为，且过点. （）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求的值.练1.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（）当关于点对称时，求证：；（）当直线经过点 时，求证：不可能为等边三角形.例2.已知椭圆（）过点，离心率.（）求椭圆的方程；（）设过定点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，且为锐角（其中为坐标原点),求直线倾斜角的取值范围.考点三： 角度问题例1.设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为，且点在该椭圆上（）求椭圆的方程；（）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形练
6、1.已知椭圆：的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为（1）求椭圆C的方程（2）设过点B（0，m）（m>0）的直线l与椭圆C相交于E,F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围练2.已知椭圆过点，且长轴长是焦距的倍，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，为坐标原点。（）求椭圆的标准方程（）若直线垂直于轴，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由；（）若点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围。【知识点二：共线比例问题】【典型例题】考点一：共线问题例1在平面直角坐标系xOy中，经过点（0, ）且斜率为k的直线l与椭圆 有两
7、个不同的交点P和Q.()求k的取值范围；()设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.练1已知椭圆的焦距为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为，过点的直线与椭圆交于两点.（）求椭圆的方程；（）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围.例2.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，离心率为.（）求椭圆的标准方程；（）设直线经过点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程. 练2已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为（）求椭圆的标准方程；（）若过点的直线
8、与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围例3设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，三点的圆恰好与直线：相切. 过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.（）求椭圆的方程；（）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由；xOyQAF2F1（）若实数满足，求的取值范围.例4已知椭圆上的左、右顶点分别为，为左焦点，且，又椭圆过点（）求椭圆的方程； （）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线,的斜率分别为,，若，证明：,三点共线练4.在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程
9、为（）求椭圆的离心率；（）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；（）设椭圆的左、右焦点分别为，点与点关于直线对称，求证：点三点共线考点二：比例问题例1设椭圆：的左焦点分别为是椭圆上的一点，且，坐标原点到直线的距离为。（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率练1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点，离心率是（）求椭圆的标准方程；（）直线过点且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程.【小试牛刀】例1已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.()求椭圆的标准方程;()已知过点的直线与椭圆交于,两点.()若直线垂直于轴,求的大
10、小;()若直线与轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.2. 已知椭圆的离心率，点为椭圆的右点. （）求椭圆的方程； ()过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，若在轴上存在着动点，使得以为邻边的菱形，试求出的取值范围.3.已知椭圆过点，且长轴长是焦距的倍，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，为坐标原点。（）求椭圆的标准方程（）若直线垂直于轴，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由；（）若点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围。4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（，0），右顶点为（2，0）.（
11、）求椭圆C的方程；（）若直线与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围.【巩固练习基础篇】1.已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：交于点连接，过点作的垂线与直线交于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标；（）求证：，三点共线2.已知椭圆的离心率是（）求椭圆的方程；（）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过作斜率为的直线，交椭圆于两点，直线分别交轴于不同的两点. 如果为锐角，求的取值范围3.已知椭圆：的右焦点为，且经过点（）求椭圆的方程以及离心率；（）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点在轴是否存在定点，使？若
12、存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由4.已知椭圆,椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,与有相同的离心率,且过椭圆的长轴端点.（）求椭圆的标准方程;（）设为坐标原点,点分别在椭圆,上,若,求直线的方程.5.已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右顶点,且交椭圆于另一点.（）求椭圆的标准方程;（）若以为直径的圆经过椭圆的上顶点,求直线的方程.6.已知圆的切线与椭圆相交于两点.（）求椭圆的离心率;（）求证:;（）求面积的最大值7.已知椭圆经过点，离心率为.是椭圆上两点，且直线的斜率之积为为坐标原点.（）求椭圆的方程；（）若射线上的点满足，且与椭圆交于点，求的值. 【巩固练习提高篇】已知点为椭圆上任意一点,
13、直线与圆交于两点,点为椭圆的左焦点.（）求椭圆的离心率及左焦点的坐标;（）求证:直线与椭圆相切;（）判断是否为定值,并说明理由.2.已知椭圆: 的长轴长为4,左、右顶点分别为,经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.（）当,且直线轴时,求四边形的面积;（）设,直线与直线相交于点,求证:三点共线.3.已知椭圆：的离心率为，且过点（）求椭圆的标准方程；（）点是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点作轴于，线段的中点为直线与直线交于点，为线段的中点，设为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系 4.已知椭圆的右焦点为，离心率为. 直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点
14、，线段的中点为.（）求椭圆的方程； （）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率5.已知椭圆的焦距和长半轴长都为过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点（I）求椭圆的方程；（II）设点是椭圆的左顶点，直线分别与直线相交于点.求证：以为直径的圆恒过点.6.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且（）求椭圆的方程；（）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线分别与直线交于点，求的大小7. 已知椭圆E：经过点,离心率为，O为坐标原点. ()求椭圆E 的方程; ()设A,B 分别为椭圆E 的左、右顶点,D 为椭圆E 上一点 (不在坐标轴上),直线CD 交x 轴于点P,Q 为直线AD 上一点,且,求证C,B,D三点共线8. 已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为 （）求椭圆的方程；（）若直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，点，求证：点不在以为直径的圆上9. 已知椭圆过点，设它的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，且满足（）求椭圆的标准方程和离心率；（）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断 的大小是否为定值，并说明理由46会当凌绝顶，一览众山小。
