1、高三：平面向量专题讲义目录6.1 平面向量的概念与线性运算26.2 平面向量的基本定理及坐标表示186.3 平面向量数量积及其应用266.1 平面向量的概念与线性运算【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1.在中，则的值是A.5B.-5C.D.2.已知平面向量，满足，则与的夹角为A.B.C.D.3.已知向量与向量的夹角为，则A.B.C.D.【教学目标】1 理解平面向量的概念和向量的几何表示；2 掌握平面向量的模、单位向量、零向量、平行向量等概念的意义；3 掌握平面向量点坐标的运算；4 利用平面向量的概念和运算解决实际问题。【知识导航】【知识点一：平面向量的基本概念】1.向量的
2、有关概念：向量：既有大小又有方向的量向量常用有向线段来表示。注意：不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行单位向量：长度为1个单位长度的向量向量的模：向量的长度叫做向量的模平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。相等向量：长度相等且方向相同的向量 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量的相反向量是2.向量的表示方法：几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；符号表示法：用一个小写的英文字母来表示
3、，如，等；【典型例题】考点一： 向量的概念例1.在四边形中，则四边形是A.梯形B.平行四边形C.矩形D.正方形练1.已知， 则有A. B. C. 不共线D.以上都有可能【知识点二：向量的线性运算】1向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法.已知向量，在平面内任取一点A，作，则向量叫做向量与的和（或和向量），即.向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量=.注：若，为不共线向量，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当，共线时，则只能用三角形法则求和向量，向量加法的本质是首尾相接.三角形法则可推广至若干向量的和.如图所示.2向量的减法（1）相反向量.与长度相
4、等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作-.规定：零向量的相反向量仍为零向量；-（-）=,+(-)=;若，互为相反向量，则= -，= -，+=.（2）向量的减法.向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即-=+（-）.向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示，则向量.注：向量加法的三角形法则是两向量首尾相连，和向量是以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点的向量.【典型例题】考点一：平面向量的加减运算例1.在中，为的中点，为的中点，交于点，则A.B.C.D.练1.已知平面
5、上不重合的四点满足且，那么实数的值为A.B.C.D.例2.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么A.B.C.D.练2.在中，点满足，则A.B.C.D.练3.设在内部，且，则的面积与的面积之比是A.B.C.D.【例3】已知中，如果对一切实数都有，则一定为A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.与的值有关练4.设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，如果（为实数），那么的值为A.B.0C.D.1练5.在所在平面内一点，满足，延长交于点，若，则_ 【知识点三：向量的数乘】1.实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向
6、相同；当0时，的方向与的方向相反；当时，方向不确定；时，方向不确定.2.向量数乘运算的运算律.设、为任意向量，、为任意实数，则；.【典型例题】考点一：平面向量的数乘例1.设是不共线的两个平面向量,已知,.若三点共线,则实数的值为A.B.C.D.例2.如图,正方形中,为的中点,若,则的值为A.B.C.D.练1.已知为所在平面内的一点，且若点在的内部(不含边界)，则实数的取值范围是_练2.在所在平面内一点,满足,延长交于点,若,则.【小试牛刀】1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是A.一条线段B.一段圆弧C.两个孤立点 D.一个圆2.设是所在平面内一点,且,则A
7、.B.C.D.3.已知是正方形的中心,若,其中,则A.B.C.D.4.如图,正方形中,为的中点,若,则的值为A.B.C.D.5.在平行四边形中，分别是边和的中点，且，其中，则_【巩固练习基础篇】1.以下说法错误的是A. 零向量与任一非零向量平行B. 零向量与单位向量的模不相等C. 平行向量方向相同D. 平行向量一定是共线向量2.在所在平面内一点，满足，延长交于点，若，则_3.如右图,正方形中,为的中点,若,则的值为.4.在四边形中， ，. 若，则A. B. C. D. 5.已知向量,不共线,若()(),则实数.【巩固练习提高篇】1.已知中，如果对一切实数都有，则一定为A.锐角三角形B.钝角三角
8、形C.直角三角形D.与的值有关2在中,点D是边上的动点,且,()，则当取得最大值时,的值为A.B.C.D.6.2 平面向量的基本定理及坐标表示【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1 .若向量,则等于A.(-2,3)B.(2,-3)C.(2,3)D.(-2,-3)2. 已知向量若，则.3. 已知向量,.若与平行,则实数的值是A.B.1C.D.4.在中,点满足若,则,.【知识点一：平面的基本定理】如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量，存在唯一的实数对，使得.【典型例题】考点一： 平面向量的基本定理及其应用例1. 在中，为的中点，为的中点，交于点，则A.B.C.D
9、.练1.已知向量与不共线，且，若三点共线，则实数满足的条件为A.B.C.D.例2.如图,两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形,若直角边长为,且,则.练1.在四边形中， ，. 若，则A.B.C.D.练2.在平面直角坐标系中,已知点,动点满足,其中,则所有点构成的图形面积为A.B.C.D.【知识点二：平面向量的坐标运算】坐标运算：设、两点的坐标分别为，则设 ， 向量平行（共线）关系：向量垂直关系：【典型例题】考点一： 平面向量的坐标运算例1. 已知点和向量，若，则点的坐标为_.练1.设，向量. 若，则等于A.1B.B.D.例2. 已知向量,且,则练1.已知平面向量满足，若，则实数A.B
10、.C.D.例3.已知向量，其中则“”是“”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件练1.已知向量，若与垂直，则A.B.C.D.【小试牛刀】1.已知向量,若,则实数（A） B.C.D.2.已知向量，若与垂直，则实数=_3、在平面向量中,已知,.如果,那么_;如果,那么_.4.设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，如果（为实数），那么的值为A.B.0C.D.1【巩固练习基础篇】1.若向量，满足条件与共线，则的值为A.B.C.D.2.已知向量，且，则_.3.在平面直角坐标系中，向量，若三点能构成三角形，则A.B.C.D.4.已知为的外心，且
11、.若 ，则；若 ，则的最大值为.【巩固练习提高篇】1.已知向量，若，则=A.B.C.D.2.已知向量，点，点为直线上的一个动点，若，则点的坐标为_3.向量，则向量的最小值是（ ）A.B.C.D.4.设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，如果（为实数），那么的值为A.B.0C.D.16.3 平面向量数量积及其应用【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1.已知向量,且,则2.若向量，,则等于A.(-2,3)B.(2,-3)C.(2,3)D.(-2,-3)3.已知平面向量，.若，则实数的值为A.B.C.D.4.已知平面向量,则是与同向的A.充分而不必要条件B.必要而
12、不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.向量，则向量的最小值是A.B.C.D.6.已知，是不共线的向量，,那么三点共线的充要条件为A.B.C.D.【知识点一：平面向量的数量积的定义】已知两个非零向量与，它们的夹角为，则叫做与的数量积（或内积）.规定.【典型例题】考点一：数量积的定义例1.已知平面向量的夹角为,且满足则练1.设向量,满足,则.练2.已知平面向量，满足，与的夹角为，则_考点二：数量积的性质例1. 已知向量，与的夹角为，要使向量与垂直，则例2.若是两个非零的平面向量,则“”是“”的A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件练1.已知向量
13、满足，且，则与的夹角为.练2.已知是两个非零向量,则“”是“且”的A.充分不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【知识点二：与模长相关的数量积运算】向量的模：设，则【典型例题】例1.已知向量,满足,则A.B.C.D.例2.若,是两个非零的平面向量,则“”是“”的A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例3.在四边形中,，.若，则A.B.C.1D.2练1.在平面向量,中,已知,.如果,那么_;如果,那么_.练2.已知为圆上两个不同的点（为圆心）,且满足,则A.B.C.2D.4练3.已知平面向量满足,且，则的值为A.B.C.D.【
14、知识点三：与坐标相关的数量积运算】设，则.向量的模：设，则向量垂直：设非零向量，则【典型例题】例1.已知向量，若，则实数A.B.C.D.例2.已知向量,且,则的夹角大小为A.B.C.D.练1.已知向量，若，则_.练2.已知向量满足,则A.B.C.D.【知识点四：已知数量积求其他相关问题】设,都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 当与同向时,;当与反向时，特别地,或; 【典型例题】例1.已知向量满足，且其夹角为，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件练1.设平面向量为非零向量,能够说明若“,则”是假命题的一组向量的坐标依次为_.
15、例2.设,是平面上的两个单位向量,.若,则的最小值是A.B.C.D.练2.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点,若,则的最大值是A.B.C.D.例2. 若非零向量满足,则向量,夹角的大小为练3.已知向量,满足,且,则与夹角的大小为_.【小试牛刀】1.若非零向量满足,则向量,夹角的大小为2.设平面向量,满足,那么,的夹角.3.已知菱形边长为1，则A.B.C.D.4.设,为非零向量,则“与方向相同”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知向量，若，则=A.B.C.D.6.已知向量，其中则“”是“”成立的A.充分而不必要条件B.必要
16、而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.已知平面向量满足，且，则与的夹角等于_.8.在平面内，点是定点，动点满，则集合所表示的区域的面积是【巩固练习基础篇】1.已知平面向量的夹角为，且，则A.B.C.D.2.已知中,且,那么,.3.设均为单位向量,则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.在平行四边形中，已知，则四边形的面积是_5.已知向量，则的夹角为A.B.C.D.6.已知向量，则AB.C（D7.已知向量，向量为单位向量，且，则与夹角为_.8.已知向量,且,则的夹角大小为A.B.C.D.【巩固练习提高篇】1.已知向量满足,则A.B.C.D.2.已知向量满足,则A.B.C.D.3.已知非零向量满足，与的夹角为，则的取值范围是_4.在中,点在上,且,则的取值范围是A.B.C.D.5.已知向量则的最小值为.6.如图，矩形中，为的中点.当点在边上时，的值为_；当点沿着，与边运动时，的最小值为_.41路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
