1、高二：空间向量专题讲义目录1.1 空间向量及其运算21.2 空间直角坐标系及空间向量的坐标形式141.1 空间向量及其运算【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则_ABCD2已知平面向量，且，则实数_3设向量，则ABCD4已知等边的边长为2，为边的重点，点是边上的动点，则的最大值为_；最小值为_。5已知向量，满足，那么_。【知识梳理】【知识点一：空间向量及其运算】目标：1会利用定义解决空间向量共面问题2会进行空间向量的加法、减法、数乘运算。3 会计算空间向量的数量积，并会求解简单的向量夹角问题。一、空间向量的概念在空间中，具有大小和方向
2、的量叫做空间向量.零向量，共线向量，相等向量，相反向量：与平面向量相同.空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面。二、空间向量的基本运算1、加法运算将表示相加向量的有向线段依次首尾相接，构成的折线从起点到终点的向量就是这些相加向量的和.空间向量的加法运算遵循三角形法则和平行四边形法则.空间向量的加法和数乘向量运算和平面向量一样，满足:加法交换律:.加法结合律:.分配律:,.2、减法运算如果把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.3、向量的数乘运算实数和向量的乘积是一个向量，记做.的模长:.的方向:当时，与同方向；当时，与反
3、方向.4、向量的数量积已知空间两个非零向量，（零向量与任何向量的数量积为0）定义它们的数量积（或内积）为:注:向量的夹角:在空间中任取一点，作，则角叫做向量的夹角，记作.5、空间两个向量的数量积具有如下性质:（其中为单位向量）;.6、空间两个向量的数量积满足如下运算律:;.7空间两个向量的数量积的几何意义空间中，两个非零向量与的数量积为。而且，两个向量数量积的几何意义与正投影有关，如上图所示，过的始点与终点分别向所在的直线做垂线，即可得到向量在向量上的正投影，与的数量积等于在上的正投影的数量与的长度的乘积。特别地，与单位向量的数量积等于在上的正投影的数量。（1）向量向向量投影，得到，（2）向量
4、向直线投影（3）向量向平面投影。这时，向量的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。三、空间向量基本定理1、共线向量定理两个空间向量，的充要条件是：存在唯一的实数，使.2、共面向量定理共面向量：平行于同一平面的向量.共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是：存在唯一的一对实数，使.3、空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使结论：由共面向量定理判断四点是否共面：已知平面内有三点，平面外一点O，则点在平面内的充要条件是：。4、基底与基向量如果三个向量不共面，则的线性组合能生成所有的空间向量，这时叫做空间的一个基底，记做，其中叫做基向量
5、.【典型例题】考点一、空间向量及其运算例1.（经典改编题）给出下列命题：在正方体中,必有；若空间向量满足,则；空间上任意两个单位向量必相等.其中正确的个数为A.B.C.D.例2 在平行六面体中，为的中点。（1）用，表示向量：；（2）在图中画出化简后的向量。例3.已知空间任意一点和不共线三点，若，则下列结论正确的是A.B.C.D.练1下列命题中，正确命题的个数为（）若向量，共线，则与所在直线平行若向量，所在直线为异面直线，则与一定不共面；若，三个向量两两共面，则，三个向量一定共面。A0个B1个C2个D3个练2在四面体中,点在上,且,为中点,则等于( )（A）（B）（C）（D）练3.在下列条件中，
6、使与不共面的是A.B.C.D.考点二：空间向量的数量积运算例4在平行六面体中，求（1）；（2）的长（精确到01）。练4已知长方体中，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）ABCD练5已知正四面体ABCD的每条棱长都等于,点E,F,G分别是棱长AB，AD，DC的中点，则下列结论正确的是（ ）A BCD考点三：利用数量积求夹角例5已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若为底面的中心，则与平面所成角的大小为_练6在正方体中，AC1与底面ABCD所成角的余弦值为，则该四棱柱的体积为 ；异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为_考点四：求模长例6 已知，且两两之间夹角均为，则=_【小试牛
7、刀】1 如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于A B CD2.如图，在正方体中，分别为， 的中点，则异面直线与所成的角大小等于（ ）A BC D3 已知是空间中两两垂直的单位向量，且向量，那么实数_;_4已知是空间中两两垂直的单位向量，且向量，若向量共面，求实数的值。5在正三棱锥中，则直线与平面所成角的大小为ABCD6如图，在正方体中，点分别是棱上的动点给出下面四个命题：直线与直线平行；若直线与直线共面，则直线与直线相交；直线到平面的距离为定值；直线与直线所成角的最大值是其中，真命题的个数是 A1B2C3D4【巩固练习】1如图，在长方体中，若则_。2平行六面体中，所有的棱长均为2，且，则_;异
8、面直线与所成的角的大小为_。3四面体的每条棱长都等于2，点分别为棱的重点，则_，_4如图，正方体的棱长为1，为的中点。（1）求；（2）求1.2 空间直角坐标系及空间向量的坐标形式【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1（17西城重点校期中，5）已知点和点，且，则实数的值是A或4 B6或2C3或D6或2（19清华附期中，6）已知空间向量，ABCD3.（17西城校期中，1）点在空间直角坐标系中的Ay轴上B平面上C平面上D第一象限内【知识点一】（一）平面直角坐标系在平面直角坐标系中，点的中点坐标为（，），=，两点间的距离为 P1到x轴的距离是 ，P1到y轴的距离是 ，P1关于x轴的
9、对称点的坐标是 ，P1关于y轴的对称点的坐标是 ，P1关于P2对称点的坐标是 （二）空间直角坐标系1、空间直角坐标系及相关概念: 空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：轴、轴、轴，这样就建立了一个空间直角坐标系2、右手直角坐标系: 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系3、空间坐标系的建立与点的书写空间中点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作其中叫做点的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标（1）常用的空间直角坐标系满足轴成右手
10、系，所以在标轴时要注意，逆时针旋转得到轴。（2）轴的选取往往比较容易，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点。轴的选取：尽可能的让底面上更多的点位于轴上；轴要互相垂直，所以要利用好底面的垂直条件。解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。（3）与垂直相关的定理与结论线面垂直：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直；两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直
11、线与另一个平面垂直。线线垂直（相交垂直）正方形、矩形、直角梯形等腰三角形底边上的中线与底边垂线（三线合一）菱形对角线互相垂直直径所对圆周角为直角勾股定理逆定理：若，则（4）坐标书写（i）能够直接写出的坐标点：坐标轴上的点：轴：，轴：，轴：规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0.底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边做出底面的平面图进行参考。（ii）空间中在底面投影为特殊位置的点：如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同），由这条规律出发，在写空中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否写好，如果可以则直接确定了横纵
12、坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。（iii）需要计算的点中点坐标公式：，则中点线段上的动点：点为线段上的动点，则设，有，即点坐标为（四）空间中的距离公式1、在空间中，点P(x，y，z)到x轴的距离 y ，到y轴的距离 x ，到z轴的距离 。2、在空间中，点P(x，y，z)到xOy平面的距离 z ，到yOz平面的距离 x ，到xOz平面的距离 y 。3、在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|4、在空间中，两点与的距离（五）空间中的对称问题1、在空间中， 点关于点对称的点的坐标。1、在空间中，点P(x，y，z)关于x轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的坐标，关于z轴对称的点的坐标。
13、（关于谁对称，谁就保持不变）2、在空间中，点P(x，y，z)关于xOy平面对称的点的坐标 ，关于yOz平面对称的点的坐标，关于xOz平面对称的点的坐标。（关于谁对称，谁就保持不变）3、在空间中，与，P1关于坐标原点对称的点的坐标，P1点关于P2点对称的点的坐标。【典型例题】考点一：建立空间直角坐标系，书写点的坐标例1在长方体中，分别是棱上的点，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标。2.（18六十五中期中，4）建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标考点二：空间直角坐标系例1（18二中期中，5）设,，的中点，则=A. BCD例2（2017海淀高二理期末04）在空间直角坐标系
14、中，点关于坐标平面的对称点为ABCD练1（2017海淀高二理期末04）在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为ABCD考点三：空间中两点距离公式例1：（19广渠门摸底考，2）若已知，则线段的长为ABCD 【知识点二】二、空间向量的直角坐标运算向量的模:若,则加法运算:若,则减法运算:若,则数乘运算:若,则数量积运算:若,则向量的夹角:若,则平行关系:若,若，则存在唯一的使得成立垂直关系:若,则【典型例题】考点一：空间向量的坐标运算例1.已知，则考点二：空间向量平行与垂直的条件例1（2015八一学校高二上学期期中理5）若且，则实数的值是（ ）ABCD 例2（2017海淀高二理期末12）在空间
15、直角坐标系中，已知，若，则实数的值为练1（五中高二上学期期中理10）向量,若与垂直，则实数_练2（2017-2018陕西西安碑林区西安交通大学附属中学11）空间向量，且则_考点三：空间向量坐标形式的夹角公式例1（2014魏善庄中学高二上学期期中理5）若向量，其中，夹角的余弦值是 ，则的值为( )A 2B C D 3 练1（2018-2019通州高二上期中04）已知空间三点，则 等于（）A BCD练2（2019-2020石景山高二上期末11）在空间直角坐标系中，已知，那么_【小试牛刀】1（2015西城重点校期中13）在空间直角坐标系中，点与点间的距离为_2（17师大附期中，7）点(2,0,3)在
16、空间直角坐标系中的A轴上B平面上C平面上D第一象限内3（18日坛中学期中，2）在空间直角坐标系中，点与两点的位置关系是A关于轴对称B关于平面对称C关于坐标原点对称D以上都不对【巩固练习】1（十八中高二上学期期中理3）已知点，点，则（ ）A5B12CD102（18一零一期末,8）已知的三个顶点,:(1)求中最短边的边长；(2)求边上中线的长度 【知识点二：空间向量在立体几何证明中的应用】用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量：（1）线面平行：（2）线面垂直：（3）面面平行：（4）面面垂直：【典型例题】例题1.（19年西城期末，4）平面经过三点，则平面的法向量可以是A.B.C.D.例题2.（18
17、十一学校期中，2）已知向量，且，那么等于A.B.C.D.4例题3.（17八一学校期中，5）若且，则实数的值是A.B.C.D.例题4.（18人大附入学测，6）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是A.B.C.D.例题5.（17四中期中，1）三角形的三个顶点的坐标,，则的形状为A.正三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形例题6.（18十一中学期末，17）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，点、分别为、的中点:（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离【小试牛刀】1.（17海淀期末，12）在空间直角坐标系中，已知点，若，则实数的值为_.2.（经典改编题）若，且，则A.B.C.D.3.（经典改编题）如图,在直棱柱中,.证明:.4.（17朝阳期中，19）如图,在四面体中,平面是的中点,是的中点,点在线段上,且证明:平面.【巩固练习】1.（18东城期末，6）空间向量，且.则_.2.（经典改编题）在空间直角坐标系中，已知，.若，则_.3.（经典改编题）如图,在四棱锥中,直线平面.求证:直线平面.【课后拾遗】知识总结易错点总结27
