1、秘密2023 年 3 月 16 日 16：00 前重庆市 2022-2023 学年（下）3 月月度质量检测高三数学高三数学【命题单位：重庆缙云教育联盟】注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关
2、系对学习数学十分重要 现有如下三个集合，A 钝角，B 第二象限角，C 小于 180的角，则下列说法正确的是（）AABBBCCABDBC2若虚数 z 使得 z2+z 是实数，则 z 满足（）A实部是12B实部是12C虚部是 0D虚部是123中国折扇有着深厚的文化底蕴.用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为r）分割出来的扇形，使扇形的面积1S与圆的面积的乘积等于剩余面积2S的平方.则扇形的圆心角为（）A51 2B52 C35 D51 44平面向量a与b相互垂直，已知6,8a，5b，且b与向量1,0的夹角是钝角，则b（）A3,4B4,3C
3、4,3D4,35已知点,a b的横纵坐标均是集合2,3,4,0,5,6N 中的元素，若点,a b在第二象限内的情况共有n2023.03种，则2nxx的展开式中的第 5 项为（）A3240 xB380 xC92192xD92400 x6设,x yxyxy x yxyxy，若正实数a b c d,满足：,a bc da cb db ca d 则下列选项一定正确的是（）AdbBbcCb caDd ca 7函数 sin2sin20e2xxfxx，设球 O 的半径为 cos4f xx，则（）A球 O 的表面积随 x 增大而增大B球 O 的体积随 x 增大而减小C球 O 的表面积最小值为24eD球 O 的
4、体积最大值为343e8设0.12e,2ln1.21ab,则（）A1.8,1.81,1.8,1.81abB1.8,1.81,1.8,1.81abC1.8,1.81,1.8,1.81abD1.8,1.81,1.8,1.81ab二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 2 分。9记无理数3.14159260288小数点后第a位上的数字是b，则b是a的函数，记作 bf a，定义域为A，值域为B，其下列说法正确的是（）A值域B是定义域A的子集B函数图像 f a是一群孤立的点C 62f
5、Da也是b的函数，记作 af b10 在平面直角坐标系 xOy 中，A 为坐标原点，2,0B，点列 P 在圆2221639xy上，若对于*n N，存在数列 na，16a，使得142221nnPB anPA an，则下列说法正确的是（）A na为公差为 2 的等差数列B na为公比为 2 的等比数列C202320234047 2aD na前 n 项和1221 2nnSn11如图，圆柱OO的底面半径为 1，高为 2，矩形ABCD是其轴截面，过点 A 的平面与圆柱底面所成的锐二面角为，平面截圆柱侧面所得的曲线为椭圆，截母线EF得点P，则（）A椭圆的短轴长为 2Btan的最大值为 2C椭圆的离心率的最
6、大值为22D1costanEPAOE12已知函数 3f xx，则下列结论正确的有（）A若x为锐角，则sincos1fxfxB202220232022 20232023 2022ffC方程212fxfx有且只有一个根1x D方程 sinf xx的解都在区间1,1内三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13e 作为数学常数，它的一个定义是1elim 1xxx，其数值约为：2.7182818284，梓轩在设置手机的数字密码时，打算将 e 的前 5 位数字：2，7，1，8，2 进行某种排列得到密码，如果要求两个 2 不相邻，那么梓轩可以设置的不同密码有_种（以数字作答）14世界锦
7、标赛简称1F，是方程式汽车赛中最高级别.所谓“方程式”赛车是按照国际汽车联合会（1F A）规定的标准制造的赛车，目前西南交通大学实验室制造了一种新的方程式赛车，已知这种赛车的位移和时间的关系满足321()91056S tttt，则4t 时赛车的瞬时速度是_（米/秒）.15 已知正方形ABCD的边长为2 2，两个不同的点 M，N 都在BD的同侧（但 M 和 N 与 A 在BD的异侧），点 M，N 关于直线AC对称，若AMCN，则点M到直线AD的距离的取值范围是_.16 定义两个点集 S、T 之间的距离集为,d S TPQ PS QT，其中PQ表示两点 P、Q 之间的距离，已知 k、Rt，,RSx
8、 yykxt x，2,41,RTx yyxx，若,1,d S T，则 t 的值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17篮球诞生美国马萨诸塞州的春田学院1891 年，春田学院的体育教师加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（James Naismith）为了对付冬季寒冷的气温，让学生们能够在室内有限的空间里继续进行有趣的传球训练现有甲、乙、丙 3 名同学在某次传球的训练中，球从甲开始，等可能地随机传向另外 2 人中的 1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外 2 人中的 1 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住记第 n 次传球之前球在甲手里的概
9、率为 pn，第 n 次传球之前球在乙手里的概率为 qn，显然 p1=1，q1=0(1)求 p32q3的值；(2)比较 p8，q8的大小18悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为ee2xxcccy，其中c为参数.当1c 时，该方程就是双曲余弦函数 eecosh2xxx，类似的我们有双曲正弦函数 eesinh2xxx.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数 cosh 2sinhyxx的最小值；22coshsinh1xx；sinh 22sinhcoshxxx；22cosh 2coshsinhxxx.(2)求证：,4x ，c
10、osh cossinh sinxx.19数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为 2017-2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中 2017 年-2021 年对应的代码依次为 1-5.年份代码 x12345市场规模 y3.984.565.045.866.36(1)由上表数据可知，可用函数模型yb xa拟合 y 与 x 的关系，请建立 y 关于 x 的回归方程（a，b的值精确到 0.01）；(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为 4：1，按照分层抽样从这两类用户中抽取 5 人，再从这 5 人中
11、随机抽取 2 人，求这 2 人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率.参考数据：5.16y，1.68v，5145.10iiiv y，其中iivx.参考公式：对于一组数据11,v y，22,vy，,nnvy，其回归直线ybva的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221niiiniiv ynv ybvnv，aybv.20如图，边长是 6 的等边三角形ABC和矩形BCDE.现以BC为轴将面ABC进行旋转，使之形成四棱锥1ABCDE，O是等边三角形ABC的中心，M，N分别是BC，DE的中点，且12ABON，/OF面BCDE，交1AC于F.(1)求证OF 面1AMN(2)求DF和面1AMN所成角的正弦
12、值.21已知点,02pF到直线1:34110lxy的距离等于85，其中010p设平面内与点 F 和直线2:2plx 距离相等的点的轨迹为 C(1)求 C 的方程；(2)设1l与 C 在第一象限的交点为 A，2l与 x 轴的交点为 B，求ABF的面积22俄国数学家切比雪夫（.，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合I上的函数 fx，以及函数,Rg xkxb k b，切比雪夫将函数 yfxg x，xI的最大值称为函数 fx与 g x的“偏差”.(1)若 20,1fxxx，1g xx ，求函数 fx与 g x的“偏差”；(2)若 21,1fxxx，g xxb，求实数b，使
13、得函数 fx与 g x的“偏差”取得最小值.秘密2023 年 3 月 16 日 16：00 前重庆市 2022-2023 学年（下）3 月月度质量检测高三数学答案及评分标准高三数学答案及评分标准【命题单位：重庆缙云教育联盟】1C2A3C4D5A6D7D【详解】令sin2,(0,)2tx x，则(0,1)t，故函数(),(0,1)ettg tt，1()0ettg t，即(),(0,1)ettg tt为单调增函数，而sin2,(0,)2tx x在(0,)4上递增，在(,)4 2上递减，故 sin2sin20e2xxfxx在(0,)4上递增，在(,)4 2上递减，又cos()4yx在(0,)4上递增
14、，在(,)4 2上递减，且 sin2sin20e2xxfxx是正值，cos()4yx02x也是正值，故 cos4yfxx在(0,)4上递增，在(,)4 2上递减，即球 O 的半径 cos4f xx在(0,)4上递增，在(,)4 2上递减，故 A，B 错误；由以上分析可知当4x 时，球 O 的半径 cos4f xx取到最大值为sin2sin12cos0ee，故球 O 的表面积最大值为22144ee，无最小值，故 C 错误；同时球 O 的体积最大值为334143e3e，故 D 正确；故选：D8 D【详解】解:由题因为1.8220.1,不妨设 e1xfxx,当0 x 时,e10 xfx,所以 fx单
15、调递减,当0 x 时,e10 xfx,fx单调递增,所以 00fxf,所以 0.10.1e10.100ff ,即0.1e10.10.9,故0.12e1.8;因为 0.10.10.1e0.1 1e1.100ff,即0.1e1.1,两边同时取对数有0.1ln1.1,即20.12ln1.1,即0.2ln1.21,所以2ln1.21 1.8;因为21.81 1(1 0.1),不妨设 22e1(1)xg xx,则 2e222200 xg xxf xf,所以 g x单调递增,所以 0.120.12e1(10.1)00gg,故0.12e1.81;因为21.81 1(1 0.1),不妨设 221(1)22ln
16、 122ln 1h xxxxxx,则 2201xh xx,所以 h x单调递增,所以 0.11.8122ln1.100hh,故1.812ln1.21.综上,1.8,1.81,1.8,1.81ab.故选:D2023.039BC10CD11ACD【详解】椭圆在底面上的投影为底面圆O，所以短轴长为底面圆直径，即为 2，故 A 正确；当平面过 AC 时，tan的最大值为tan1CAB，故 B 错误；椭圆短轴长为定值 2，所以长轴长最长为AC时，离心率最大为22，故 C 正确；过E作椭圆所在平面和底面的交线垂线，垂足为G，连接 AE，设则AOE，由题意可得AOAG，由余弦定理可得222cos22cosA
17、EAOOEAO OE，由2222GAEOAE，则21 cossinsin22cossin22cos1 cos222EGAEGAEAE，由题意可得,PGEPEGE，所以1costanEPAOE，故 D 正确.故选:ACD.12BCD【详解】对 A：若x为锐角，则sin,cos0,1xx，可得3232sinsin,coscosxxxx，故3322sincossincossincos1fxfxxxxx，A 错误；对 B：当1x 时1131111311222222222211111110fxfxx xxxxxx xxxxx，故11112222111fxfxx xxx，即202220232022 202
18、32023 2022ff，B 正确；对 C：212fxfx，且 3f xx在R上单调递增，212xx，解得1x，C 正确；对 D：构建 sing xf xx，则 g x在R上连续不断，则有：当1x 时，则 31,sin1f xxx，故 sin1 10g xf xx ，可得 g x在1,内无零点；当1x 时，则 31,sin1f xxx ，故 sin1 10g xf xx ，可得 g x在,1 内无零点；当11x 时，则 11sin11sin10,11sin10gg ，故 g x在区间1,1内存在零点；综上所述：g x只在区间1,1内存在零点，即方程 sinf xx的解都在区间1,1内，D 正确
19、.故选：BCD.13361490152,16517(1)第 3 次传球之前，球在甲手中的情形何分为：甲乙甲或甲丙甲，所以32142p，第 3 次传球之前，球在乙手里的情形仅有：甲丙乙，所以314q，所以3321pq.(2)由题意知1111(1)2211(1)22nnnnnnnnpqpqqppq，整理得：1111221122nnnnppqq所以1111323nnpp，11233p，所以13np成首项为23，公比为12的等比数列，又11121121332332nnnnpp ，同理13nq成首项为13，公比为12的等比数列，所以11111111332332nnnnqq 。因为78121332p，78
20、111332q，813p，813q，所以88pq18(1)证明：选，22222222c1eee2oshsinehee2ee2244xxxxxxxxxx；选，22eeeeeesinh 222sinhcosh22 2xxxxxxxxx；选，222222eeeeeecosh 2coshsinh222xxxxxxxxx.22eeeecosh 2sinh22xxxxyxx，令 eesinh2xxtx，因为函数e2xy、e2xy 均为R上的增函数，故函数 sinhyx也为R上的增函数，故 eesinhR2xxtx，则222ee24xxt，所以2cosh 221xt，所以22177212488yttt ，当
21、且仅当14t 时取“”，所以 cosh 2sinhyxx的最小值为78.(2)证明：,4x ，coscossinsineeeecosh cossinh sin22xxxxxxcoscossinsineeeexxxx，当,0 x 时，coscosee0 xx，sin0sinxx，所以sinsineexx，所以sinsinee0 xx，所以coscossinsineeeexxxx成立；当0,4x时，则022xx，且正弦函数sinyx在0,2上为增函数，cossinsin2xxx，所以cossineexx，sincose0exx，所以coscossinsineeeexxxx成立，综上，,4x ，co
22、sh cossinh sinxx.19(1)设vx，则yb va ，5.16y，1.68v，5521115iiiivx，所以5152221545.105 1.68 5.161.7561.98155 1.680.8885iiiiiv yv ybvv ，5.16 1.98 1.681.83aybv.所以y关于x的回归方程为1.981.83yx.(2)因为中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为 4：1，按照分层抽样从这两类用户中抽取 5 人，则选择在品牌官方直播间购物的用户为4人，记作1,2,3,4，不在品牌官方直播间购物的用户为1人，记作5，从这5人随机抽
23、取2人，结果有：1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，共10种，其中2人全是选择在品牌官方直播间购物用户的结果为：1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，共6种，所以这 2 人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率为63105.20（1）因为/OF面BCDE，面BCDE面1ABCBC，OF 面1ABC，所以/OFBC，因为M是BC的中点，ABC是等边三角形，所以1AMBC，因为在矩形BCDE中，M，N分别是BC，DE的中点，所以/MNCD，又BCCD，所以MNBC，又1MNAMM，1,MN AM 面1AMN，所以BC面1AMN，因为/OFBC，
24、所以OF 面1AMN.（2）在线段ND上取点G使得2DG，连接,GO ON，因为O是等边三角形ABC的中心，/OFBC，所以:2:3OF CM，因为132CMBC，所以2OF，所以DGOF，因为/OFBC，/DGBC，所以/DGOF，所以四边形DFOG为平行四边形，所以/DFOG，所以DF和面1AMN所成角等于OG和面1AMN所成角，由（1）得OF 面1AMN，又/DGOF，所以DG 面1AMN，即GN 面1AMN，所以OG和面1AMN的所成角为GON，即sinGON为所求，在Rt GON中，111,32NGDNDGONAB，则1tan3NGGONON，因为02GON，所以sin0GON，联立
25、22sin1tancos3sincos1GONGONGONGONGON，解得10sin10GON，所以DF和面1AMN所成角的正弦值为1010.21（1）因为点,02pF到直线1:34110lxy的距离为85，则有2231182534p，而010p，解得2p，又曲线 C 是平面内到直线2:1lx 与点1,0F的距离相等的点的轨迹，所以轨迹 C 为抛物线，方程为24yx（2）由2341104xyyx消去x并整理得：2316440yy，又点A在第一象限，于是得点A的纵坐标2Ay，而直线2:1lx 交 x 轴于点(1,0)B，则2BF，所以ABF的面积1|22ASBFy.22（1）2213124yf
26、xg xxxx，0,1x，因为0,1x，所以11 3,22 2x，则2131,324yx，故函数 fx与 g x的“偏差”为 3；（2）令 221124t xf xg xxxbxb，1,1x，21124h xt xxb，1,1x，因为1,1x，13 1,22 2x，2190,24x，当104b，即14b 时，此时211024xb，则 21124h xxb的“偏差”为2b，由于924b；当104b，即14b 时，此时211024xb，则 21124h xxb的“偏差”为2b，由于924b；当104b，120tb，且124bb，即1748b时，则 21124h xxb的“偏差”为2b，由于99284b；当104b，120tb，且124bb，即78b 时，则 21124h xxb的“偏差”为14b，由于1948b；当104b，120tb，且124bb，即78b 时，则 21124h xxb的“偏差”为14b，由于1948b；当104b，120tb，即2b时，则 21124h xxb的“偏差”为14b，由于1944b；当104b，120tb，即2b 时，则 21124h xxb的“偏差”为14b，由于1944b；综上，b 78时，满足要求.
