1、第11课时一次函数的应用课标要求1.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式.2.能用一次函数解决简单实际问题.考点一一次函数图象与性质的应用 1.一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始4 min内只进水不出水,在随后的8 min内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图11-1所示.(1)当0 x4时,y关于x的函数表达式是;(2)当4x12时,y关于x的函数表达式是;(3)每分钟进水L,出水L.图11-1y=5x5 知识梳理一次函数图象与性质的应用是指用一次函数的图象表示题中的数量关系,解这
2、类题的关键在于弄清横、纵坐标各表示什么量,图象上每一点表示什么实际意义,以及函数图象的变化趋势、倾斜度大小各表示什么含义等.考点二一次函数与一次方程(组)或不等式的实际应用2.新冠疫情期间,口罩成为人们出行必备的防护工具.某药店三月份共销售A,B两种型号的口罩9000只,共获利润5000元,其中A,B两种型号口罩所获利润之比为2 3.已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍.(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润;(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只,其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍,设购进A型口罩m只,这10000只口罩的销售总利润为W元.该药店如
3、何进货,才能使销售总利润最大?(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润;2.新冠疫情期间,口罩成为人们出行必备的防护工具.某药店三月份共销售A,B两种型号的口罩9000只,共获利润5000元,其中A,B两种型号口罩所获利润之比为2 3.已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍.(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只,其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍,设购进A型口罩m只,这10000只口罩的销售总利润为W元.该药店如何进货,才能使销售总利润最大?(2)根据题意,得W=0.5m+0.6(10000-m)=-0.1m+6000,10000-m1.5m,解得m4
4、000.-0.10,W随m的增大而减小.m为正整数,当m=4000时,W取最大值.答:即药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只,才能使销售总利润最大.知识梳理一次函数与方程(组)或不等式的实际应用主要是利用图象交点的意义及图象关系将实际问题转化为一次函数问题,在解题时要分清图象所对应的实际问题中的参量,同时要注意自变量的取值范围.考向一利用一次函数进行方案设计与决策例12020荆州为了抗击新冠疫情,我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙工厂的生产量是甲工厂的2倍少100吨.这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位:元/吨).(1)求甲、乙两厂各生产了这
5、批防疫物资多少吨?(2)设这批物资从乙工厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元,求y与x之间的函数表达式,并设计使总运费最少的调运方案;(3)当每吨运费均降低m元(0m15且m为整数)时,按(2)中设计的调运方案运输,总运费不超过5200元,求m的最小值.目的地生产厂AB甲2025乙1524例12020荆州为了抗击新冠疫情,我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙工厂的生产量是甲工厂的2倍少100吨.这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位:元/吨).(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨?目的地生产厂AB甲2025乙1524(2)设这批物资从乙
6、工厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元,求y与x之间的函数表达式,并设计使总运费最少的调运方案;例12020荆州为了抗击新冠疫情,我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙工厂的生产量是甲工厂的2倍少100吨.这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位:元/吨).(3)当每吨运费均降低m元(0m15且m为整数)时,按(2)中设计的调运方案运输,总运费不超过5200元,求m的最小值.目的地生产厂AB甲2025乙1524(3)由题意和(2)中的解答得:当x=240时,y最小=-4240+11000-500m=10040-500m,10040-500m5200
7、,解得m9.68.而0m15且m为整数,m的最小值为10.【方法点析】利用一次函数的性质进行方案设计与决策,一般先求出函数表达式,结合不等式求出自变量的取值范围,然后利用函数的增减性或函数图象进行决策.考向精练考向二一次函数图象信息题例22020天津在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境.已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上,食堂离宿舍0.7 km,图书馆离宿舍1 km.周末,小亮从宿舍出发,匀速走了7 min到食堂;在食堂停留16 min吃早餐后,匀速走了5 min到图书馆;在图书馆停留30 min借书后,匀速走了10 min返回宿舍,图11-2给出的
8、图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离y(km)与离开宿舍的时间x(min)之间的对应关系.请根据相关信息,解答下列问题:图11-2(1)填表:(2)填空:食堂到图书馆的距离为 km;小亮从食堂到图书馆的速度为 km/min;小亮从图书馆返回宿舍的速度为 km/min;当小亮离宿舍的距离为0.6 km时,他离开宿舍的时间为 min.(3)当0 x28时,请直接写出y关于x的函数表达式.离开宿舍的时间/min25202330离宿舍的距离/km0.20.7(1)填表:离开宿舍的时间/min25202330离宿舍的距离/km0.20.7解:(1)0.50.71解析 从宿舍到食堂的速度为0.77=0.1
9、(km/min),0.15=0.5(km);离开宿舍的时间为23 min时,小亮在食堂,故离宿舍的距离为0.7 km;离开宿舍的时间为30 min时,小亮在图书馆,故离宿舍的距离为1 km.故答案依次为:0.5,0.7,1.(2)填空:食堂到图书馆的距离为 km;图11-2答案0.3解析 1-0.7=0.3(km),食堂到图书馆的距离为0.3 km.(2)填空:小亮从食堂到图书馆的速度为 km/min;图11-2答案 0.06解析(1-0.7)(28-23)=0.06(km/min),小亮从食堂到图书馆的速度为0.06 km/min.(2)填空:小亮从图书馆返回宿舍的速度为 km/min;图1
10、1-2答案 0.1解析 1(68-58)=0.1(km/min),小亮从图书馆返回宿舍的速度为0.1 km/min;(2)填空:当小亮离宿舍的距离为0.6 km时,他离开宿舍的时间为 min.答案6或62解析当小亮从宿舍去食堂的过程中离宿舍的距离为0.6 km时,时间为0.60.1=6(min).当小亮从图书馆回宿舍,离宿舍的距离为0.6 km时,则从图书馆出发回宿舍已经走了1-0.6=0.4(km),0.40.1=4(min),58+4=62(min).(3)当0 x28时,请直接写出y关于x的函数表达式.【方法点析】解分段函数的图象问题,读懂每段图象的意义,从图象中获取信息,特别是对图象中
11、一些特殊点的实际意义的正确理解对解题起着重要作用.考向精练图11-3图11-3图11-3(2)对于甲:令h=0,解得x=20,对于乙:令y=0,解得x=30,2030,甲先到达一楼地面.3.2020牡丹江在一条公路上依次有A,B,C三地,甲车从A地出发,驶向C地,同时乙车从C地出发驶向B地,到达B地停留0.5小时后,按原路原速返回C地,两车匀速行驶,甲车比乙车晚1.5小时到达C地.两车距各自出发地的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图11-4所示.请结合图象信息解答下列问题:(1)甲车行驶速度是千米/时,B,C两地的路程为千米.(2)求乙车从B地返回C地的过程中,y(千米)与x(小
12、时)之间的函数关系式(不需要写出自变量x的取值范围).(3)出发多少小时,行驶中的两车之间的路程是15千米?请你直接写出答案.图11-43.2020牡丹江在一条公路上依次有A,B,C三地,甲车从A地出发,驶向C地,同时乙车从C地出发驶向B地,到达B地停留0.5小时后,按原路原速返回C地,两车匀速行驶,甲车比乙车晚1.5小时到达C地.两车距各自出发地的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图11-4所示.请结合图象信息解答下列问题:(1)甲车行驶速度是千米/时,B,C两地的路程为千米.图11-4解:(1)60360解析由图象得F点的坐标是(10,600),甲车的行驶速度是60010=60
13、(千米/时),M的纵坐标为360,B,C两地之间的距离为360千米.(2)求乙车从B地返回C地的过程中,y(千米)与x(小时)之间的函数关系式(不需要写出自变量x的取值范围).图11-4(3)出发多少小时,行驶中的两车之间的路程是15千米?请你直接写出答案.4.2019宁波某风景区内的公路如图11-5所示,景区内有免费的班车,从入口处出发,沿该公路开往草甸,途中停靠塔林(上下车时间忽略不计),第一班车上午8点发车,以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩,上午7:40到达入口处,因还没到班车发车时间,于是从景区入口处出发,沿该公路步行25分钟后到达塔林,离入口处的路程y(米
14、)与时间x(分)的函数关系如图所示.图11-5(1)求第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达式.(2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间.(3)小聪在塔林游玩40分钟后,想坐班车到草甸,则小聪最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到草甸,比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟?(假设每一班车速度均相同,小聪步行速度不变)图11-5(1)求第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达式.(2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间.(2)把y=1500代入y=150 x-3000,解得x=30,30-20=10(分),第一班车从入口处到塔林所需时间为10分.(3)
15、小聪在塔林游玩40分钟后,想坐班车到草甸,则小聪最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到草甸,比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟?(假设每一班车速度均相同,小聪步行速度不变)(3)设小聪坐上第n班车,30-25+10(n-1)40,解得n4.5,小聪最早坐上第五班车,等班车时间为5分,坐班车所需时间:1200150=8(分),步行所需时间:1200(150025)=20(分),20-(8+5)=7(分),小聪坐班车到草甸比他游玩结束后立即步行到草甸提早了7分.考向三一次函数与几何的结合问题图11-6答案 考向精练答案B图11-7答案B1.已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的
16、函数,则下列图象中,能正确反映y与x之间的函数关系的图象是()图11-8答案D2.2020恩施州甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图11-9所示,则下列结论错误的是()A.甲车的平均速度为60 km/hB.乙车的平均速度为100 km/hC.乙车比甲车先到B城D.乙车比甲车先出发1 h图11-9答案D3.2020宁夏“低碳生活,绿色出行”是一种环保、健康的生活方式,小丽从甲地匀速步行前往乙地,同时,小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地,两人之间的距离y(m)与步行时间x(min)之间的函数关系如图11-10中折线段AB-BC-CD所示.(1)小丽与小明出发 min相遇;(2)在步行过程中,若小明先到达甲地.求小丽和小明步行的速度各是多少?计算出点C的坐标,并解释点C的实际意义.图11-1030(2)在步行过程中,若小明先到达甲地.求小丽和小明步行的速度各是多少?(2)在步行过程中,若小明先到达甲地.计算出点C的坐标,并解释点C的实际意义.设点C的坐标为(x,y),则可得方程(100+80)(x-30)+80(67.5-x)=5400,解得x=54,y=(100+80)(54-30)=4320,点C(54,4320),点C表示两人出发54 min时,小明到达甲地,此时两人相距4320 m.
