1、思维导图思维导图圆的相关概念及性质弦、弧、圆心角的关系圆的基本性质圆周角定理及其推论概念性质图形外心定理推论垂径定理及其推论定理推论三角形的外接圆圆内接四边形的性质正多边形与圆的有关计算相关概念性质定理推论边长中心角周长面积课时课时26圆的基本性质圆的基本性质【课标要求】【课标要求】探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补了解正多边形的概念及
2、正多边形与圆的关系了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系【对接教材】人教：【对接教材】人教：九上九上P78P91；华师：华师：九下九下P35P46.课时课时26圆的基本性质圆的基本性质圆的相关概念及性质圆的相关概念及性质1.相关概念相关概念圆圆圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合其中定点称圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合其中定点称为为_，定长称为半径，以点，定长称为半径，以点O为圆心的圆记作为圆心的圆记作O，线段线段OA叫做半径叫做半径弦弦 连接圆上任意两点的连接圆上任意两点的_，如图中的，如图中的AC、BC直直径径经过经过_的弦，直径等于半径的的弦，直径等于半径的2倍倍圆心圆心线段线
3、段圆心圆心 考点考点 1 课时课时26圆的基本性质圆的基本性质圆弧圆弧圆上任意两点间的部分，如图中的圆上任意两点间的部分，如图中的 、优弧：大于半圆的弧叫做优弧，如图中的优弧：大于半圆的弧叫做优弧，如图中的劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的 、等等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧圆周角圆周角在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角，如图中的样的角叫做圆周角，如图中的ACB圆心角圆心角顶点在顶点在_的角叫做圆心角，如图中的的角叫做圆心角，如图中的A
4、OB【提分要点】不在同一直线上的三点确定一个圆【提分要点】不在同一直线上的三点确定一个圆ABBCACACBBCAC圆心圆心课时课时26圆的基本性质圆的基本性质2.性质性质对称性对称性圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条_所在的直所在的直线都是它的对称轴，线都是它的对称轴，_是它的对称中心是它的对称中心旋转不变性旋转不变性圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合直径直径圆心圆心课时课时26圆的基本性质圆的基本性质1.判断下列说法是否正确，对的打判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打，错的打“”(1)三点确定一个圆三点确
5、定一个圆()(2)圆内的角都为圆周角圆内的角都为圆周角()(3)圆内一条弦所对的圆周角为锐角圆内一条弦所对的圆周角为锐角()(4)垂直平分弦的直线必经过圆心垂直平分弦的直线必经过圆心()(5)平分弦平分弦(不是直径不是直径)的半径垂直于弦的半径垂直于弦()(6)圆周角等于圆心角的一半圆周角等于圆心角的一半()(7)到圆心距离相等的弦到圆心距离相等的弦(不是直径不是直径)有两条有两条()课时课时26圆的基本性质圆的基本性质圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论定理定理1.内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_2.常见图形：常见图形：3.结论：结论
6、：APB_AOB推论推论(1)同弧或等弧所对的圆周角相等，如图，同弧或等弧所对的圆周角相等，如图，在在O中，中，ACBADB(2)半圆半圆(或直径或直径)所对的所对的_是直角，是直角，90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_一半一半12圆周角圆周角直径直径 考点考点 2 课时课时26圆的基本性质圆的基本性质2.如图，如图，AB、CD是是O的直径，连接的直径，连接AC，BC，AD，BD，若，若ABC40，则，则AOC_；ADC_，ACB_，BAC_第2题图 80409050课时课时26圆的基本性质圆的基本性质弦、弧、圆心角的关系弦、弧、圆心角的关系定理定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧在
7、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦，所对的弦_推论推论(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_，所，所对的弦对的弦_(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_，所，所对的优弧与劣弧分别对的优弧与劣弧分别_【提分要点】【提分要点】1.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，注意一条弦对着两条弧，一条弧对应无理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，注意一条弦对着两条弧，一条弧对应无数个圆周角；数个圆周角；2.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如
8、果有一组量相等，则它们所在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等对应的其余各组量也相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等 考点考点 3 课时课时26圆的基本性质圆的基本性质3.如图，在如图，在O中，中，AB和和CD是两条弦，是两条弦，OEAB于点于点E，OFCD于点于点F，对于下列，对于下列命题：命题：如果如果ABCD，那么，那么AOBCOD；如果如果 ，那么，那么OEOF；如果如果 ，那么，那么AOBCOD；其中正确的命题是；其中正确的命题是_ABCDABCD第3题图课时课时26圆的基本性质圆的基本性质垂径定理及其推论垂径定理
9、及其推论定理定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论推论平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径的直径_于弦，并且于弦，并且_弦所对的两条弧弦所对的两条弧【提分要点】【提分要点】1.根据垂径定理及其推论可知，对于一个圆和一条直线来说，如果具根据垂径定理及其推论可知，对于一个圆和一条直线来说，如果具备以下五个条件中的任意两个条件，那么就可以推出其他三个结论：备以下五个条件中的任意两个条件，那么就可以推出其他三个结论：(1)过圆心；过圆心；(2)垂直于弦；垂直于弦；(3)平分弦；平分弦；(4)平分弦所对的优弧；平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对
10、的劣弧平分弦所对的劣弧.2.应用：半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满应用：半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满足勾股定理足勾股定理OB2OE2BE2，常用于在圆中求线段长，常用于在圆中求线段长垂直垂直平分平分 考点考点 4 课时课时26圆的基本性质圆的基本性质第4题图4.如图，如图，AB是是O的直径，的直径，ABCD于点于点E，若，若O的半径为的半径为5，CD8，则，则BE_，AE_28课时课时26圆的基本性质圆的基本性质三角形的外接圆三角形的外接圆概念概念经过三角形的三个顶点的圆经过三角形的三个顶点的圆图形图形 外心外心三角形三条边的三角形三条边的_的交点的交点性质性质三角形的外心
11、到三角形的三角形的外心到三角形的_的距离相等的距离相等【知识拓展】【知识拓展】1.直角三角形外接圆的半径：直角三角形外接圆的半径：R c(c为斜边长为斜边长)2.等边三角形外接圆的半径：等边三角形外接圆的半径：R a(a为边长为边长)1233垂直平分线垂直平分线顶点顶点 考点考点 5 课时课时26圆的基本性质圆的基本性质5.如图，如图，O是等边是等边ABC的外接圆，已知的外接圆，已知AB4 ，则，则O的半径为的半径为_3第5题图4课时课时26圆的基本性质圆的基本性质圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质图示图示 概念概念四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形四边形的四个顶点均在
12、同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形性质性质1.圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角_；如图，；如图，ABCD180，BD1802.圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角，如图，圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角，如图，DCE_互补互补A 考点考点 6 课时课时26圆的基本性质圆的基本性质6.如图，点如图，点A、B、C、D在在O上，能够得到的等式是上，能够得到的等式是_(填序号填序号)BD180；BD90；AOCB180；DABDCB180.第6题图课时课时26圆的基本性质圆的基本性质正多边形与圆的有关计算正多边形与圆的有关计算边长边长设正设正n边形的边长为边形的边长为a，则边
13、心距，则边心距 周长周长正正n边形的周长边形的周长lna面积面积面积面积S nar lr中心角中心角正正n边形的中心角边形的中心角【提分要点】正多边形的有关计算常用方法是直接利用或构造出由半径、边长的一【提分要点】正多边形的有关计算常用方法是直接利用或构造出由半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形，然后再利用勾股定理求解半、边心距组成的直角三角形，然后再利用勾股定理求解22()2arR 1212n360 考点考点 7 课时课时26圆的基本性质圆的基本性质第7题图7.如图，如图，O的内接正六边形的边长是的内接正六边形的边长是12，则正多边形的边心距为，则正多边形的边心距为_6 3课时课时26圆
14、的基本性质圆的基本性质1.(人教九上人教九上P88练习第练习第3题题)如图，点如图，点A、B、C在在O上，上，ACOB，BAO25.则则BOC的度数为的度数为()A.25 B.50 C.60 D.80第1题图B教材改编题教材改编题教材母题教材母题1课时课时26圆的基本性质圆的基本性质2.(2019随州随州)如图，点如图，点A、B、C在在O上，点上，点C在优弧在优弧 上，若上，若OBA50，则，则C的度数为的度数为_改变设问：反向设问改变设问：反向设问AB第2题图40母 题 变 式母 题 变 式课时课时26圆的基本性质圆的基本性质改变条件：将改变条件：将“已知线段平行已知线段平行”改为改为“等腰
15、直角三角形等腰直角三角形”，由内错角求角度改为，由内错角求角度改为“由三由三角形内外角关系求角度角形内外角关系求角度”3.如图，已知在如图，已知在 O中，半径中，半径OA ，弦，弦AB2，BAD18，OD与与AB交于点交于点C，则，则ACO_度度2第3题图 81对 接 中 考对 接 中 考课时课时26圆的基本性质圆的基本性质4.(人教九上人教九上P89习题习题24.1第第5题题)如图，已知在如图，已知在O中，中，OABC于点于点H，AOB50，则，则ADC的度数为的度数为_第4题图25教材母题教材母题 2课时课时26圆的基本性质圆的基本性质改变设问：将改变设问：将“求角度改为求弦长求角度改为求
16、弦长”，增加知识点，增加知识点“锐角三角函数锐角三角函数”5.(2020十堰十堰)如图，点如图，点A，B，C，D在在O上，上，OABC，垂足，垂足为为E.若若ADC30，AE1，则，则BC()A.2 B.4 C.D.233第5题图D母 题 变 式母 题 变 式课时课时26圆的基本性质圆的基本性质改变条件：将改变条件：将“垂直改为角平分线垂直改为角平分线”6.如图，在如图，在ABC中，中，BAC的平分线交的平分线交ABC的外接圆的外接圆O于点于点D，连接，连接BD、OD，若，若BAC68，则，则ODB()A.68 B.65 C.56 D.55第6题图C对 接 中 考对 接 中 考课时课时26圆的
17、基本性质圆的基本性质练真题练真题“明明”考法考法垂径定理垂径定理1.在平面直角坐标系内，以点在平面直角坐标系内，以点P(1，1)为圆心、为圆心、为半径作圆，则该圆与为半径作圆，则该圆与y轴的交点轴的交点坐标是坐标是_ 2.如图是由两个长方形组成的工件平面图如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位：单位：mm)，直线，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是_ mm.5第2题图(0，3)、(0，1)50命题点命题点 1课时课时26圆的基本性质圆的基本性质3.(2018自贡自贡9题题4分分)如图，若如图，若ABC内接于半径为
18、内接于半径为R的的O，且，且A60，连接，连接OB、OC，则边，则边BC的长为的长为()A.RB.R C.R D.R第3题图2322234.如图，如图，AB是是O的弦，半径的弦，半径OCAB于点于点D，且，且AB8 cm，DC2 cm，则，则OC_cm.第4题图D5课时课时26圆的基本性质圆的基本性质圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论5.(2018南充南充5题题3分分)如图，如图，BC是是O的直径，的直径，A是是O上的一点，上的一点，OAC32，则则B的度数是的度数是()A.58 B.60 C.64 D.68第5题图A命题点命题点 2课时课时26圆的基本性质圆的基本性质6.(2020宜宾宜宾
19、14题题4分分)如图，如图，A、B、C是是O上的三点，若上的三点，若OBC是等边三角形，是等边三角形，则则cosA_7.(2018宜宾宜宾15题题3分分)如图，如图，AB是半圆的直径，是半圆的直径，AC是一条弦，是一条弦，D是是 的中点，的中点，DEAB于点于点E且且DE交交AC于点于点F，DB交交AC于点于点G.若若 ，则，则 _第6题图第7题图ACEFAE34 CGGB3255课时课时26圆的基本性质圆的基本性质8.如图，如图，O中，弦中，弦AB与与CD交于点交于点M，A45，AMD75，则，则B的度数是的度数是()A.15B.25C.30D.759.如图，如图，O是是ABC的外接圆，的外
20、接圆，ACO45，则，则B的度的度数为数为()A.30B.35C.40D.45第8题图第9题图CD课时课时26圆的基本性质圆的基本性质10.(2019眉山眉山10题题3分分)如图，如图，O的直径的直径AB垂直于弦垂直于弦CD，垂足是点垂足是点E，CAO22.5，OC6，则，则CD的长为的长为()A.6 B.3C.6 D.1211.(2020内江内江8题题3分分)如图，点如图，点A、B、C、D在在O上，上，AOC120.点点B是是 的中点，则的中点，则D的度数是的度数是()A.30 B.40 C.50 D.60AC22第10题图第11题图AA课时课时26圆的基本性质圆的基本性质12.(2017自
21、贡自贡17题题4分分)如图，等腰如图，等腰ABC内接于内接于O，已知，已知ABAC，ABC30，BD是是O的直径，如果的直径，如果CD ，则，则AD_4 33第12题图4课时课时26圆的基本性质圆的基本性质正多边形与圆正多边形与圆13.(2018宜宾宜宾13题题3分分)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在九章算术中提出刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在九章算术中提出了了“割圆术割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积设，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积设O的半的半径为径为1，若用，若用O的外切正六边形的面积的外切正六边形的面积S来近似估计来近似估计O的面
22、积，则的面积，则S_(结结果保留根号果保留根号)14.(2017宜宾宜宾15题题3分分)如图，如图，O的内接正五边形的内接正五边形ABCDE的对的对角线角线AD与与BE相交于点相交于点G，AE2，则，则EG的长是的长是_第14题图51 2 3命题点命题点 3课时课时26圆的基本性质圆的基本性质第15题图15.(2019自贡自贡11题题4分分)图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆可近似看作正方形的外接圆)，正方形
23、桌面与翻折成，正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近的圆形桌面的面积之比最接近()A.B.C.D.16.已知已知O的内接正六边形周长为的内接正六边形周长为12 cm，则这个圆的半经是，则这个圆的半经是_cm.12453423C2课时课时26圆的基本性质圆的基本性质中考试题中的数学文化中考试题中的数学文化一、一、圆周率圆周率【文化背景】【文化背景】古希腊大数学家阿基米德古希腊大数学家阿基米德(公元前公元前287年年公元前公元前212年年)开创了人类历史上通过理论开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周计算圆周率近似值的先河阿基米德从单位圆
24、出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4.接着，接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边边形和外接正形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界他逐步对内接正边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正边形和外接正96边形为止边形为止课时课时26圆的基本
25、性质圆的基本性质最后，他求出圆周率的下界和上界分别为最后，他求出圆周率的下界和上界分别为 和和 ，并取它们的平均值，并取它们的平均值3.141851为为圆周率的近似值阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是圆周率的近似值阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计计算数学算数学”的鼻祖的鼻祖22371227课时课时26圆的基本性质圆的基本性质【中考对接】【中考对接】1.(2020长沙长沙)2020年年3月月14日，是人类第一个日，是人类第一个“国际数学日国际数学日”.这个节日的昵称是这个节日的昵称是“(Day)”国际数学日之所以定在国际数学日之所以定在3月月14日，是因
26、为日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数是与圆周率数值最接近的数字在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学字在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精与科技发展水平的一个主要标志我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年课时课时26圆的基本性质圆的基本性质以下对于圆周率的四个表述：以下对于圆周率的四个表述：圆周率是一个有理数；圆周率是一个有理数
27、；圆周率是一个无理数；圆周率是一个无理数；圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比其中表述正确的序号是其中表述正确的序号是()A.B.C.D.A课时课时26圆的基本性质圆的基本性质二、汉书二、汉书律历志律历志2.(2020株洲株洲)据汉书据汉书律历志记载：律历志记载：“量者，龠量者，龠(yu)、合、升、斗、斛合、升、斗、斛(h)也也”斛是中国古代的一种量器，斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而
28、圜斛底，方而圜(hun)其外，旁有庣其外，旁有庣(tio)焉焉”意意思是说：思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆此圆外是一个同心圆”，如图所示，如图所示问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即即2.5尺尺)，“庣旁庣旁”为两寸五分为两寸五分(即两即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺尺)，则此斛底面的正方形的周长为，则此斛底面的正方形的周长为_尺尺(结果用最简根式表示结果用最简根式表示)第2题图4 2课时课时26圆的基本性质圆的基本性质三、九章算术三、九章算术圆材埋壁圆材埋壁3.(2020宁夏宁夏)我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁圆材埋壁”的问题：的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”意意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小用锯去锯这木材，锯口深思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小用锯去锯这木材，锯口深ED1寸，锯道长寸，锯道长AB1尺尺(1尺尺10寸寸)问这根圆形木材的直径是问这根圆形木材的直径是_寸寸第3题图26
