1、第14课时二次函数的图象与性质(二)考点二次函数与一元二次方程的关系1.如图14-1,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的一个交点为A(1,0),对称轴是直线x=-1,则方程ax2+bx+c=0的解是()A.x1=-3,x2=1B.x1=3,x2=1C.x=-3D.x=-2图14-1A2.2020台州模拟如图14-2,一次函数y=-x与二次函数y=ax2+bx+c的图象相交于点M,N,则关于x的一元二次方程ax2+(b+1)x+c=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确图14-2答案 A解析 一次函数y=-x与二次函数y=ax
2、2+bx+c的图象有两个交点,ax2+bx+c=-x有两个不相等的实数根.ax2+bx+c=-x变形为ax2+(b+1)x+c=0,ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根,故选:A.3.2020温岭一模已知抛物线y=ax2+bx+c如图14-3所示,图象与y轴交于(0,-1),顶点纵坐标为-3,ax2+b|x|+c=k有四个不相等的实数根,则实数k满足()A.0k3B.-3k0C.-3k-1D.1k3图14-3答案C解析 设y=ax2+b|x|+c,则函数y=ax2+b|x|+c的图象如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴交于(0,-1),顶点纵坐标为-3,当ax2+b|x
3、|+c=k有四个不相等的实数根时,k满足-3k0两个 实数根 1个=0两个 实数根 没有0,即x=1时,y0;当a-b+c0,即x=-1时,y0.考向一二次函数与一元二次方程、不等式的关系例1 如图14-4,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点A,B,C.现有下面四个推断:抛物线开口向下;当x=-2时,y取最大值;当max2+bx+c时,x的取值范围是-4xax2+bx+c时,x的取值范围是x0,从而错误.故选:B.【方法点析】二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根;结合开口方向和图象位置,y0和y0(a0)和a
4、x2+bx+c0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是()A.x1-12x2B.-1x12x2C.-1x1x22D.x1-1x20时,就是抛物线位于x轴上方的部分,此时x2.又x1x2,x12,x1-120)有两个根,其中一个根是3.则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0n0)有两个根,其中一个根是3,另一个根为-5.0nm,且方程ax2+bx+c+n=0有两个整数根,ax2+bx+c+n=0的根的范围分别是-5x1-3,1x2n的解集是.答案x1解析 抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,-
5、m+n=p,3m+n=q,抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于P(1,p),Q(-3,q)两点,观察函数图象可知:当x1时,直线y=-mx+n在抛物线y=ax2+c的下方,不等式ax2+mx+cn的解集为x1.图14-5考向二二次函数、反比例函数、一次函数的综合图14-6例2 如图14-6所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.(1)求过O,B,E三点的抛物线的函数表达式;图14-6(2)求直线DE的表达式和点M的坐标;考向精练图14-7图14-8答案
6、 D图14-9答案 图14-10图14-10答案3图14-10答案 考向三二次函数与几何图形的综合应用图14-12图14-11答案A 图14-13图14-13四边形AOBD是平行四边形.理由如下:由得抛物线的表达式为y=-x2-4x+4,可化为y=-(x+2)2+8,顶点D的坐标为(-2,8).过D点作DEAB于点E,则DE=OC=4,AE=2.AC=4,BC=AC=2,AE=BC.ACx轴,AED=BCO=90,AED BCO,AD=BO,DAE=OBC,ADBO,四边形AOBD是平行四边形.考向精练7.如图14-14,已知矩形ABCD中,CD=2,AD=5,点P是边AD上的一个动点(与A,
7、D不重合),过点P作PECP,交射线BA于点E.设PD=x,AE=y,则y与x的函数关系式为,x的取值范围为.图14-14答案8.2020玉林一模如图14-15,RtAOB中,BAO=90,以O为坐标原点建立直角坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA=2,AB=8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是原点O,且经过C点.(1)填空:直线OC的表达式为;抛物线的表达式为.(2)现将该抛物线沿着线段OC移动,使其顶点M始终在线段OC上(包括端点O,C),抛物线与y轴的交点为D,与AB边的交点为E,是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形?如存在,求出此时抛物线的表达式;如不存在,说明理由.图14
8、-158.2020玉林一模如图14-15,RtAOB中,BAO=90,以O为坐标原点建立直角坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA=2,AB=8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是原点O,且经过C点.(1)填空:直线OC的表达式为;抛物线的表达式为.图14-15解:(1)OA=2,AB=8,点C为AB边的中点,点C的坐标为(2,4).设直线OC的函数表达式为y=kx,则4=2k,解得k=2,直线OC的函数表达式为y=2x.设抛物线的函数表达式为y=kx2,则4=4k,解得k=1,抛物线的函数表达式为y=x2.(2)现将该抛物线沿着线段OC移动,使其顶点M始终在线段OC上(包括端点O,C),抛物线与
9、y轴的交点为D,与AB边的交点为E,是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形?如存在,求出此时抛物线的表达式;如不存在,说明理由.图14-15图14-16图14-17D2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图14-18所示,则方程ax2+bx+c-2=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的正实数根C.有两个不相等的负实数根D.没有实数根图14-18B3.2020娄底二次函数y=(x-a)(x-b)-2(ab)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n,且mn,下列结论正确的是()A.manbB.ambnC.mabnD.amnb答案 C解析 二次函数y=(x
10、-a)(x-b)的图象与x轴交点的横坐标为a,b,将其图象往下平移2个单位可得出二次函数y=(x-a)(x-b)-2的图象,如图所示.观察图象,可知:mabn,因此本题选C.4.2020黔东南州抛物线y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图14-19所示,其与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为直线x=-1,则当y0时,x的取值范围是.答案-3x1解析 抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),由图象可知,当y0时,x的取值范围是-3x1.图14-195.2020荆门如图14-20,抛物线y=ax2
11、+bx+c(a0)与x轴交于点A,B,顶点为C,对称轴为直线x=1,给出下列结论:abc0;若点C的坐标为(1,2),则ABC的面积可以等于2;M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点(x12,则y1y2;若抛物线经过点(3,-1),则方程ax2+bx+c+1=0的两根为-1,3.其中正确结论的序号为.图14-20答案方程ax2+bx+c+1=0可化为ax2+bx+c=-1.抛物线经过点(3,-1),x1=3是方程ax2+bx+c=-1的一个根.由对称轴x=1可知方程ax2+bx+c=-1的另一个根是x2=-1.可见结论正确.综上所述,正确结论的序号是.6.2020重庆A卷节选如图14
12、-21,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1).(1)求该抛物线的函数表达式.(2)将该抛物线向右平移2个单位得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a10),平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.图14-216.2020重庆A卷节选如图14-21,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1).(1)求该抛物线的函数表达式.图14-216.2020重庆A卷节选如图14-21,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1).(2)将该抛物线向右平移2个单位得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a10),平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.图14-21
