1、 中考数学（北京专用）7.5几何压轴综合题1.(2020北京,27,7分)在ABC中,C=90,ACBC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作DFDE,交直线BC于点F,连接EF.(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示);(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.解析解析(1)D,E分别是AB,AC的中点,DEBC,DEDF,EDF=90,DFB=90.C=90,DFAC.BD=DA,=1.BF=FC,AE=a,BF=b,在RtECF中,EF=.(2分)(2
2、)依题意补全图形,如图.BFFCBDDA22CECF22AEBF22ab线段AE,EF,BF之间的数量关系:AE2+BF2=EF2.证明:延长ED至点G,使得DG=DE,连接BG,FG.DEDF,FE=FG.D为AB的中点,AD=BD,ADE=BDG,ADE BDG,AED=BGD,AE=BG.CEBG,GBF=ACB=90.在RtGBF中,BG2+BF2=GF2,AE2+BF2=EF2.(7分)一题多解一题多解(2)过点D作BC的垂线,垂足为H,可知H为BC的中点,过点D作AC的垂线,垂足为G,可知G为AC的中点,可得EF2=DE2+DF2=DG2+EG2+DH2+FH2=+=BC2+AC2
3、+AEAC-BFBC+AE2+BF2,EF2=EC2+CF2=(AE+AC)2+(BF-BC)2=AC2+2AEAC+BC2-2BFBC+AE2+BF2,2-可得EF2=AE2+BF2.212BC212AEAC212AC212BFBC12122.(2020北京西城一模,27)如图,在等腰直角ABC中,ACB=90.点P在线段BC上,延长BC至点Q,使得CQ=CP,连接AP,AQ.过点B作BDAQ于点D,交AP于点E,交AC于点F.K是线段AD上的一个动点(与点A,D不重合),过点K作GNAP于点H,交AB于点G,交AC于点M,交FD的延长线于点N.(1)依题意补全图1;(2)求证:NM=NF;
4、(3)若AM=CP,用等式表示线段AE,GN与BN之间的数量关系,并证明.解析解析(1)补全图形,如图1.(2)证明:CQ=CP,ACB=90,AP=AQ.APQ=Q.BDAQ,QBD+Q=QBD+BFC=90.Q=BFC.图1图2MFN=BFC,MFN=Q.同理,NMF=APQ.MFN=FMN.NM=NF.(3)BN=AE+GN.证明:连接CE,如图2.由(1)可得PAC=FBC,ACB=90,AC=BC,APC BFC.CP=CF.AM=CP,AM=CF.CAB=CBA=45.EAB=EBA.AE=BE.又AC=BC,CE所在直线是AB的垂直平分线.ECB=ECA=45.GAM=ECF=4
5、5.由(1)可得AMG=CFE,AGM CEF.GM=EF.BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN.BN=AE+GN.解题关键解题关键第(3)问的关键是根据等腰三角形的条件,发现相等的边与角,能够根据两组相等的线段AC=BC,AE=BE得到线段的垂直平分线的结论,进而找到与AGM全等的三角形CEF.3.(2020北京西城二模,27)在正方形ABCD中,E是CD边上一点(CEDE),AE,BD交于点F.(1)如图1,过点F作GHAE,分别交边AD,BC于点G,H.求证:EAB=GHC;(2)AE的垂直平分线分别与AD,AE,BD交于点P,M,N,连接CN.依题意补全图形;用等式表示线段AE与C
6、N之间的数量关系,并证明.解析解析(1)证明:在正方形ABCD中,ADBC,BAD=90,AGH=GHC.GHAE,EAB=AGH.EAB=GHC.(2)补全图形,如图所示.AE=CN.证明:连接AN,连接EN并延长,交AB边于点Q.2四边形ABCD是正方形,点A,点C关于直线BD对称.NA=NC,1=2.PN垂直平分AE,NA=NE.NC=NE.3=4.在正方形ABCD中,BACE,BCD=90,AQE=4.1+AQE=2+3=90.ANE=ANQ=90.在RtANE中,AE=NE,故AE=CN.224.(2020北京海淀一模,27)已知MON=,A为射线OM上一定点,OA=5,B为射线ON
7、上一动点,连接AB,满足OAB,OBA均为锐角.点C在线段OB上(与点O,B不重合),满足AC=AB,点C关于直线OM的对称点为D,连接AD,OD.(1)依题意补全图1;(2)求BAD的度数(用含的代数式表示);(3)若tan=,点P在OA的延长线上,满足AP=OC,连接BP,写出一个AB的值,使得BPOD,并证明.34解析解析(1)补全图形如图1所示.(2)AB=AC,1=2.点C,D关于直线OM对称,A在OM上,AC=AD,OC=OD.OA=OA,ACO ADO,3=D,4=AOC.1+3=180,2+D=180.图1图2BAD+DOB=180,AOC=4=,BAD=180-2a.(3)如
8、图2中,不妨设ODPB.作AHBC于H,BJOA于J.在RtAOH中,OA=5,tanAOH=,AH=3,OH=4,设CH=BH=x,则BC=2x,34ODBP,DOA=OPB,DOA=AOB,AOB=OPB,PB=OB=4+x,BJOP,OP=OA+AP=5+4-x=9-x,OJ=JP=(9-x),cosAOH=,=,解得x=1,BH=1,AB=.证明如下:过点A作AHON于H.12OHOAOJOB451(9)24xx22AHBH223110tanAOH=tan=,=,RtAOH中,AO=5,AH2+OH2=AO2,AH=3,OH=4.AB=,BH=1.OB=OH+BH=5,OA=OB.BA
9、O=ABO.AB=AC,ACB=ABO.BAO=ACB.BAP+OAB=180,ACO+ACB=180,BAP=ACO.AC=AB,AP=OC,APB COA.APB=AOB.34AHOH341022ABAH点C,D关于直线OM对称,AOB=AOD,APB=AOD,PBOD.思路分析思路分析本题第(3)问需要先假设PBOD,求出AB的值再证明.5.(2020北京通州一模,27)已知线段AB,过点A的射线lAB.在射线l上截取线段AC=AB,连接BC,点M为BC的中点,点P为AB边上一动点,点N为线段BM上一动点,以点P为旋转中心,将BPN逆时针旋转90得到DPE,B的对应点为D,N的对应点为E
10、.(1)当点N与点M重合,且点P不是AB中点时,据题意在图中补全图形;证明:以A,M,E,D为顶点的四边形是矩形.(2)连接EM.若AB=4,从下列3个条件中选择1个:BP=1,PN=1,BN=,当条件 (填入序号)满足时,一定有EM=EA,并证明这个结论.2解析(1)补全的图形如图所示.证明:如图,连接AE,AM.由题意可知:D在BC上,ABC是等腰直角三角形,AMBC,AM=BC.DPE BPN,12DE=BN=BC,EDP=PBD.EDB=EDP+PDB=PBD+PDB=90,EDBC,DEAM,且ED=AM.四边形AMDE是平行四边形.又AMBC,四边形AMDE是矩形.(4分)(2)当
11、条件BN=满足时,一定有EM=EA.(5分)证明:与(1)同理,此时仍有DPE BPN,DE=BN=,DEBC.取AM的中点F,连接FE.由AB=4,易得AM=2,FM=.EDFM,且ED=FM,122222四边形FMDE是平行四边形.又FMBC,四边形FMDE是矩形.FEAM且FA=FM=.EA=EM.(7分)26.(2020北京石景山一模,27)如图,点E是正方形ABCD内一动点,满足AEB=90且BAE45,过点D作DFBE交BE的延长线于点F.(1)依题意补全图形;(2)用等式表示线段EF,DF,BE之间的数量关系,并证明;(3)连接CE,若AB=2,请直接写出线段CE长度的最小值.5
12、解析解析(1)依题意补全图形,如图1.(1分)(2)线段EF,DF,BE之间的数量关系为EF=DF+BE.(2分)证明:过点A作AMFD交FD的延长线于点M,如图2.(3分)图1图2AEF=F=M=90,四边形AEFM是矩形.3+2=90.四边形ABCD是正方形,1+2=90,AB=AD,1=3.又AEB=M=90,AEB AMD.BE=DM,AE=AM.矩形AEFM是正方形.EF=MF.MF=DF+DM,EF=DF+BE.(5分)(3)如图3,取AB的中点O,连接OC,图3AB=2,OB=,OC=5,AEB=90,点E在以O为圆心,OB为半径的圆上,当点E在OC上时,CE有最小值,CE的最小
13、值为5-.(7分)5522OBBC5205解题关键解题关键解决本题第(3)问的关键是通过90角发现点E是在以AB的中点O为圆心,OB为半径的圆上,进而借助圆的有关知识解决.7.(2020北京朝阳二模,27)已知AOB=40,M为射线OB上一定点,OM=1,P为射线OA上一动点(不与点O重合),OP1,连接PM,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转40,得到线段PN,连接MN.(1)依题意补全图1;(2)求证:APN=OMP;(3)H为射线OA上一点,连接NH.写出一个OH的值,使得对于任意的点P总有OHN为定值,并求出此定值.解析解析(1)补全图形,如图所示.(2)证明:根据题意可知,MPN=A
14、OB=40,MPA=AOB+OMP=MPN+APN,APN=OMP.(3)OH的值为1.在射线PA上取一点G,使得PG=OM,连接GN.根据题意可知,MP=NP,由(1)知APN=OMP,OMP GPN.OP=GN,AOB=NGP=40.PG=OH=1.OP=HG.NG=HG.NHG=70.OHN=110.8.(2020北京平谷一模,27)ABC中,AB=BC,ABC=90,将线段AB绕点A逆时针旋转(00),则CM=3-x,EF=BM=,AE=AD=3,AF=AM=,AFAE,当AEF为等腰三角形时,只能有两种情况:AE=EF,或AF=EF,当AE=EF时,有=3,解得x=3,tanDAM=
15、1;当AF=EF时,有=,解得x=,tanDAM=.综上,tanDAM的值为1或.(7分)22CMBC2618xx22DMAD29x 2618xxDMDA332618xx29x 32DMDA3231212解题关键解题关键解决本题的关键是熟练掌握正方形的性质,轴对称的性质,全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质,勾股定理等,同时要关注分类思想和方程思想的使用.10.(2020北京朝阳一模,27)四边形ABCD是正方形,将线段CD绕点C逆时针旋转2(045),得到线段CE,连接DE,过点B作BFDE交DE的延长线于F,连接BE.(1)依题意补全图1;(2)直接写出FBE的度数;(3)连接AF,用
16、等式表示线段AF与DE的数量关系,并证明.解析解析(1)补全图形,如图所示.FBE=45.(2)DE=AF.证明:如图,作AHAF,交BF的延长线于点H,设DF与AB交于点G,2根据题意可知,CD=CE,ECD=2,ABC=BCD=CDA=DAB=90.EDC=90-,CB=CE,BCE=90-2.CBE=45+,ADF=.ABE=45-.BFDE,BFD=90.AGD=FGB,FBG=ADF=.FBE=FEB=45.FB=FE.AHAF,BAD=90,HAB=FAD.HAB FAD.HB=FD,AH=AF.HF=DE,H=45.HF=AF.DE=AF.22思路分析思路分析本题第(3)问需要构
17、造一个全等三角形,将不在同一个三角形中的线段转化到同一个三角形中去解决.解题关键解题关键求线段之间的关系时经常利用全等、旋转、轴对称等变换,将不在同一个三角形的线段转化到同一个三角形中,然后找出关系.11.(2020北京密云一模,27)已知MCN=45,点B在射线CM上,点A是射线CN上的一个动点(不与点C重合).点B关于CN的对称点为点D,连接AB、AD和CD,点F在直线BC上,且满足AF=AB.小明在探究图形运动的过程中发现:AFAD始终成立.(1)如图1,当0BAC90时.求证:AFAD;用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系,并证明;(2)当90BAC135时,直接用等式表示线段
18、CF、CD与CA之间的数量关系是 .解析解析(1)点B关于CN的对称点为点D,ABC ADC,ABC=ADC,ACB=ACD=45,BCD=90,AF=AB,ABC=AFB.AFB=ADC,AFB+AFC=180,ADC+AFC=180.在四边形AFCD中,FAD=90,FAD=90,AFAD,CD+CF=AC.证明:过点A作AC边的垂线交CB延长线于点P,APC是等腰直角三角形,PAC=90,AP=AC,PAF+FAC=DAC+FAC=90,2PAF=DAC,AFB=ADC,APF ACD,PF=CD,在等腰RtAPC中,PF+CF=AC,CD+CF=AC.(2)CD-CF=AC.过点A作A
19、C边的垂线交CD于点P,222ACP=45,CAP=90,APC=45,APC=ACP,AP=AC.CAP=FAD=90,CAF=PAD,DPA=ACF=135,APD ACF,DP=CF,在RtACP中,ACP=45,CP=AP,CD-DP=CP=AC.即CD-CF=AC.222解题关键解题关键当90BAC135时,就是点A位于过点B向AC作垂直得到的垂足与点C之间的任意一点,由于AB=AF,则ABF=AFB45,所以点F在BC的延长线上,通过将三角形ACF绕着点A逆时针旋转90,将CD,CF转换到同一条直线上,CF旋转后与AC同在等腰直角三角形上,能够比较明显地找到边与边的关系.12.(2
20、020北京丰台二模,27)如图,在RtABC中,ABC=90,将CA绕点C顺时针旋转45得到CP,点A关于直线CP的对称点为D,连接AD交直线CP于点E,连接CD.(1)根据题意补全图形;(2)判断ACD的形状并证明;(3)连接BE,用等式表示线段AB,BC,BE之间的数量关系,并证明.温馨提示:在解决第(3)问的过程中,如果你遇到困难,可以参考下面几种解法的主要思路.解法1的主要思路:延长BC至点F,使CF=AB,连接EF,可证ABE CFE,再证BEF是等腰直角三角形.解法2的主要思路:过点A作AMBE于点M,可证ABM是等腰直角三角形,再证ABCAME.解法3的主要思路:过点A作AMBE
21、于点M,过点C作CNBE于点N,设BN=a,EN=b,用含a或b的式子表示出AB,BC.解析解析(1)补全图形如图.(2分)(2)ACD是等腰直角三角形.(3分)证明:将CA绕点C顺时针旋转45,ACP=45.点D与A关于直线CP对称,DCP=ACP=45,AC=CD.ACD=90.ACD是等腰直角三角形.(4分)(3)AB+BC=BE.(5分)解法1证明:延长BC至点F,使CF=AB,连接DF,EF.ACD是等腰直角三角形,AE=DE,AE=CE,AEC=90.ABC=90,BAE+BCE=180.FCE+BCE=180,BAE=FCE.ABE CFE.(6分)2BE=FE,1=2.2+3=
22、1+3=90.即BEF=90.BEF是等腰直角三角形.(7分)BC+CF=BE.即AB+BC=BE.(8分)解法2证明:过点A作AMBE于点M,取AC中点G,连接GB,GE.设GBE=,ABG=,ABC=AEC=90,22AG=BG=EG=AC.ABG=BAC=,GBE=GEB=.在BGE中,GBE+BGE+BEG=180,2+2+90=180.+=45.即ABE=45.(6分)(或根据圆的定义判断A,B,C,E在以点G为圆心的圆上,根据同弧CE所对圆周角相等,证明ABE=45)AMB=90,BAM=CAE=45.BAC=MAE.ABC=AME=90,ABCAME.(7分)=.BC=ME,又A
23、B=BM.12ABAMBCMEACAE222AB+BC=(BM+ME)=BE.(8分)解法3证明:过点A作AMBE于点M,过C作CNBE于点N,AME=CNE=90,即MAE+AEM=90.MEC+AEM=90,MAE=MEC.AE=CE,AME ENC.(6分)AM=EN.同解法2,可证ABM=CBM=45.(7分)22设BN=a,EN=b,BC=a,AB=b.AB+BC=(BN+EN)=BE.(8分)(说明:三条线段数量关系写为(AB+BC)2=2BE2等其他等式,如果正确也给分)222213.(2020北京平谷二模,27)如图,在ABM中,ABC=90,延长BM使BC=BA,线段CM绕点
24、C顺时针旋转90得到线段CD,连接DM,AD.(1)依据题意补全图形;(2)当BAM=15时,AMD的度数是 ;(3)小聪通过画图、测量发现,当AMB是一定度数时,AM=MD.小聪把这个猜想和同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:通过观察图形可以发现,如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE,就易证ABM AED,因此易得当AMB是特殊值时,AM=MD,问题得证;想法2:要证AM=MD,通过第(2)问,可知只需要证明AMD是等边三角形,通过构造平行四边形CDAF,易证AD=CF,通过ABM CBF,易证AM=CF,从而解决问题;想法3:通过BC=BA,ABC=90,连接
25、AC,易证ACM ACD,易得AMD是等腰三角形,因此当AMD是特殊值时,AM=MD,问题得证.请你参考上面的想法,帮助小聪证明当AMB是一定度数时,AM=MD.(一种方法即可)解析解析(1)补全图形如图.(2)60.(3)当AMB=75时结论成立.证明:想法1:过A作AECD交CD的延长线于E.B=C=E=90,AB=BC,四边形ABCE是正方形.AB=AE,B=E,BC=CE.MC=DC,BM=DE.ABM AED.AM=AD.AMB=75,CMD=45,AMD=60,AMD是等边三角形.AM=DM.14.(2016北京,28,7分)在等边ABC中.(1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP
26、=AQ,BAP=20,求AQB的度数;(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.依题意将图2补全;小茹通过观察、实验,提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:要证PA=PM,只需证APM是等边三角形.想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证ANP PCM.想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK.请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=P
27、M.(一种方法即可)解析解析(1)ABC为等边三角形,B=60.APC=BAP+B=80.AP=AQ,AQB=APC=80.(2)补全的图形如图所示.想法1:证明:过点A作AHBC于点H,如图.由ABC为等边三角形,AP=AQ,可得PAB=QAC.点Q,M关于直线AC对称,QAC=MAC,AQ=AM.PAB=MAC,AM=AP.PAM=BAC=60.APM为等边三角形.PA=PM.想法2:证明:在BA上取一点N,使BN=BP,连接PN,CM,如图.由ABC为等边三角形,可得BNP为等边三角形.AN=PC,ANP=120.由AP=AQ,可得APB=AQC.又B=ACB=60,ABP ACQ.BP
28、=CQ.点Q,M关于直线AC对称,ACM=ACQ=60,CM=CQ.NP=BP=CQ=CM.PCM=ACM+ACQ=120,ANP PCM.PA=PM.想法3:证明:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到BK,连接KP,CK,MC,如图.BPK为等边三角形.KB=BP=PK,KPB=KBP=60.KPC=120.由ABC为等边三角形,可得ABP CBK.AP=CK.由AP=AQ,可得APB=AQC.AB=AC,ABC=ACB=60,ABP ACQ.BP=CQ.点Q,M关于直线AC对称,BCM=2ACQ=120,CQ=CM=PK.MCPK.四边形PKCM为平行四边形.CK=PM,PA=PM.思路分
29、析思路分析(1)由等边对等角知求AQB的度数,即求APC的度数,根据三角形外角的性质求APC的度数.(2)需要准确画出图形;三种想法都是正确的,借助等边三角形的性质和判定进行证明.解题关键解题关键解决本题的关键是要熟练应用相关几何知识,另外,要理解题目给出的三种想法,无论是平移、旋转还是轴对称,都是全等变换,从三种全等变换的角度都可以解决.15.(2019北京西城一模,27)如图,在ABC中,ABC=90,BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90得到线段AD,E是边BC上的一动点,连接DE交AC于点F,连接BF.(1)求证:FB=FD;(2)点H在边BC上,且BH=CE,连接AH交BF于点N
30、.判断AH与BF的位置关系,并证明你的结论;连接CN.若AB=2,请直接写出线段CN长度的最小值.解析解析(1)证明:ABC=90,BA=BC,BAC=ACB=45.AB绕点A逆时针旋转90得到AD,BAD=90,AB=AD.DAF=BAD-BAC=45.BAF=DAF.(1分)AF=AF,BAF DAF.FB=FD.(2分)(2)AH与BF的位置关系:AHBF.(3分)证明:连接DC,如图.ABC+BAD=180,ADBC.AB=BC=AD,四边形ABCD是菱形.ABC=90,四边形ABCD是正方形.AB=DC,ADC=DCB=90.ABH=DCE.BH=CE,ABH DCE.BAH=CDE
31、.BAF DAF,ABF=ADF.BAH+ABF=CDE+ADF=ADC=90.ANB=180-(BAH+ABF)=90.AHBF.(5分)-1.(7分)(提示:如图,在点E的运动过程中,ANB始终保持90,所以点N始终在以AB中点为圆心O,AB为直径的圆上,最短距离为OC的长减去O的半径长,为-1.)55解题关键解题关键解决本题最后一问的关键是发现AHBF可转化为点N在以AB为直径的圆上,那么CN长度的最小值就为线段OC的长减去半径的长.16.(2019北京西城二模,27)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点,点F在边BC的延长线上,且CF=AE,连接DE,DF,EF.FH平分EF
32、B交BD于点H.(1)求证:DEDF;(2)求证:DH=DF;(3)过点H作HMEF于点M,用等式表示线段AB,HM与EF之间的数量关系,并证明.解析解析(1)证明:四边形ABCD是正方形,AD=CD,EAD=BCD=ADC=90,EAD=FCD=90.CF=AE,AED CFD.(1分)ADE=CDF.EDF=EDC+CDF=EDC+ADE=ADC=90,DEDF.(2分)(2)证明:AED CFD,DE=DF.EDF=90,DEF=DFE=45.ABC=90,BD平分ABC,DBF=45.FH平分EFB,EFH=BFH,DHF=DBF+BFH=45+BFH,DFH=DFE+EFH=45+E
33、FH,DHF=DFH,DH=DF.(4分)(3)EF=2AB-2HM.(5分)证明:过点H作HNBC于点N,如图.正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90,BD=AB.FH平分EFB,HMEF,HNBC,HM=HN.HBN=45,HNB=90,BH=HN=HM.DH=BD-BH=AB-HM.EF=DF=DH,EF=2AB-2HM.(7分)22ABAD2sin45HN2222cos45DF2217.(2019北京石景山一模,27)如图,在等边ABC中,D为边AC的延长线上一点(CDAC),平移线段BC,使点C移动到点D,得到线段ED,M为ED的中点,过点M作ED的垂线,交BC于点F,交AC于点
34、G.(1)依题意补全图形;(2)求证:AG=CD;(3)连接DF并延长交AB于点H,用等式表示线段AH与CG的数量关系,并证明.解析解析(1)补全的图形如图所示.(1分)(2)证明:ABC是等边三角形,AB=BC=CA,ABC=BCA=CAB=60.由平移可知EDBC,ED=BC.(2分)ADE=ACB=60.GMD=90,DG=2DM=DE.(3分)DE=BC=AC,DG=AC.AG=CD.(4分)(3)线段AH与CG的数量关系为AH=CG.(5分)证明:如图,连接BE,EF.ED=BC,EDBC,四边形BEDC是平行四边形.BE=CD,CBE=ADE=ABC.GM垂直平分ED,EF=DF.
35、DEF=EDF.EDBC,BFE=DEF,BFH=EDF.BFE=BFH.BF=BF,BEF BHF.(6分)BE=BH=CD=AG.AB=AC,AH=CG.(7分)解题关键解题关键解决(3)的关键是通过连接BE借助平行四边形的性质,同时由连接EF发现BEF BHF,进而寻找线段相等的关系.18.(2019北京东城一模,27)如图,在正方形ABCD中,E是边BC上一动点(不与点B,C重合),连接DE,点C关于直线DE的对称点为C,连接AC并延长交直线DE于点P,F是AC中点,连接DF.(1)求FDP的度数;(2)连接BP,请用等式表示AP,BP,DP三条线段之间的数量关系,并证明;(3)连接A
36、C,若正方形的边长为,请直接写出ACC的面积最大值.2解析解析(1)由对称可知CD=CD,CDE=CDE.在正方形ABCD中,AD=CD,ADC=90,AD=CD.又F为AC中点,DFAC,ADF=CDF.(1分)FDP=FDC+EDC=ADC=45.(2分)(2)结论:BP+DP=AP.(3分)如图,作APAP交PD延长线于点P,PAP=90.122在正方形ABCD中,DA=BA,BAD=90,DAP=BAP.由(1)可知APD=45,P=45.AP=AP.(4分)在BAP和DAP中,BADABAPDAPAPAP BAP DAP(SAS),(5分)BP=DP.DP+BP=PP=AP.(3)-
37、1.(7分)提示:当C在对角线BD上时ACC的面积最大,设对角线AC,BD交于点O,则此时ACC的面积为ACCO=2(-1)=-1.22121222解题关键解题关键解决本题(2)的关键是借助全等,将条件集中;解决(3)的关键是发现C在DB上时与AC的距离最大.19.(2019北京通州一模,27)如图,在等边ABC中,点D是线段BC上一点.作射线AD,点B关于射线AD的对称点为E.连接CE并延长,交射线AD于点F.(1)设BAF=,用表示BCF的度数;(2)用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系,并证明.解析解析(1)连接AE.点B关于射线AD的对称点为E,AE=AB,BAF=EAF=.A
38、BC是等边三角形,AB=AC,BAC=ACB=60.EAC=60-2,AE=AC.(1分)ACE=180-(60-2)=60+.BCF=ACE-ACB=60+-60=.(2分)(2)AF-EF=CF.证明:如图,作FCG=60交AD于点G,连接BF.(3分)12BAF=BCF=,ADB=CDF,ABC=AFC=60.FCG是等边三角形.GF=FC.(4分)ABC是等边三角形,BC=AC,ACB=60.ACG=BCF=.在ACG和BCF中,CACBACGBCFCGCF ACG BCF.AG=BF.(5分)点B关于射线AD的对称点为E,BF=EF.(6分)AF-AG=GF,AF-EF=CF.(7分
39、)20.(2019北京房山二模,27)如图,在ABC中,ACB=90,B=4BAC.延长BC到点D,使CD=CB,连接AD,过点D作DEAB于点E,交AC于点F.(1)依题意补全图形;(2)求证:B=2BAD;(3)用等式表示线段EA,EB和DB之间的数量关系,并证明.解析解析(1)补全图形如图.(2分)(2)证明:ACB=90,CD=CB,AD=AB.BAD=2BAC.B=4BAC,B=2BAD.(4分)(3)EA=EB+DB.(5分)证明证明:在EA上截取EG=EB,连接DG.DEAB,DG=DB.DGB=B.B=2BAD,DGB=2BAD.DGB=BAD+ADG,BAD=ADG.GA=G
40、D.GA=DB.EA=EG+AG=EB+DB.(7分)21.(2019北京燕山一模,27)如图,在ABC中,AB=BC,B=90,点D为线段BC上一个动点(不与点B,C重合),连接AD,将线段AD绕点D顺时针旋转90得到线段DE,连接EC.(1)依题意补全图1;求证:EDC=BAD;(2)小方通过观察、实验,提出猜想:在点D运动的过程中,线段CE与BD的数量关系始终不变,用等式表示为 ;小方把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:过点E作EFBC,交BC的延长线于点F,只需证ADB DEF.想法2:在线段AB上取一点F,使得BF=BD,连接DF,只需证ADF
41、DEC.想法3:延长AB到F,使得BF=BD,连接DF,CF,只需证四边形DFCE为平行四边形.请你参考上面的想法,帮助小方证明中的猜想.(一种方法即可)解析解析(1)补全的图形如图所示.(1分)证明:ADE=B=90,EDC+ADB=BAD+ADB=90,EDC=BAD.(3分)(2)CE=BD.(4分)想法1:证明:如图,过点E作EFBC,交BC的延长线于点F,2F=90.在ADB和DEF中,B=F=90,EDC=BAD,AD=DE,ADB DEF,AB=DF,BD=EF.AB=BC,DF=BC,即DC+CF=BD+DC,CF=BD=EF,CEF是等腰直角三角形,CE=CF=BD.(7分)
42、想法2:证明:在线段AB上取一点F,使得BF=BD,连接DF,B=90,BF=BD,DF=BD,AB=BC,BF=BD,AB-BF=BC-BD,即AF=DC.222在ADF和DEC中,AF=DC,FAD=CDE,AD=DE,ADF DEC,CE=DF=BD.(7分)想法3:证明:延长AB到F,使得BF=BD,连接DF,CF,ABD=90,DF=BD.在RtABD和RtCBF中,AB=BC,ABD=CBF=90,BD=BF,22ABD CBF,AD=CF,BAD=BCF.AD=DE,DE=CF.EDC=BAD,EDC=BCF,DECF,四边形DFCE为平行四边形,CE=DF=BD.(7分)222
43、.(2019北京海淀二模,27)已知C为线段AB中点,ACM=.Q为线段BC上一动点(不与点B重合),点P在射线CM上,连接PA,PQ,记BQ=kCP.(1)若=60,k=1,如图1,当Q为BC中点时,求PAC的度数;直接写出PA、PQ的数量关系;(2)如图2,当=45时.探究是否存在常数k,使得中的结论仍成立.若存在,写出k的值并证明;若不存在,请说明理由.图1图2 解析解析(1)在CM上取点D,使得CD=CA,连接AD.ACM=60,ADC为等边三角形.DAC=60.C为AB的中点,Q为BC的中点,AC=BC=2BQ.BQ=CP,AC=BC=CD=2CP.AP平分DAC.PAC=PAD=3
44、0.PA=PQ.(2)存在k=,使得中的结论成立.证明:过点P作PC的垂线交AC于点D.ACM=45,PDC=PCD=45.PC=PD,PDA=PCQ=135.2CD=PC,BQ=PC,CD=BQ.AC=BC,AD=CQ.PAD PQC.PA=PQ.2223.(2018北京东城一模,27)已知在ABC中,AD是BAC的平分线,且AD=AB,过点C作AD的垂线,交 AD的延长线于点H.(1)如图1,若BAC=60,直接写出B和ACB的度数;若AB=2,求AC和AH的长;(2)如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系,并证明.解析解析(1)B=75,ACB=45.作DEAC交AC于点E
45、.RtADE中,由DAC=30,AD=AB=2可得DE=1,AE=.RtCDE中,由ACD=45,DE=1,可得EC=1.AC=+1.RtACH中,由DAC=30,可得AH=.(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系为2AH=AB+AC.证明:延长AB和CH,交于点F,取BF的中点G,连接GH.33332易证ACH AFH.AC=AF,HC=HF.GHBC.AB=AD,ABD=ADB,AGH=AHG,AG=AH.AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.解题关键解题关键解决本题的关键是要通过构造三角形,借助中位线定理寻找边与边之间的数量关系.教师专用题组1.(20
46、19内蒙古包头,25,12分)如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是对角线BD上的一个动点,连接AM,过点M作MNAM交边BC于N.(1)如图,求证:MA=MN;(2)如图,连接AN,O为AN的中点,MO的延长线交边AB于点P,当=时,求AN和PM的长;(3)如图,过点N作NHBD于H,当AM=2时,求HMN的面积.102DMBDAMNBCDSS13185解析解析(1)证明:如图,过点M作MFAB于F,作MGBC于G.AFM=NGM=90.四边形ABCD为正方形,ABC=90,又点M在BD上,由此易得四边形FBGM为正方形,MF=MG,FMG=90,FMN+NMG=90.MNAM,NMA=9
47、0,AMF+FMN=90.NMG=AMF.RtAMF RtNMG,MA=MN.(3分)(2)在RtAMN中,AMN=90,MA=MN,MAN=45.在RtBCD中,DBC=45,MAN=DBC,RtAMNRtBCD,=.在RtABD中,AB=AD=6,BD=6.=,=,AN=2.(6分)在RtABN中,BN=4.在RtAMN中,MA=MN,O是AN的中点,AMNBCDSS2ANBD2AMNBCDSS131822(6 2)AN13181322ANABOM=AO=ON=AN=,PMAN,AOP=ABN=90,又PAO=NAB,AOPABN,=,=,OP=.PM=PO+OM=+=.(9分)(3)如图
48、,过点A作AFBD于F,AFM=90,FAM+AMF=90.1213OPBNAOAB4OP1362 1332 133135313MNAM,AMN=90,AMF+HMN=90,FAM=HMN.NHBD,NHM=90,NHM=AFM.又MA=MN,AFM MHN,AF=MH.在RtABD中,AB=AD=6,BD=6.AFBD,AF=BD=3,MH=3.AM=2,MN=2.在RtMNH中,HN=,SMNH=HMHN=3=3.212225522MNHM2121222HMN的面积是3.(12分)思路分析思路分析(1)先作MFAB,MGBC,再利用正方形ABCD及角平分线的性质可证MF=MG,进一步证明A
49、MF NMG,问题解决;(2)先证RtAMNRtBCD,然后根据相似的性质求出AN,再根据条件证明AOPABN,从而由相似比求出OP,问题解决;(3)先作AFBD,然后根据条件证明AFM MHN,得出AF=MH,再在RtABD和RtMNH中分别求出MH,MN,HN,最后求出面积.2.(2019四川成都,27,10分)如图1,在ABC中,AB=AC=20,tan B=,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C重合).以D为顶点作ADE=B,射线DE交AC边于点E,过点A作AFAD交射线DE于点F,连接CF.(1)求证:ABDDCE;(2)当DEAB时(如图2),求AE的长;(3)点D在BC边上运动
50、的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请说明理由.34解析解析(1)证明:AB=AC,B=ACB.ADE+CDE=B+BAD,ADE=B,BAD=CDE.ABDDCE.(2)过点A作AMBC于点M.在RtABM中,设BM=4k,则AM=BMtan B=4k=3k,由勾股定理,得AB2=AM2+BM2.202=(3k)2+(4k)2.k=4.AB=AC,AMBC,BC=2BM=24k=32.DEAB,34BAD=ADE.又ADE=B,B=ACB,BAD=ACB.又ABD=CBA,ABDCBA.=.DB=.DEAB,=.AE=.ABCBDBAB2ABCB2
