1、 平角模型微专题31.”半角“模型 如图，已知 OA=OB.连接BD，将OBD绕点O旋转至OAD的位置，连接DC,CD，可得 .；21=AOBCODDOCOCD 【模型分析】BOD=AOD，OD=OD.AOC+BOD=COD.AOC+AOD=COD=COD.又OC是公共边，1.”半角“模型，DOAOBD，21=AOBCOD，DOCOCD 1.”半角“模型 (1)半角模型的命名:在等腰三角形中存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；(2)通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；(3)常见的半角模型是90含45，120含60.3.以正方形为背景的半角模型 例1已知，如图1，在R
2、tABC中，BAC=90，AB=AC，点D,E分别为线段BC上两动点，若DAE=45，探究线段BD，DE，EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是:把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连接ED使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决以下问题:(1)猜想BD，DE，EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB的延长线上时，如图2，其他条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.3.以正方形为背景的半角模型 【解析】（1）猜想：DE2=BD2+EC2 将AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，如图1.BE=EC
3、，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB 在RtABC中，AB=AC，ABC=ACB=453.以正方形为背景的半角模型EABACE ABC+ABE=90，即EBD=90 EB2+BD2=ED2 又DAE=45，BAD+EAC=45 EAB+BAD=45，即EAD=45 AED AED DE=DE DE2=BD2+EC23.以正方形为背景的半角模型 （2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立 作FAD=BAD，且截取AF=AB，连接DF，FE，如图2.AFD ABD FD=DB，AFD=ABD3.以正方形为背景的半角模型 又AB=AC，AF=AC FAE=FAD+DAE=FAD+45，EA
4、C=BAC-BAE=90-（DAE-DAB）=90-（45-DAB）=45+DAB，FAE=CAE3.以正方形为背景的半角模型 又AE=AE，AFE ACE FE=EC，AFE=ACE=45 AFD=ABD=180-ABC=135,DFE=AFD-AFE=135-45=90 在RtDFE中，DF2+FE2=DE2,即DE2=BD2+EC23.以正方形为背景的半角模型 例2在等边ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且MDN=60，BDC=120，BD=DC.探究:当M，N分别在线段AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系.(1)如图1，当DM=DN时，BM，NC
5、，MN之间的数量关系是BM+NC=MN；3.以正方形为背景的半角模型 (2)如图2，当DMDN时，猜想(1)问的结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明.图图1 图图23.以正方形为背景的半角模型 【解析】（1）BM，NC，MN之间的数量关系是 BM+NC=MN （2）猜想：BM+NC=MN 如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE BD=CD，且BDC=120，DBC=DCB=30 3.以正方形为背景的半角模型 又ABC是等边三角形，ABC=ACB=60 MBD=NCD=90 在MBD与ECD中，DB=DC，DBM=DCE=90，BM=CE，MBD ECD（SAS）DM=DE，BDM=CDE EDN=BDC-MDN=603.以正方形为背景的半角模型 在MDN和EDN中，MD=ED，MDN=EDN=60，DN=DN，MDN EDN（SAS）MN=NE=NC+CE=NC+BM3.以正方形为背景的半角模型
